La méthode Galerkin Discontinu permet d’approcher numériquement de façon très précise les solutions régulières des équations hyperboliques. Il est par contre plus délicat d’approcher des solutions discontinues ou des solutions perturbations autour de solutions stationnaires (pour des équations avec termes sources).

En effet, dans le premier cas, les oscillations de Gibbs générées aux discontinuités peuvent déstabiliser le schéma, tandis que dans le deuxième cas, l’erreur produite sur la solution stationnaire rend difficile l’étude des dynamiques perturbatives. Nous verrons dans cet exposé comment les réseaux de neurones peuvent être utilisés pour construire des viscosités artificielles qui stabilisent les schémas numériques et comment elles permettent de construire des bases Galerkin Discontinu adaptées aux solutions stationnaires du problème.

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Initialement considéré comme un lemme clé dans les structures de régularité, le théorème de reconstruction s’est avéré être un outil analytique très flexible pour étudier l’intégration à la fois stochastique et déterministe en dimension supérieure. Dans cet exposé, nous discuterons d’une extension particulière du théorème de reconstruction dans un contexte stochastique où la famille de distributions sous-jacente satisfait certaines conditions naturelles impliquant des incréments rectangulaires. Cela nous permet de prouver l’existence et l’unicité d’une nouvelle classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques de type hyperbolique qui combine l’intégration stochastique standard à la Walsh et les produits de Young.

Travail en collaboration avec Hannes Kern (TU Berlin).

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La résistance aux traitements est une raison majeure d’échec des chimiothérapies contre le cancer. Afin d’étudier les effets de différents protocoles de traitement, l’équipe de M.Carré [Centre de Recherche en Oncologie et Oncopharmacologie, Aix-Marseille Université] a réalisé des séries d’expériences in vitro sur des cultures de cellules cancéreuses sensibles ou résistantes à  un certain médicament. Ces expériences ont mis en lumière l’intérêt des protocoles métronomiques, c’est à  dire de plus faibles doses de médicament données plus fréquemment, par rapport aux protocoles MTD (maximal tolerated dose) classiques. Pour comprendre et améliorer ces résultats, nous proposons avec G.Chapuisat [Institut de Mathématiques de Marseille, Aix-Marseille Université] une modélisation de ces expériences, et l’optimisation du traitement par différents outils mathématiques. Tout d’abord, une stratégie adaptative reposant sur l’analyse du modèle est définie. Ensuite, la théorie du contrôle optimal est utilisée pour proposer un nouveau protocole de traitement, qui a été testé sur les cultures de cellules. Enfin, avec H.Zidani, l’approche de la programmation dynamique est présentée pour répondre de manière plus pragmatique aux attentes médicales.

Résumé

We present some extensions of Talenti’s comparison theorem for solutions of Poisson’s equation on domains in Euclidean space under Dirichlet boundary conditions. We show how these results can be particularly useful in proving isoperimetric inequalities for eigenvalues.

We derive a one-dimensional cable model for the electrical potential propagation along an axon. Since the typical thickness of an axon is much smaller than its length, and the myelin sheath is distributed periodically along the neuron, we simplify the problem geometry to a thin cylinder with alternating myelinated and unmyelinated parts. Both the microstructure period and the cylinder thickness are assumed to be of order h, a small positive parameter. Assuming a nonzero conductivity of the myelin sheath, we find a critical scaling with respect to h which leads to the appearance of an additional potential in the homogenized nonlinear cable equation. This potential contains information about the geometry of the myelin sheath in the original three-dimensional model.

A certaines équations de Schrödinger non-linéaires (NLS), on peut associer une mesure de Gibbs invariante basée sur l’énergie correspondante. C’est l’ingrédient de base de l’approche euclidienne en théorie constructive des champs quantiques, ainsi que l’asymptote naturelle pour l’équation de la chaleur non-linéaire stochastique. Nous discuterons d’une certaine limite de champ moyen connectant ces mesures et les états d’équilibre du modèle quantique à  N corps sous-jacent. Plus spécifiquement, nous traiterons du cas le plus simple o๠une renormalisation est nécessaire pour la définition de la mesure de Gibbs: deux dimensions d’espace et interactions régulières. travail commun avec Mathieu Lewin (Paris-Dauphine) et Phan Thà nh Nam (LMU, Munich)

Les équations de Maxwell-Stefan décrivent le comportement d’un mélange gazeux dont l’effet prédominant est la diffusion. Dans cet exposé, nous montrerons les liens entre la diffusion Fickienne et la diffusion à  la Maxwell-Stefan. Ensuite nous considérerons le cas non isotherme et étudierons quelques propriétés mathématiques de ces équations, notamment l’existence et l’unicité de la solution.

Cet exposé est dédié à  la modélisation et à  l’approximation   numérique du modèle d’Euler bitempérature dans le contexte de la   physique des plasmas. Ce système entre dans la catégorie des systèmes   hyperboliques non conservatifs dont l’étude est à  ce jour largement   incomprise tant du point de vue théorique que numérique. On introduit dans un premier temps un modèle cinétique sous-jacent   couplé aux équations de Poisson et d’Ampère. Le modèle bitempérature est alors obtenu par limite hydrodynamique   après un scaling ad-hoc. On présente ensuite différents schémas numériques pour approcher ce système. Nous détaillerons une première approche basée sur des schémas de type    cinétiques puis une seconde basée sur des schémas de relaxation de   type Suliciu. Enfin dans une dernière partie nous considèrerons une discrétisation   du modèle cinétique de type DVM. Le but est d’obtenir un schéma physiquement cohérent y compris dans la   limite fluide o๠on comparera ses résultats avec ceux des schémas précédents.

Résumé

A partir de notions bien connues de mécanique quantique, cet exposé présente une version simplifiée du formalisme quantique. Plus précisément, je rappellerai quelques fondamentaux au sujet de la fonction d’onde, des observables et de l’équation de Schrödinger et expliquerai comment on peut résoudre certains problèmes de physique quantique à  l’aide d’algèbre linéaire en dimension finie. Le second objectif de cet exposé est d’appliquer ce formalisme simplifié à  un problème particulier : la théorie de la réponse linéaire et les fluctuations entropiques des systèmes en interactions répétées. D’un point de vue physique, on peut se représenter un faisceau d’atomes dont les températures sont différentes. Ce faisceau traverse une cavité remplie d’un champ électromagnétique. En moyenne, ce champ absorbera l’énergie des atomes les plus chauds et en injectera aux atomes les plus froids. Dans ce contexte, on peut retrouver certains résultats bien connus de thermodynamique hors-équilibre sous une forme particulière, notamment la formule de Green-Kubo et les relations de réciprocité d’Onsager.

Dans cet exposé, on s’intéressera aux méthodes du contrôle pour étudier l’ergodicité des EDP stochastiques. Sous certaines hypothèses génériques sur l’équation (satisfaites par les équations de Navier-Stokes et de Ginzburg-Landau), nous montrerons l’existence et l’unicité de la mesure invariante et la convergence à  vitesse exponentielle des solutions. Il s’agit d’un travail en commun avec S. Kuksin et A. Shirikyan.