Séminaires

Les estimations de type Strichartz sont un outil fondamental dans l’étude des EDP dispersives, en particulier pour leur application dans l’étude de modèles non-linéaires. Après avoir rappelé brièvement comment obtenir ces estimations pour l’équation de Schrödinger sur l’espace Euclidien et leur utilité dans la résolution du problème de Cauchy pour une équation semi-linéaire, nous verrons comment traiter le cas d’un domaine compact, d’abord général puis les améliorations possibles dans le cas d’un tore. Si le temps le permet, nous montrerons également comment les estimations de Strichartz semi-classiques peuvent être utiles dans l’analyse de problèmes dispersifs quasi-linéaires.

Nous nous intéresserons dans cet exposé à l’équation de Schrödinger logarithmique (abrégé en logNLS), équation non-linéaire introduite en 1976 par Białynicki-Birula et Mycielski dans un modèle de mécanique des ondes linéaires en physique. Longtemps oublié par les mathématiciens, cette équation présente une dynamique originale, parfois surprenante comparée à celle des équations de Schrödinger non-linéaires usuellement étudiées, dont les non-linéarités sont régulières voire lisses (typiquement du type puissance). J’exposerai quelques propriétés de logNLS qui attestent de cette originalité, en me focalisant sur les résultats de comportement en temps long. En particulier, sera présenté plus en profondeur le cas du régime dispersif, dont la compréhension du comportement en temps grand est très avancée : la vitesse de dispersion est plus rapide d’un facteur logarithmique et le carré du module de la solution renormalisée converge faiblement dans L^1 vers une gaussienne universelle, ne dépendant pas des conditions initiales. Je montrerai que cette description peut être améliorée par une vitesse de convergence explicite et optimale en distance de Wasserstein-1 (aussi appelé métrique de Kantorovich-Rubinstein), indépendante de la constante semi-classique, et que cette convergence est également valable à la limite semi-classique.

Les estimations de type Strichartz sont un outil fondamental dans l’étude des EDP dispersives, en particulier pour leur application dans l’étude de modèles non-linéaires. Après avoir rappelé brièvement comment obtenir ces estimations pour l’équation de Schrödinger sur l’espace Euclidien et leur utilité dans la résolution du problème de Cauchy pour une équation semi-linéaire, nous verrons comment traiter le cas d’un domaine compact, d’abord général puis les améliorations possibles dans le cas d’un tore. Si le temps le permet, nous montrerons également comment les estimations de Strichartz semi-classiques peuvent être utiles dans l’analyse de problèmes dispersifs quasi-linéaires.

L’équation quasi-géostrophique de surface est un modèle issu de la mécanique des fluides géophysiques qui présente de fortes similarités avec l’équation d’Euler incompressible. Le but de cet exposé est de décrire deux constructions variationnelles qui permettent d’obtenir des solutions particulières de cette équation sous la forme d’une paire de vortex en translation et sous celle d’un polygone régulier de vortex en rotation. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Ludovic Godard-Cadillac (Université de Nantes) et Didier Smets (Sorbonne Université).

On s’intéresse à un problème de contrôle approché de l’équation de la chaleur par des « formes » : des contrôles internes, qui en espace sont des fonctions caractéristiques d’ensembles de mesures uniformément bornées.

En partant de l’exemple de la méthode HUM, on montre comment des outils d’analyse et d’optimisation convexes peuvent être utilisés pour étudier les propriétés de contrôlabilité d’un tel système, comportant des contraintes sur le contrôle. Pour faire cela, on voit la recherche de contrôles comme la recherche de contrôles optimaux pour un certain coût bien choisi. En posant ensuite ce problème de contrôle optimal comme un problème d’optimisation convexe sous contraintes, on peut appliquer des résultats généraux d’optimisation convexe pour conclure.

L’outil central de cette approche est la notion de dualité de Fenchel-Rockafellar, qui associe à un problème d’optimisation (dit primal) un problème dit dual. Ces deux problèmes peuvent être vus comme les deux facettes de la formulation Hamiltonienne du problème, de manière analogue aux problèmes de mécanique en physique, où l’on peut opter pour une formulation en coordonnées ou une formulation avec les moments. L’avantage du problème dual est que même si le problème primal comporte des contraintes, le problème dual s’écrit en revanche sans contraintes (mais avec des termes supplémentaires).

Dans la méthode HUM, la solution du problème dual permet de construire le contrôle optimal. Cela se généralise en fait à tout problème de contrôle optimal sous de bonnes hypothèses, et permet d’obtenir le résultat pour le contrôle de l’équation de la chaleur par des « formes ».

