In this talk, I will present controllability results for some linear and non-linear wave equations. The linear equations will be vector-valued and at different levels of regularity. I will give the main ideas of the proof of a change of regularity result. For the non-linear equations, I will consider the case of the focusing cubic Klein-Gordon equation. I will state a local controllability result around a regular solution, and a null-controllability result for scattering solutions. In the presence of damping, I will give both a positive and a negative stabilization result. I will also provide some ideas of proofs.

La méthode Galerkin Discontinu permet d’approcher numériquement de façon très précise les solutions régulières des équations hyperboliques. Il est par contre plus délicat d’approcher des solutions discontinues ou des solutions perturbations autour de solutions stationnaires (pour des équations avec termes sources).

En effet, dans le premier cas, les oscillations de Gibbs générées aux discontinuités peuvent déstabiliser le schéma, tandis que dans le deuxième cas, l’erreur produite sur la solution stationnaire rend difficile l’étude des dynamiques perturbatives. Nous verrons dans cet exposé comment les réseaux de neurones peuvent être utilisés pour construire des viscosités artificielles qui stabilisent les schémas numériques et comment elles permettent de construire des bases Galerkin Discontinu adaptées aux solutions stationnaires du problème.

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Initialement considéré comme un lemme clé dans les structures de régularité, le théorème de reconstruction s’est avéré être un outil analytique très flexible pour étudier l’intégration à la fois stochastique et déterministe en dimension supérieure. Dans cet exposé, nous discuterons d’une extension particulière du théorème de reconstruction dans un contexte stochastique où la famille de distributions sous-jacente satisfait certaines conditions naturelles impliquant des incréments rectangulaires. Cela nous permet de prouver l’existence et l’unicité d’une nouvelle classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques de type hyperbolique qui combine l’intégration stochastique standard à la Walsh et les produits de Young.

Travail en collaboration avec Hannes Kern (TU Berlin).

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Le but de l’exposé est de comprendre la preuve du théorème de De Philippis et Rindler (2016) qui redémontre et généralise dans un cadre beaucoup plus étendu le fameux théorème dit « Rang-1 » d’Alberti (1993). Pour rappel, celui-ci stipule que toute mesure (à valeurs Matrices) qui est Curl-free doit avoir une partie singulière de rang-1, répondant en particulier à une question de De Giorgi et Ambrosio à propos des fonctions BV. De Philippis et Rindler ont récemment généralisé ce résultat en découvrant une nouvelle preuve assez astucieuse basée sur la théorie de Fourier, ayant d’autres applications intéressantes. Nous nous efforcerons de faire des rappels introductifs de manière à comprendre au mieux la preuve sans trop de pré-requis, ainsi que ses principales applications.

Les notes de l’exposé d’Antoine Lemenant sont disponibles sur sa page web, en suivant ce lien.

1. Lien entre l’hydrodynamique quantique et les équations de Schrödinger non linéaires
2. Vitesse de propagation maximale pour les équations de Schrödinger

Dans cet exposé, nous montrons un résultat de stabilisation pour l’équation de la plaque amortie avec une décroissance logarithmique de l’énergie de la solution. La preuve de ce résultat est réalisée au moyen d’une estimation de Carleman pour les opérateurs elliptiques d’ordre quatre avec les conditions au bord dites de Lopatinskii-Sapiro et d’une estimation de la résolvante pour le générateur du semigroupe de la plaque amortie associé à ces conditions aux limites. La dérivation des inégalités de Carleman passe d’abord par des estimations microlocales, puis par des estimations locales, et enfin par une estimation globale.

Le but de l’exposé est de comprendre la preuve du théorème de De Philippis et Rindler (2016) qui redémontre et généralise dans un cadre beaucoup plus étendu le fameux théorème dit « Rang-1 » d’Alberti (1993). Pour rappel, celui-ci stipule que toute mesure (à valeurs Matrices) qui est Curl-free doit avoir une partie singulière de rang-1, répondant en particulier à une question de De Giorgi et Ambrosio à propos des fonctions BV. De Philippis et Rindler ont récemment généralisé ce résultat en découvrant une nouvelle preuve assez astucieuse basée sur la théorie de Fourier, ayant d’autres applications intéressantes. Nous nous efforcerons de faire des rappels introductifs de manière à comprendre au mieux la preuve sans trop de pré-requis, ainsi que ses principales applications.

