The talk discusses two works of the author linking the topological properties, i.e. “something that can be seen”, with the analytical properties of dispersion relations in waveguides. The first example is related to a quantum waveguide, i.e. to a periodic (elongated in one dimension) graph-like structure consisting of edges bearing a wave equation and nodes considered as joints. In acoustics the edges are thin pipes. The problem of this research was to estimate the number of modes that can travel (or decay) in each direction along such a waveguide. The final result is as follows. One should build a graph consisting of a closed single cell of the periodic graph. The estimation of the number of modes is a maximum degree of a linear subgraph of this graph. Thus, although the consideration is held in the algebraic way (a determinant- like dispersion equation is solved), the answer is given in the graph language. The second example is related to 2D waveguiding structures that are layered in the transversal direction. It may happen that the group velocities of all waveguide modes are lower than the biggest velocity in one of the layers. In this case, one can observe a forerunner, i.e. a pulse travelling faster than all the modes and decaying exponentially. The problem is how to find it on the dispersion diagram of the waveguide. The result is as follows. The dispersion diagram should be considered as a multivalued analytical function of, say, temporal frequency, taken on its Riemann surface. The forerunner branch then can be found on the analytical continuation of the diagram. The branch point of the diagram describes interaction between the layers.

Le résumé se trouve ici

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Le laplacien occupe, au sein de l’analyse mathématique des équations aux dérivées partielles, une place centrale. Récemment, les travaux de Jun Kigami, poursuivis par Robert S. Strichartz, ont permis la construction d’un opérateur de même nature, défini localement, sur des domaines présentant un caractère fractal. Curieusement, le cas du graphe de la fonction de Weierstrass, introduite en 1872 par K. Weierstrass, continue partout, mais nulle part dérivable, et qui présente des propriétés d’auto-similarité, ne semble pas avoir été envisagé. Nous nous sommes posé la question suivante : si on se donne une fonction définie et continue sur le graphe de la fonction de Weierstrass, est-il possible de lui associer une fonction qui soit, au sens faible, son laplacien ? En pratique, il suffit d’utiliser une formulation faible, écrite à  l’aide de formes de Dirichlet, construites par itérations successives sur une suite de graphes convergeant vers le domaine considéré. Pour une fonction continue sur ce domaine, son laplacien est obtenu comme la limite normalisée de la suite de laplaciens obtenus à  chaque itération. Le spectre du laplacien ainsi construit est obtenu par décimation spectrale. Par rapport aux travaux existant, les résultats que nous présentons mettent en avant les spécificités dues au caractère non affine de notre étude. Déjà , la construction des formes de Dirichlet requiert la prise en compte de la géométrie très particulière du graphe. Ensuite, il faut disposer d’une mesure adaptée à  l’intégration le long de courbes fractales.

Dispersion is the phenomenon in which the phase velocity of a wave depends on its frequency, or alternatively when the group velocity depends on the frequency. Examples of classical nonlinear dispersive equations are the (generalized) KdV equation, the Nonlinear Schrödinger equation, and the Boussinesq equation. In addition to the well-posedness it is known blow-up effect, for critical and super-critical cases that generally depend on the exponent p > 0 present in the nonlinearity of these equations. Dispersive blow-up is a focussing type of behavior which is due to both the unbounded domain in which the problem is set and the propensity of the dispersion relation to propagate energy at different speeds. On the other hand, a damping term can prevent this blow-up effect in the dispersive equations, and it is what is studied in several works, both for the KdV and for the Schrödinger equation.

