Séminaires

L’imagerie par résonance magnétique (IRM) est une technique d’imagerie médicale non-invasive et non-ionisante. L’examen IRM comporte plusieurs séquences d’acquisition, avec différents paramètres permettant de varier le contraste entre les tissus, et les données images sont acquises séquentiellement dans l’espace de Fourier. Lors du choix des paramètres, un compromis doit être choisi entre la résolution spatiale/temporelle des images, le rapport signal sur bruit, le type de contraste désiré et le temps d’acquisition. En imagerie thoracique et abdominale, les mouvements du patient (notamment cardio-respiratoires) imposent des contraintes additionnelles car ils peuvent dégrader la qualité des images (flous, artéfacts de type « fantômes ») et donc l’analyse, la quantification, et le diagnostic. Dans cet exposé nous présenterons quelques techniques de reconstruction des images permettant de lever certaines des limites rencontrées actuellement en imagerie clinique : la reconstruction conjointe de l’image et du mouvement du patient, la reconstruction super-résolution, ainsi que les algorithmes d’optimisation et techniques de régularisation associées.

La diffusion quantique (ou ondulatoire) concerne l’évolution d’ondes (ou de fonctions d’onde) provenant de l’infini, diffusées par un potentiel (ou un obstacle) localisé. La description de l’évolution des ondes aux temps longs débouche sur l’étude du spectre de résonances de l’opérateur engendrant l’évolution (opérateur hamiltonien, laplacien). Les résonances sont des valeurs propres généralisées de cet opérateur, à  valeurs complexes. On cherche à  décrire les résonances proches de l’axe réel (résonances à  temps de vie long), qui influencent plus fortement l’évolution aux temps longs. Dans le régime de haute fréquence (ou régime semiclassique), la distribution de ces résonances est influencée par la dynamique classique associée: le flot hamiltonien ou le flot géodésique; en particulier, l’ensemble des trajectoires captées (trajectoires ne s’échappant pas vers l’infini) joue un rôle important. Nous nous focaliserons sur des situations dans lesquelles ces trajectoires captées ont des propriétés d’instabilité (hyperbolicité). On obtiendra alors des critères dynamique sur ce flot, conduisant à  l’existence d’une bande sans résonances (« gap » de résonances). Par exemple, pour des configurations simples de plusieurs obstacles convexes dans l’espace euclidien, les trajectoires captées peuvent former un ensemble fractal portant une dynamique chaotique (on est dans une situation de « chaos quantique ouvert »). D’autres exemples en géométrie hyperbolique seront donnés. On étudiera également le cas o๠l’ensemble capté forme une sous-variété symplectique, sur laquelle le flot hamiltonien est transversalement hyperbolique. Ce dernier cas donne lieu à  une application inattendue: il permet d’analyser un problème de dynamique classique, la décroissance des corrélations pour un flot uniformément hyperbolique (flot Anosov de contact).

De manière analogue aux applications harmoniques classiques, qui sont les points critiques de l’énergie de Dirichlet, les applications s-harmoniques fractionnaires sont définies comme les points critiques de l’énergie de Dirichlet associée à  la puissance s du Laplacien, pour s dans (0,1). Dans cet exposé, après quelques rappels sur les applications harmoniques classiques, je présenterai le cadre fractionnaire et les résultats de régularité partiels que nous avons obtenus pour les applications à  valeurs sphère. Lorsque s=1/2, je ferai également le lien avec les surfaces minimales à  bord libre, qui nous a permis d’améliorer des résultats connus de régularité partielle dans le cas 1/2 minimisant.