Les notes de l’exposé d’Antoine Lemenant sont disponibles sur sa page web, en suivant ce lien.

Dans cet exposé, je présenterai le modèle tensoriel de Landau de Gennes pour les cristaux liquides nématiques dans le régime dit de Lyutsyukov faisant intervenir des applications à valeurs dans la sphère S4. Ce modèle décrit les configurations stables de cristaux liquides comme étant les minimiseurs d’une énergie de type Ginzburg-Landau dont le puit de potentiel est le plan projectif réel. Lorsque le domaine est une boule et la donnée de Dirichlet est à symétrie radiale (équivariante), on pourrait s’attendre à ce qu’un minimiseur soit également à symétrie radiale. De nombreuses simulations numériques montrent que ce n’est pas du tout le cas. Une certaine structure en tore apparaît. Une symétrie axiale semble toutefois préservée, et celle-ci a souvent été utilisée comme ansatz faisant alors apparaître d’autres solutions, singulières, appelées solutions splits. A l’aide de résultats de régularité sur ce modèle, j’essayerai d’expliquer l’existence et la géométrie de ces solutions tores et splits. Cet exposé est basé sur une série de travaux en collaboration avec Federico Dipasquale et Adriano Pisante.

The standard approach for photoacoustic imaging with variable speed of sound is time reversal, which consists of solving a well-posed final-boundary value problem for the wave equation backwards in time. We present a gradient based approach which consists of the iterative Landweber regularization algorithm, where convergence is guaranteed by standard regularization theory, notably also in cases of trapping sound speed or for short measurement times.
We formulate and solve the direct and inverse problem on the whole Euclidean space, which is common in standard photoacoustic imaging, but not for time reversal algorithms, where the problems are considered on a domain enclosed by the measurement devices. We formulate both the direct and adjoint photoacoustic operator as the solution of an interior and an exterior differential equation which are coupled by transmission conditions. The former is solved numerically using a Galerkin scheme in space and finite difference discretization in time, while the latter consists of solving a boundary integral equation. We therefore use a boundary element method/finite element method approach for numerical solution of the forward operators.
We analyze this method, prove convergence, and provide numerical tests. Moreover, we compare the approach to time reversal.

We consider the Dirichlet Laplacian in a two-dimensional strip composed of segments translated along a straight line with respect to a rotation angle with velocity diverging at infinity. We show that this model exhibits a “raise of dimension” at infinity leading to an essential spectrum determined by an asymptotic three-dimensional tube of annular cross section. If the cross section of the asymptotic tube is a disc, we also prove the existence of discrete eigenvalues below the essential spectrum. Joint work with David Krejcirik (Prague).

We consider the reaction-diffusion competition system

which is the so-called critical case. The associated ODE system then admits infinitely many equilibria, which makes the analysis quite intricate. We first prove the non-existence of monotone traveling waves by applying the phase plane analysis. Next, we study the long-time behavior of the solution of the Cauchy problem with a compactly supported initial datum. We not only reveal that the  »faster » species excludes the   »slower » species (with an identified  »spreading speed »), but also provide a sharp description of the profile of the solution, thus shedding light on a new  »bump phenomenon ».

Les estimations de type Strichartz sont un outil fondamental dans l’étude des EDP dispersives, en particulier pour leur application dans l’étude de modèles non-linéaires. Après avoir rappelé brièvement comment obtenir ces estimations pour l’équation de Schrödinger sur l’espace Euclidien et leur utilité dans la résolution du problème de Cauchy pour une équation semi-linéaire, nous verrons comment traiter le cas d’un domaine compact, d’abord général puis les améliorations possibles dans le cas d’un tore. Si le temps le permet, nous montrerons également comment les estimations de Strichartz semi-classiques peuvent être utiles dans l’analyse de problèmes dispersifs quasi-linéaires.