Séminaires

Dans ce travail avec Peter Sternberg, nous prouvons l’existence d’une solution entière de l’équation d’Allen-Cahn vectorielle qui est minimisante au sens de De Giorgi. Le potentiel a trois puits et n’est pas supposé être symétrique. Les blow-downs de la solution vers une triple jonction.

L’équation de Korteweg-de Vries modifiée (mKdV) est un modèle asymptotique en mécanique des fluides, et ses solutions auto-similaires sont liés à la formation de spirales (avec coin) dans les vortex patch.

Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents obtenus en collaboration avec Simão Correia (Lisbonne) et Luis Vega (Bilbao), concernant la description, la stabilité et la perturbation de la dynamique à l’explosion des solutions auto-similaires de (mKdV).

We establish the exponential decay of the solutions of the thermoelasticity system subject to full boundary damping. The considered problem is associated with several dynamic boundary conditions, also referred to as Wentzell or Ventcel boundary conditions in the literature. The analysis is based on the determination of crucial identity and some further analysis. This is established through the multiplier technique and with some geometric assumptions.

This work was partially supported by a grant from the IMU-CDC and Simons Foundation.

Ce deuxième exposé du groupe de travail se fera en 2 parties. Dans une première partie Camille L. exposera (les idées principales) de la preuve du théorème de A. Chambolle, A. Giacomini et M. Ponsiglione à propos de « l’initiation soudaine d’une fissure », et dans une deuxième partie, Antoine L. fera un court résumé d’un travail ancien en collaboration avec Antonin Chambolle et J-F Babadjian sur l’analyse asymptotique d’une solution d’EDP elliptique au voisinage d’une fissure non lisse (seulement rectifiable et connexe). Cette deuxième partie est en lien avec la notion « d’Energy release rate » évoqué par Camille L. dans son premier exposé, mais pourra être suivie de façon totalement indépendante du reste.

Dans cet exposé, on s’intéresse à des inégalités fonctionnelles pour les systèmes de fonctions orthonormées en norme L^p. Le défi majeur consiste à prouver une dépendance optimale sur le nombre de fonctions impliquées. Nous nous concentrerons sur une famille d’inégalités appelées estimées « spectral cluster », qui concernent les combinaisons linéaires de fonctions propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami sur des variétés riemanniennes compactes. Une version a été établie par R. Frank et J. Sabin dans le cadre de métriques lisses, généralisant les travaux fondateurs de Sogge des années 80. Nous verrons comment prouver de telles estimées en plus basse régularité. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Jean-Claude Cuenin (University of Loughborough).