La méthode Galerkin Discontinu permet d’approcher numériquement de façon très précise les solutions régulières des équations hyperboliques. Il est par contre plus délicat d’approcher des solutions discontinues ou des solutions perturbations autour de solutions stationnaires (pour des équations avec termes sources).

En effet, dans le premier cas, les oscillations de Gibbs générées aux discontinuités peuvent déstabiliser le schéma, tandis que dans le deuxième cas, l’erreur produite sur la solution stationnaire rend difficile l’étude des dynamiques perturbatives. Nous verrons dans cet exposé comment les réseaux de neurones peuvent être utilisés pour construire des viscosités artificielles qui stabilisent les schémas numériques et comment elles permettent de construire des bases Galerkin Discontinu adaptées aux solutions stationnaires du problème.

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Initialement considéré comme un lemme clé dans les structures de régularité, le théorème de reconstruction s’est avéré être un outil analytique très flexible pour étudier l’intégration à la fois stochastique et déterministe en dimension supérieure. Dans cet exposé, nous discuterons d’une extension particulière du théorème de reconstruction dans un contexte stochastique où la famille de distributions sous-jacente satisfait certaines conditions naturelles impliquant des incréments rectangulaires. Cela nous permet de prouver l’existence et l’unicité d’une nouvelle classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques de type hyperbolique qui combine l’intégration stochastique standard à la Walsh et les produits de Young.

Travail en collaboration avec Hannes Kern (TU Berlin).

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Le système d’Euler-Korteweg (compressible) est une perturbation dispersive des équations d’Euler modélisant les effets de la capillarité. Il peut se voir comme une équation de Schrödinger quasilinéaire dégénéré, et dans certains cas particuliers, est équivalent à l’équation de Schrödinger non linéaire via un changement de variable, la transformation de Madelung.
On discutera dans cet exposé de quelques résultats sur la dynamique des solutions que cette analogie laisse espérer (soliton, scattering, limite « semi classique »), certains étant maintenant des théorèmes.

Dans cet exposé, on discutera un résultat récent obtenu en collaboration avec Caroline Lasser et Didier Robert.

Il s’agit de la construction d’approximations du propagateur associé à un opérateur de Schrödinger semi-classique matriciel.

La méthode utilisée repose sur l’utilisation de paquets d’onde gaussiens et notre résultat justifie les méthodes numériques de « multiple spawning » utilisées en chimie quantique.

The Mirror Sweeping Process is a constrained differential Inclusion involving a normal cone to a moving set.
In this talk, we present the well-posedness theory for this dynamical system under different sets of assumptions. We also discuss some applications to online optimization and possible extensions to other fields.

We study the existence of solutions to a kinetic system
describing the dynamics of a large number of particles undergoing the
effect of a self-generated field (electrical or gravitational) and the
action of random jumps in velocity according to a $2\sigma$-stable
Poisson process. The evolution of the corresponding system can be seen
as a fractional version of the classical Valsov-Poisson-Fokker-Planck
systems in which the dissipating part is described by a fractional
Laplacian. We address the question of local existence in time of mild
solutions for this system in all natural ranges $0 < \sigma < 1$ thanks
to the use of commutator estimates à la Kato-Ponce. We also investigate
the possibility of propagating the lifespan of these solutions in the
range $\frac{1}{2} < \sigma < 1$ and get global solutions in a natural
weighted $L^2$ space, which is possible thanks to the use of fundamental
solutions combined with an approach due to Bouchut (\emph{J. Funct.
Analysis} Vol 111(1) 1993 pp 239-258.).

Lorsque nous résolvons numériquement un problème de contrôle optimal gouverné par des équations aux dérivées partielles instationnaires, les conditions d’optimalité donnent des systèmes avec un grand nombre d’équations fortement couplées. Il est donc souhaitable de résoudre de tels systèmes en parallèle sur plusieurs processeurs. L’approche classique consiste à décomposer le domaine spatial en plusieurs sous-domaines pour obtenir des problèmes plus petits à résoudre en parallèle. Une autre possibilité intéressante est de décomposer le domaine temporel pour obtenir des méthodes « parallèles en temps ». Dans cet exposé, je présenterai deux méthodes de résolution basées sur une telle décomposition : la première utilise uniquement des communications entre sous-domaines voisins, alors que la deuxième nécessite la résolution d’un système global, mais de taille réduite. Je démontrerai la convergence des deux méthodes lorsque l’EDP est de type diffusif. Je présenterai enfin quelques exemples numériques pour montrer le comportement de ces algorithmes en fonction du nombre de sous-domaines.

Le principe fort/faible de Dafermos et DiPerna montre que les solutions fortes (Lipschitziennes) de lois de conservations sont stables, et donc uniques, parmi les solutions faibles entropiques. Dans cette série d’exposés, nous présenterons la théorie de “contraction avec poids et  décalages” qui étend le principe fort/faible aux solutions discontinues avec chocs.

In this talk, we present a posteriori estimates for finite element approximations of nonlinear elliptic problems satisfying strong-monotonicity and Lipschitz-continuity properties. These estimates include, and build on, any iterative linearization method that satisfies a few clearly identified assumptions; this encompasses the Picard, Newton, and Zarantonello linearizations. The estimates give a guaranteed upper bound on an augmented energy difference (reliability with constant one), as well as a lower bound (efficiency up to a generic constant). We prove that for the Zarantonello linearization, this generic constant only depends on the space dimension, the mesh shape regularity, and possibly the approximation polynomial degree in four or more space dimensions, making the estimates robust with respect to the strength of the nonlinearity. For the other linearizations, there is only a computable dependence on the local variation of the linearization operators. We also derive similar estimates for the energy difference. Numerical experiments illustrate and validate the theoretical results, for both smooth and singular solutions.