On s’intéressera dans cet exposé à l’étude d’objets présentant un caractère singulier et des opérations mal posées, l’objet central étant l’opérateur d’Anderson, un opérateur de Schrödinger où le potentiel est un bruit blanc espace. Après avoir discuté de sa construction et des propriétés qui en découlent, on établira un contrôle de sa fonction de Green de l’opérateur afin de comprendre sa singularité.
Dans un deuxième temps, on s’intéressera à des dynamiques dirigées par cet opérateur et particulièrement à la construction de mesures invariantes dans ce cadre. On s’attardera sur la définition de la mesure gaussienne associée et son utilisation pour comprendre le modèle $\Phi^4_2$ dans un environnement régi par un bruit blanc espace. Après avoir construit la mesure invariante par des méthodes variationnelles, on s’intéressera aux propriétés qui découlent du point de vue dynamique : solutions globales, propriété de Feller et propriété de Feller forte.
Les résultat présentés sont basés sur des travaux en collaboration avec Antoine Mouzard et Tristan Robert.

L’algorithme word2vec (Mikolov et al, 2013) permet d’associer des vecteurs à des mots.
Ces plongements de mots, sous des formes plus sophistiquées, forment le cœur des Grands Modèles de Langues (LLM) utilisés par les outils d’IA dont tout le monde a entendu parler.
Si word2vec est présenté comme un algorithme de réseaux de neurones, il peut-être décrit très simplement comme un problème d’optimisation impliquant deux matrices et rien de plus.
Dans cet exposé, nous présenterons un état des lieux de notre compréhension de cet algorithme par une approche de rétro-ingénierie, et des questions ouvertes.

D’après un travail commun avec Didier Gemmerlé, Lionel Lenôtre, Pierre Mercuriali et Saïd Toubra.

On va montrer comment on peut définir le carré du module de la solution de l’équation de Schrödinger fractionnaire sur le tore avec condition initiale dans un espace de Sobolev arbitrairement singulier. Ensuite on va montrer comment cela peut être utile dans des estimations d’observabilité.

We give a light talk on optimality of shapes in geometry and physics.
First, we recollect classical geometric results that the disk has the largest area (respectively, the smallest perimeter) among all domains of a given perimeter (respectively, area).
Second, we recall that the circular drum has the lowest fundamental tone among all drums of a given area or perimeter and reinterpret the result in a quantum-mechanical language of nanostructures.
In parallel, we discuss the analogous optimality of square among all rectangles in geometry and physics.
As the main body of the talk, we present a joint work with Freitas in which we show that the disk actually stops to be the optimiser for elastically supported membranes, disproving in this way a long-standing conjecture of Bareket’s.
We also present our recent attempts to prove the same spectral-geometric properties in relativistic quantum mechanics.
It is frustrating that such an illusively simple and expected result remains unproved and apparently out of the reach of current mathematical tools.

De nombreux travaux ont été consacrés à la dérivation d’approximations asymptotiques
des solutions d’une équation elliptique, lorsqu’on perturbe le milieu par des inhomogénéités
de petit volume. Les termes des développements asymptotiques des solutions contiennent
des informations sur la localisation, la forme et les propriétés physiques des inhomogénéités,
qui ont été exploitées avec bonheur dans le contexte des problèmes inverses d’identification
.
Dans cet exposé, nous présentons des résultats concernant le comportement des solutions
lorsque l’on perturbe la condition au bord sur un `petit’ ensemble $\omega_\e$. Nous caractérisons
le terme de premier ordre du développement asymptotique en fonction de la mesure pertinente de
la taille de la perturbation $\omega_\e$. Nous donnons des exemples explicites lorsque $\omega_\e$
est une boule surfacique dans $\R^d, d=2,3$.

Ce travail a été réalisé en collaboration avec Charles Dapogny et Michael Vogelius.

In this talk, I will briefly recall the historical Kalman filter and its ensemble form. Then I will show how the latter has been successfully implemented for data assimilation, in particular in numerical weather forecasting. More recently, the Ensemble Kalman Filter has been proposed as a methodology for solving very general inverse problems in high-dimensional contexts. I will present the theory, show some simple applications and point out the numerous open problems that remain.

Il est bien connu que la reconstruction d’une donnée initiale associée à une équation parabolique à partir de mesures internes de sa solution pendant un temps T, sur un domaine $\omega$ appelé domaine d’observation équivaut à la question de l’observabilité, ou plus précisément à la positivité de ce qu’on appelle la constante d’observabilité associée à $\omega$. Cette constante dépend du domaine d’observation $\omega$ mais aussi de façon cruciale de l’horizon temporel T.  

Dans cet exposé, nous nous intéressons au positionnement optimal de capteurs thermiques. Il est raisonnable de modéliser cette question apr la recherche des domaines extrémaux (lorsqu’ils existent) maximisant cette constante d’observabilité. Pour être physiquement pertinent, nous imposons une restriction sur la mesure du domaine observé. 

Après avoir introduit une relaxation convexe du problème d’optimisation de la forme, nous déterminons le comportement asymptotique des maximiseurs lorsque T tend vers $+\infty$. En utilisant de façon cruciale un principe de la baignoire quantitatif, nous prouvons la forte convergence des maximiseurs vers la fonction caractéristique d’un ensemble mesurable que nous caractérisons précisément, et montrons en outre que cette convergence est exponentielle. 

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Idriss Mazari (univ. Paris Dauphine) et Emmanuel Trélat (Sorbonne univ.)

Le but de ce groupe de travail sera de comprendre (partiellement) les différentes équations de la mécanique des fluides afin de les reconnaître au détour d’un exposé ou de la lecture d’un papier.

Dans cette troisième partie, nous discuterons de l’entropie d’un fluide.

Les notes de ce groupe de travail se trouvent ici (merci à Jérémy).