Le but de ce travail est de montrer la contrôlabilité à zéro d’un système modélisant l’interaction entre un fluide incompressible et une structure solide en utilisant un contrôle distribué localement situé dans le domaine du fluide. Le fluide est modélisé par le système de Navier-Stokes avec les conditions de Navier sur le bord, tandis que le corps rigide est gouverné par les lois de Newton. Le résultat principal montre qu’on peut amener les vitesses du fluide et de la structure à zéro et qu’on peut contrôler exactement la position du solide qui est supposé être assez régulier et de forme géométrique quelconque. Le point clé consiste à l’élaboration d’une nouvelle inégalité de Carleman pour le système linéarisé associé à notre problème couplant les équations de Stokes et des équations différentielles ordinaires avec les conditions de Navier sur le bord.

Dans cet exposé, qui se veut élémentaire et facile à suivre, on parlera d’un travail en collaboration avec Antoine Henrot et Ilaria Lucardesi au cours duquel nous cherchons à maximiser la première valeur propre (non triviale) du Laplacien Neumann parmi tous les corps convexes du plan, à Périmètre fixé. Ceci fait référence à une conjecture ouverte depuis au moins 2009. Nous avons notamment résolu la question pour les convexes ayant 2 axes de symétrie orthogonaux à l’aide d’une preuve assez courte et astucieuse. Le cas général semble beaucoup plus difficile, et j’essaierai d’expliquer pourquoi.

On s’intéresse à un problème de contrôle approché de l’équation de la chaleur par des « formes » : des contrôles internes, qui en espace sont des fonctions caractéristiques d’ensembles de mesures uniformément bornées.

En partant de l’exemple de la méthode HUM, on montre comment des outils d’analyse et d’optimisation convexes peuvent être utilisés pour étudier les propriétés de contrôlabilité d’un tel système, comportant des contraintes sur le contrôle. Pour faire cela, on voit la recherche de contrôles comme la recherche de contrôles optimaux pour un certain coût bien choisi. En posant ensuite ce problème de contrôle optimal comme un problème d’optimisation convexe sous contraintes, on peut appliquer des résultats généraux d’optimisation convexe pour conclure.

L’outil central de cette approche est la notion de dualité de Fenchel-Rockafellar, qui associe à un problème d’optimisation (dit primal) un problème dit dual. Ces deux problèmes peuvent être vus comme les deux facettes de la formulation Hamiltonienne du problème, de manière analogue aux problèmes de mécanique en physique, où l’on peut opter pour une formulation en coordonnées ou une formulation avec les moments. L’avantage du problème dual est que même si le problème primal comporte des contraintes, le problème dual s’écrit en revanche sans contraintes (mais avec des termes supplémentaires).

Dans la méthode HUM, la solution du problème dual permet de construire le contrôle optimal. Cela se généralise en fait à tout problème de contrôle optimal sous de bonnes hypothèses, et permet d’obtenir le résultat pour le contrôle de l’équation de la chaleur par des « formes ».

Nous appliquons une méthode de commutateurs à l’opérateur de Schrödinger discret sur . Nous proposons un nouvel opérateur conjugué qui nous permet de prouver la présence de spectre purement absolument continue à certains niveaux d’énergie. Nous imposons aux potentiels une décroissance de type longue portée plus générale que dans le traitement classique. Typiquement, on suppose une décroissance sur où κ>1 et τ_j est une translation dans la direction j. Le cas classique correspond à κ=1.

Travail réalisé en collaboration avec Marc-Adrien Mandich

On s’intéresse aux équations paraboliques linéaires, donc aux équations de la forme

(avec une condition initiale).

Nous nous intéressons principalement à l’obtention d’approximations de sa solution fondamentale K_t(x, y). Les approximations de la solution fondamentale ont une longue histoire en mathématiques et dans d’autres domaines, sous le nom d’approximation WKB (en théorie quantique) ou approximations du noyau de la chaleur.

L’asymptotique du noyau de la chaleur en termes de la géométrie a conduit à une démonstration célèbre du théorème de l’indice local et, plus récemment, dans les travaux de Pierre-Henry Labordère, à des applications souvent utilisées en finance. Si les coefficients sont suffisamment bornés (y compris leurs dérivées), j’expliquerai une méthode différente pour obtenir des développements en série perturbative qui conduit à des calculs très explicites des coefficients du développement asymptotique.

Cette méthode combine la formule de Duhamel/séries perturbatives de Dyson habituelles avec des calculs explicites inspirés des calculs des groupes de Lie nilpotents. J’expliquerai comment ces calculs peuvent ensuite être utilisés pour obtenir des approximations de la solution u de l’équation parabolique et je montrerai quelques tests numériques. J’espère que cette méthode pourra être étendue à de nombreux autres types d’équations (quelques résultats récents sur Navier-Stokes sur la sphère nous donnent plus de raisons d’espérer).

Ces techniques peuvent être combinées avec d’autres techniques (dans les EDP, dans l’analyse numérique ou dans d’autres domaines) et, en principe, pourraient fonctionner pour d’autres équations d’évolution. Dans le premier exposé, Nabil Kazi-Tani expliquera également très brièvement comment des équations paraboliques de ce type découlent de processus stochastiques.