Ce travail, en collaboration avec E. Bonnetier et F. Triki s’intéresse au spectre de l’opérateur de Poincaré-Neumann. Cet opérateur intégral intervient de manière récurrente dans l’étude de problèmes de conductivité mettant en jeu plusieurs phases, et son spectre gouverne certains phénomènes physiques découverts récemment, tels que celui de « résonances plasmoniques ». Le cadre d’étude de ce travail met en jeu une distribution périodique de petites inclusions de taille caractéristique $varepsilon$. En combinant des techniques appartenant à  la théorie de l’homogénéisation périodique et à  la théorie du potentiel, nous prouvons que le spectre de l’opérateur de Poincaré-Neumann associé à  cette collection d’inclusions est composé de deux valeurs propres 0 et 1 (dont les sous-espaces propres sont ‘triviaux’), ainsi que d’une partie qui est uniformément éloignée de 0 et 1 lorsque la taille des inclusions tend vers 0. Cette partie non triviale s’écrit comme l’union d’un `spectre de Bloch’ – composé de bandes décrivant les résonances collectives des cellules – ainsi que d’un `spectre de couche limite’, associé aux fonctions propres qui conservent une fraction non négligeable de leur énergie près de la frontière du domaine macroscopique. Ces résultats donnent un éclairage nouveau au problème de l’homogénéisation du potentiel électrique engendré par une source donnée dans un milieu diélectrique ponctué de petites inclusions distribuées périodiquement, remplies d’une conductivité arbitraire (y compris négative).

Particles are used in several different ways in computational physics. For example one can study systems of point masses, point charges, or point vortices. Another approach considers the particle system as a discretization of a continuous PDE problem; in this case one is dealing with a particle method, as an alternative to the classical discretization methods such as finite-difference, finite-element, and spectral methods. Here we consider particle methods in two areas, (1) electrostatics of solvated proteins, where the particles are nodes in a triangulation of the molecular surface, and (2) incompressible fluid dynamics, where the particles represent the flow map and carry vorticity. We discuss the challenges facing particle methods and some techniques that improve their accuracy and efficiency, including adaptive refinement, remeshing, and treecode-acceleration.

Résumé

Nous étudions l’existence et la stabilité des ondes périodiques pour un modèle non linéaire, l’équation de Lugiato-Lefever, issu de l’optique. En utilisant des méthodes de la théorie des bifurcations, nous étudions les bifurcations de Turing et montrons l’existence de solutions périodiques. Cette approche permet également de conclure sur la stabilité de ces solutions vis-à -vis de perturbations périodiques dont la période est un multiple entier de la période de l’onde. En utilisant ensuite de méthodes de la théorie des opérateurs, nous montrons la stabilité de ces solutions vis-à -vis de perturbations générales, bornées.

L’étude de stabilité d’une interface séparant deux fluides non miscibles confinés dans une cellule de Hele-Shaw annulaire en rotation constante a fait l’objet de plusieurs travaux théoriques et expérimentaux. Les forces centrifuges, en présence d’une différence de densités entre les deux fluides donnent lieu a une instabilité de Rayleigh-Taylor avec des effets de viscosité. Le cas d’une rotation constante a été largement étudié et sans etre exhaustif on peut citer Schwartz (Phys.Fluids 1989), Miranda et al. (Phys. Rev. E 2000,2004,2017)……Le cas de la vitesse de rotation instationnaire a été très peu étudié. C’est pourquoi, nous avons entamé cette étude avec une vitesse de rotation sinusoidale dans lequel un écoulement pulsé généré par des forces d’entrainement résultant de la dépendance du temps de la rotation. On considère deux fluides newtoniens incompressibles non miscibles de densités et viscosités différentes confinés dans une cellule de Hele-Shaw annulaire soumise a un mouvement de rotation périodique sinusoidale et on s’intéresse a la stabilité de l’interface. Dans le cadre de l’approximation de Hélé-Shaw une solution analytique de base instationnaire a été trouvée. La solution de base perturbée a l’aide des méthodes classiques de la stabilité linéaire conduit a une équation de dispersion de type Mathieu. Equation qui permet de déterminer les zones d’instabilités dans le plan amplitude-fréquence de forcage pour un nombre d’onde azimutal donné. Les différents effets de la viscosité, de tension superficielle, de forces de Coriolis, et des forces d’inertie seront discutés. La résolution de l’équation de dispersion dans le cas général avec la méthode de Floquet est en cours et seul des résultats pour des cas particuliers (perturbations non visqueuses et effet de force de Coriolis négligeable) seront présentés. Ce travail est mené en collaboration avec Dr S. Aniss FS Ain Choc Casablanca.