Séminaires

De nombreuses applications en traitement d’images (débruitage, segmentation), en science des données (lissage de nuages de points, associations de formes), en sciences des matériaux (évolution des grains dans les alliages, croissance des cristaux) ou en biologie (modélisation cellulaire) nécessitent l’approximation de l’évolution d’interfaces géométriques telles que l’emblématique mouvement par courbure moyenne.
Dans ce contexte, la méthode des champs de phase est un outil particulièrement efficace pour approcher
l’évolution des surfaces orientées, mais les choses se révèlent beaucoup plus difficiles pour les surfaces non orientées.
Dans cet exposé, nous expliquerons comment approcher de telles évolutions en entraînant des réseaux de neurones dont les structures dérivent des schémas classiques de discrétisation de l’équation d’Allen Cahn.
Des applications numériques aux problèmes de Steiner et de Plateau seront aussi proposées.

Dans ces deux exposés, je parlerai de trois conjectures de Pólya qui sont toujours ouvertes.
Les deux premières sont très connues et concernent les valeurs propres du Laplacien, la 3ème est beaucoup
moins connue et est dans le domaine de la géométrie convexe.
Je présenterai des avancées récentes sur ces trois conjectures faisant appel à des techniques très différentes

This talk addresses the question of the interplay between relaxation and irreversibility through
evolution processes in damage mechanics, by inquiring the following question: can the quasi-static
evolution of an elastic material undergoing a process of plastic deformation be derived as the limit
model of a sequence of quasi-static brittle damage evolutions?
This question is motivated by the static analysis led in [1], where the authors have shown
how the brittle damage model introduced by Francfort and Marigo (see [4]) can lead to a model
of (Hencky) perfect plasticity. Problems of damage mechanics being rather described through
evolution processes, it is natural to extend this analysis to quasi-static evolutions, where the inertia
is neglected. We consider the case where the medium is subjected to time-dependent boundary
conditions, in the one-dimensional setting. The idea is to combine the scaling law introduced in [1]
with the quasi-static brittle damage evolution introduced in [3] by Francfort and Garroni, and try
to understand how the irreversibility of the damage process will be expressed in the limit evolution.
Surprisingly, the interplay between relaxation and irreversibility of the damage is not stable
through time evolutions. Indeed, depending on the choice of the prescribed Dirichlet boundary
condition, the effective quasi-static damage evolution obtained may not be of perfect plasticity
type.
References:
[1] J.-F. Babadjian, F. Iurlano, F. Rindler: Concentration versus oscillation effects in brittle damage, Comm.
Pure Appl. Math. 74 (2021) 1803–1854.
[2] G. Dal Maso, A. DeSimone, M. G. Mora: Quasistatic evolution problems for linearly elastic-perfectly plastic
materials, Arch. Ration. Mech. Anal. 180 (2006) no. 2, 237–291.
[3] G. A. Francfort, A. Garroni: A Variational View of Partial Brittle Damage Evolution, Arch. Rational
Mech. Anal 182 (2006) 125–152.
[4] G. A. Francfort, J.-J. Marigo: Revisiting brittle fracture as an energy minimization problem, J. Mech.
Phys. Solids 46 (1998) 1319–1342.

Le système d’Euler-Korteweg (compressible) est une perturbation dispersive des équations d’Euler modélisant les effets de la capillarité. Il peut se voir comme une équation de Schrödinger quasilinéaire dégénéré, et dans certains cas particuliers, est équivalent à l’équation de Schrödinger non linéaire via un changement de variable, la transformation de Madelung.
On discutera dans cet exposé de quelques résultats sur la dynamique des solutions que cette analogie laisse espérer (soliton, scattering, limite « semi classique »), certains étant maintenant des théorèmes.

Dans cet exposé, on discutera un résultat récent obtenu en collaboration avec Caroline Lasser et Didier Robert.

Il s’agit de la construction d’approximations du propagateur associé à un opérateur de Schrödinger semi-classique matriciel.

La méthode utilisée repose sur l’utilisation de paquets d’onde gaussiens et notre résultat justifie les méthodes numériques de « multiple spawning » utilisées en chimie quantique.

The Mirror Sweeping Process is a constrained differential Inclusion involving a normal cone to a moving set.
In this talk, we present the well-posedness theory for this dynamical system under different sets of assumptions. We also discuss some applications to online optimization and possible extensions to other fields.

We study the existence of solutions to a kinetic system
describing the dynamics of a large number of particles undergoing the
effect of a self-generated field (electrical or gravitational) and the
action of random jumps in velocity according to a $2\sigma$-stable
Poisson process. The evolution of the corresponding system can be seen
as a fractional version of the classical Valsov-Poisson-Fokker-Planck
systems in which the dissipating part is described by a fractional
Laplacian. We address the question of local existence in time of mild
solutions for this system in all natural ranges $0 < \sigma < 1$ thanks
to the use of commutator estimates à la Kato-Ponce. We also investigate
the possibility of propagating the lifespan of these solutions in the
range $\frac{1}{2} < \sigma < 1$ and get global solutions in a natural
weighted $L^2$ space, which is possible thanks to the use of fundamental
solutions combined with an approach due to Bouchut (\emph{J. Funct.
Analysis} Vol 111(1) 1993 pp 239-258.).