Séminaires

Dans cet exposé, je discuterai de problèmes isopérimétriques issus du modèle de goutte liquide de Gamow pour le noyau atomique, dans lequel le périmètre est perturbé par une interaction répulsive non locale. Après avoir rappelé des résultats classiques et des conjectures liés au modèle original, je présenterai des résultats qui diffèrent du cas classique lorsque le noyau de répulsion décroît suffisamment rapidement. Je m’intéresserai en particulier aux questions d’existence de minimiseurs, de régularité et de phénomènes de brisure de symétrie.

Les systèmes de lois de conservation hyperboliques tendent naturellement à avoir des solutions discontinues. Une des problématiques centrales en termes d’analyse numérique pour ce type d’EDP porte donc sur la capacité d’un schéma numérique à capturer ces discontinuités. Les profils de choc totalement discrets correspondent aux approximations des chocs par des schémas aux différences finies conservatifs. L’existence et la stabilité des profils de choc totalement discrets sont alors considérées comme une condition améliorée de consistance et impliquent que le schéma aux différences finies devrait être capable d’approcher les discontinuités assez précisément.

L’objectif de cet exposé sera de présenter les récents développements concernant la stabilité des profils de choc totalement discrets. Plus précisément, la plupart des résultats connus jusqu’à récemment se sont concentrés sur la stabilité des profils de choc de faibles amplitudes. On présentera un résultat de stabilité nonlinéaire orbitale pour les profils de choc totalement discrets dans un cadre assez général, où l’hypothèse de faible amplitude a été remplacée par une hypothèse de stabilité spectrale vérifiée par le linéarisé du schéma au niveau du profil de choc totalement discret. Ce résultat repose de manière centrale sur une description précise de la fonction de Green du même linéarisé.

Cet exposé vise à être une introduction aux techniques développées par [Zumbrun Howard, 98’] et [Mascia Zumbrun, 03 ‘] et utilisées pour étudier la stabilité des ondes progressives dans divers problèmes (généralement paraboliques). Ces techniques reposent généralement sur une étude précise du spectre du linéarisé au niveau de l’onde et la traduction de ces informations spectrales en estimées sur le comportement en temps long de la fonction de Green du linéarisé.

Dans cet exposé, on se concentrera sur l’application de ces techniques pour extraire le comportement en temps long des schémas aux différences finies pour l’équation de transport. En particulier, on détaillera l’étude et le prolongement analytique de la fameuse « fonction de Green spatiale » à travers le spectre essentiel de l’opérateur d’évolution du schéma. Tout cela sera suivi d’une discussion sur les difficultés supplémentaires pouvant apparaître en appliquant ces techniques pour des problèmes plus complexes tels que l’étude des profils de choc totalement discrets.

Cet exposé vise à être une introduction aux techniques développées par [Zumbrun Howard, 98’] et [Mascia Zumbrun, 03 ‘] et utilisées pour étudier la stabilité des ondes progressives dans divers problèmes (généralement paraboliques). Ces techniques reposent généralement sur une étude précise du spectre du linéarisé au niveau de l’onde et la traduction de ces informations spectrales en estimées sur le comportement en temps long de la fonction de Green du linéarisé.

Dans cet exposé, on se concentrera sur l’application de ces techniques pour extraire le comportement en temps long des schémas aux différences finies pour l’équation de transport. En particulier, on détaillera l’étude et le prolongement analytique de la fameuse « fonction de Green spatiale » à travers le spectre essentiel de l’opérateur d’évolution du schéma. Tout cela sera suivi d’une discussion sur les difficultés supplémentaires pouvant apparaître en appliquant ces techniques pour des problèmes plus complexes tels que l’étude des profils de choc totalement discrets.

L’opérateur de Bloch–Torrey -h²Δ+ix  est un opérateur différentiel non auto-adjoint qui gouverne l’évolution temporelle de la magnétisation de particules porteuses de spin dans un corps soumis à un champ magnétique. Cet opérateur est central dans la modélisation de l’IRM de diffusion (une technique médicale particulièrement utilisée pour l’imagerie du cerveau). En particulier, la localisation de ses fonctions propres, qui est importante pour les applications, n’est pas encore comprise à l’heure actuelle. L’objectif de cet exposé est de comprendre cette localisation au moyen d’une estimation d’Agmon. L’outil principal est la construction d’un parametrix à l’aide du calcul symbolique des opérateurs pseudodifférentiels à valeurs opérateurs. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Martin Averseng, Frédéric Hérau et Nicolas Raymond.

We study the time-harmonic scattering by a heterogeneous object covered with a thin layer of randomly distributed sound-soft nanoparticles. The size of the particles, their distance between each other and the layer’s thickness are all of the same order but small compared to the wavelength of the incident wave. Solving the Helmholtz equation in this context can be very costly and the simulation depends on the given distribution of particles. To circumvent this, we propose, via a multi-scale asymptotic expansion of the solution, an effective model where the layer of particles is replaced by an equivalent boundary condition. The coefficients that appear in this equivalent boundary condition depend on the solutions to corrector problems of Laplace type defined on unbounded random domains. Under the assumption that the particles are distributed given a stationary and mixing random point process, we prove that those problems admit a unique solution in the proper space. We then establish quantitative error estimates for the effective model and present numerical simulations that illustrate our theoretical results.

This is a joint work with Sonia Fliss (Poems, ENSTA).

Je présenterai la construction d’un domaine planaire à un unique trou, sur lequel la ligne nodale d’une seconde fonction propre du laplacien de Dirichlet est close et ne rencontre pas le bord. Ceci montre que la conjecture de Payne sur la ligne nodale ne peut être valide en dehors des domaines simplement connexes.

Je vais présenter un problème d’optimisation à frontière libre analogue au problème de Alt-Caffarelli pour les fonctions biharmoniques. Ce problème apparaît dans différentes questions d’optimisation de forme, dont la minimisation de la trainée d’un obstacle dans un fluide sous contrainte de mesure, la minimisation de la première valeur propre de l’opérateur de Stokes (ou de flambage) dans les domaines du plan, etc.. On s’attend à ce que la frontière libre obtenue soit généralement une union de courbes lisses, pouvant se rejoindre avec un angle d’environ 1.43pi, et je présenterai plusieurs résultats allant dans ce sens.

C’est un travail en collaboration avec Jimmy Lamboley.

Le succès de la chimiothérapie dépend à la fois de la stratégie d’administration du médicament et de sa capacité à éliminer les cellules cancéreuses tout en préservant autant que possible les tissus sains. Dans cette présentation, nous nous intéresserons à un problème de contrôle optimal avec des contraintes d’état appliqué à la chimiothérapie des tumeurs invasives, où la dose de médicament agit comme variable de contrôle. Étant donné que le traitement affecte à la fois les cellules tumorales et les tissus sains, l’objectif du
problème de contrôle est de réduire la densité tumorale en contrôlant la dose du médicament. Pour ce faire, nous modélisons l’action thérapeutique à l’aide d’une équation de réaction-diffusion non linéaire décrivant l’évolution d’une tumeur invasive sous traitement. Nous commençons par analyser mathématiquement le problème initial de valeur limite. Nous formulons ensuite le problème de contrôle optimal sous contraintes et en déduisons les conditions nécessaires à l’optimalité. Enfin, à l’aide de simulations numériques en 2D pour un cas de cancer du sein, nous illustrons l’importance des contraintes d’état dans les stratégies de traitement optimales, avant de conclure par quelques perspectives