As part of control theory, stabilization consists in finding a way to make stable a trajectory of a system on which one has some means of action. In this talk, we will discuss recent advances in stabilization of PDEs, starting with one of the most natural approaches for nonlinear systems, quadratic Lyapunov functions, to more complex approaches such as Fredholm backstepping. Backstepping consists in finding a control operator such that the PDE system can be invertibly mapped to a simpler PDE system for which stability is known. Surprisingly powerful, this approach offers the possibility to deal with very general classes of systems. We will review the origin of the method and present new results that resolve a question opened in 2017 and illustrate it on the rapid stabilization of the linearized water-wave equations. Finally, if time allows we will talk about a completely different subject: teaching mathematics to an AI and we will consider two questions, can we train an AI to predict the solution of a mathematical problem? can we train an AI to prove a statement?

Dans ce groupe de travail, je vais donner un aperçu général des différents résultats d’existence globale en temps d’une classe de systèmes de réaction-diffusion qui proviennent de la modélisation de l’écologie (Systèmes de Lotka-Volterra), , la chimie (réactions chimiques réversibles) et de nombreux autres domaines scientifiques.

We consider the wave propagation in a periodic structure made of a honeycomb arrangement of thin tubes. We prove the presence of Dirac points (in the dispersion surfaces of the associated operator). In addition, cutting the structure in the Zig Zag direction creates guides modes. Those results are proved by asymtptotic analysis: as the width of the tubes goes to zeros the domain tends to a graph (where explicite computations can be done). This is a joint work with Sonia Fliss (POEMS, Inria-ENSTA-CNRS).

I will present some recent work in collaboration with Elisa Davoli (TU Wien) and Katerina Nik (University of Vienna) on a three-dimensional quasistatic morpholelastic model. The mechanical response of the body and its growth are modeled by the interplay of hyperelastic energy minimization and growth dynamics. An existence result is obtained by regularization and time-discretization, also taking advantage of an exponential-update scheme. Then, we allow the growth dynamics to depend on an additional scalar field modeling nutrient concentration, and formulate an optimal control problem. Eventually, we tackle the existence of coupled morphoelastic and nutrient solutions, when the latter is allowed to diffuse and interact with the growing body.

On présente d’abord les notions de base et quelques résultats connus sur les plongements isométriques de régularité faible des variétés riemanniennes dans les espaces euclidiennes en basse dimension, sur leurs deux versants de flexibilité (h-principe) et rigidité, dont quelques résultats récents. En particulier, on note que Borisov, et le suivant, Conti-De Lellis et Székelyhidi, ont démontré la convexité de l’image d’un tel plongement dans ${\mathbb R}^3$ d’une surface sans bord si sa métrique est régulière de classe $C^{2,\beta}$, la courbure est positive, et le plongement est de classe $C^{1,\alpha}$ pour $\alpha>2/3$. On discute la généralisation de ce résultat au cas où la métrique est seulement de classe $C^{1,\alpha}$ et la courbure au sens distributionnel est seulement non-négative. Pour établir cette généralisation, une nouvelle approche moyennant l’étude de l’équation de Monge-Ampère au sens très faible devient nécessaire.

In this talk I will provide an overview on the problem of controllability of parameter dependent systems. I will explore different control notions successfully developed through the last decade.
The aim of the control function is to steer the system to a state satisfying some properties prescribed either at some time instant T>0 or during a given time interval. These properties may be separated with respect to parameter values and can refer just to a single system itself (e.g. greedy control), or may consider solutions corresponding to the whole parameter range (e.g. ensemble control, averaged control). In the latter case control functions are designed as parameter invariant, implying a same control is to be applied to the system independently of a particular realization of the parameter, while in the first case controls vary along with the parameter. Beside the positive theoretical results, for each notion we provide a computational algorithm.

On s’intéresse à un problème de contrôle approché de l’équation de la chaleur par des « formes » : à l’aide d’un terme source donné par la fonction caractéristique d’un ensemble (variable dans le temps, de mesure uniformément bornée), on cherche à emmener la solution près d’un état final donné.

Ces contrôles très particuliers peuvent être vus comme des points extrémaux d’un certain ensemble convexe : or beaucoup de problèmes de contrôle optimal (et d’optimisation en général) ont pour minimiseurs (ou maximiseurs) des points extrémaux. Pour trouver le « bon » problème d’optimisation, on combine la dualité de Fenchel-Rockafellar, qui associe à un problème d’optimisation (dit primal) un problème dit dual, et le principe « de la baignoire », qui concerne la maximisation sous contraintes d’un produit scalaire. Les contrôles optimaux associés à ce « bon » problème ont alors de bonnes chances d’être des formes, et de répondre ainsi à la question initiale.

La méthode de preuve permet d’étudier plus généralement la question du contrôle d’EDP avec des contraintes sur le contrainte, notamment le phénomène dit « bang-bang » : en dimension finie, il a été souvent observé que les contrôles optimaux (notamment les contrôles en temps minimal) saturent les contraintes qui leur sont imposées, et ont donc une forme plus simple (par exemple, une fonction constante par morceaux en temps). Le phénomène apparaît également en dimension infinie et nous verrons comment l’approche développée pour l’équation de la chaleur permet de l’étudier.

On considère des modèles de théorie quantique des champs décrivant l’évolution d’une particule non-relativiste couplée à un champ quantifié. L’énergie d’un tel système est associée à un opérateur auto-adjoint, un hamiltonien, agissant sur un espace de Hilbert approprié. Dans cet exposé, nous nous intéressons à la minimisation de l’énergie quasi-classique de ce système, c’est-à-dire l’énergie lorsque le champ se trouve dans un état cohérent. Les minimiseurs d’une telle énergie sont appelés états fondamentaux quasi-classiques. Nous verrons que le problème de minimisation peut se réduire à la minimisation d’une fonctionnelle de Hartree, ou d’un système couplé Maxwell-Schrödinger, selon le modèle considéré. Nous montrerons l’existence et l’unicité d’un état fondamental quasi-classique pour ces modèles. Enfin, nous verrons que ces états permettent de décomposer l’énergie fondamentale du modèle en deux parties : une quasi-classique, calculée lors de la minimisation sur les états cohérents, et une autre correspondant à la contribution des états excités.