Résumé

This talk is concerned with a geometric inverse problem related to the two-dimensional linear elasticity system. Thereby, voids under Navier’s boundary conditions are reconstructed from the knowledge of partially over-determined boundary data. The proposed approach is based on the so-called energy-like error functional combined with the topological sensitivity method. The topological derivative of the energy-like misfit functional is computed through the topological-shape sensitivity method. Firstly, the shape derivative of the corresponding misfit function is presented. Then, an explicit solution of the fundamental boundary-value problem in the infinite plane with a circular hole is calculated by the Muskhelishvili formulae. Finally, the asymptotic expansion of the topological gradient is derived explicitly with respect to the nucleation of a void. Numerical tests are performed in order to point out the efficiency of the developed approach.

Résumé

Le flot binormal est un modèle pour la dynamique d’un tourbillon filamentaire dans un fluide 3-D incompressible non-visqueux. Ce flot est également relié au modèle de Heisenberg continu classique, et à  l’équation de Schrödinger. Après avoir décrit ce modèle, je vais présenter une classe de solutions qui génèrent des singularités en temps fini. En particulier, je vais mettre en évidence une énergie conservée en temps sauf au moment de l’apparition des singularités, o๠elle présente un saut. Interprétée au niveau de la mécanique des fluides, cette énergie fait intervenir les grands modes de Fourier de la variation de la direction de vorticité. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Luis Vega.

Nous étudions un système modélisant la dynamique d’une structure élastique immergée dans un fluide visqueux incompressible. Le mouvement du fluide est modélisé par les équations de Navier-Stokes et les déplacements élastiques suivent l’équation d’élasticité linéaire. Nous obtenons l’existence de solutions régulières locales en temps pour ce système.

Je présenterai un procédé général pour approcher un problème d’optimisation topologique de formes par un problème d’optimisation de densité. La construction repose sur l’utilisation d’un opérateur de régularisation (filtre) et d’un profil d’interpolation pour munir les régions de densité intermédiaire de propriétés spécifiques. Le résultat principal est que, sous certaines hypothèses et dans un certain sens, la dérivée de Fréchet du problème approché converge vers la dérivée de forme du problème initial sur la frontière du domaine et la dérivée topologique en dehors. Cela apporte un point de vue nouveau sur la construction de schémas d’interpolation consistants. Je présenterai différents algorithmes associés et les illustrerai par des exemples en optimisation de (micro)structures élastiques. J’aborderai également la prise en compte d’une pénalisation périmétrique afin de régulariser les domaines obtenus. Travail en collaboration avec C. Dapogny (LJK, Univ. Grenoble-Alpes) et A. Ferrer (CMAP, Ecole Polytechnique).

Dans cet exposé, nous présenterons les schémas de bi-projection récemment développés pour la discrétisation en temps des équations de Navier-Stokes incompressibles isothermes avec une rhéologie visco-plastique (Bingham, Drucker-Prager). La difficulté principale, tant du point de vue de l’analyse mathématique que de l’approximation numérique, est due à  la non-différentiabilité de la partie plastique du tenseur des contraintes dans les régions de l’espace o๠le tenseur des déformations est nul. Une formulation basée sur une réécriture de la définition de la partie plastique du tenseur en terme d’une projection est utilisée. Un nouveau schéma de semi-discrétisation en temps, basé sur un schéma de projection incrémental classique pour les équations de Navier-Stokes dans le cas des fluides newtoniens, est proposé. Le tenseur plastique est traité en implicite dans l’étape de prédiction du schéma de projection et un algorithme de point fixe est utilisé pour son évaluation. Un terme de pseudo-relaxation temporel est ajouté dans la projection de Bingham afin d’assurer une convergence rapide (géométrique) du point fixe. Des analyses de stabilité et d’erreurs du schéma numérique ont été obtenues dans un premier travail dans le cas d’écoulements homogènes puis étendues au cas d’écoulements à  densité, viscosité et seuil de plasticité variables. Des résultats numériques d’écoulements dans une cavité entraînée 2D ainsi que d’instabilités de Rayleigh-Taylor seront présentés afin de montrer l’efficacité de la méthode de bi-projection. Enfin, des applications à  des écoulements géophysiques seront discutées.