Séminaires

Initialement considéré comme un lemme clé dans les structures de régularité, le théorème de reconstruction s’est avéré être un outil analytique très flexible pour étudier l’intégration à la fois stochastique et déterministe en dimension supérieure. Dans cet exposé, nous discuterons d’une extension particulière du théorème de reconstruction dans un contexte stochastique où la famille de distributions sous-jacente satisfait certaines conditions naturelles impliquant des incréments rectangulaires. Cela nous permet de prouver l’existence et l’unicité d’une nouvelle classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques de type hyperbolique qui combine l’intégration stochastique standard à la Walsh et les produits de Young.

Travail en collaboration avec Hannes Kern (TU Berlin).

Motivés par des expériences avec des gouttes de cristaux liquides nématiques, nous étudions les applications harmoniques qui apparaissent comme des minimiseurs de l’approximation à une constante de l’énergie d’Oseen-Frank avec une condition au bord tangentielle. Dans la première partie de l’exposé, nous étudions la régularité des minimiseurs proches de la frontière par une méthode d’extension-réflexion. Dans la deuxième partie, je présenterai quelques résultats concernant la symétrie des minimiseurs et la localisation des défauts qui peuvent survenir. L’exposé est basé sur un travail commun avec Lia Bronsard et Andrew Colinet.

The Korteweg-de Vries (KdV) equation was introduced as a model to describe the propagation of long water waves in a channel. This nonlinear third-order dispersive equation has been extensively studied in the past years from different perspectives, particularly its controllability and stabilization properties. In this talk, we focus on the KdV equation posed in a star network. We present controllability and exponential stability results achieved by acting on a reduced number of branches in various configurations (delay, saturation, unbounded branches). This talk is based on joint works with E. Crépeau, C. Prieur,R. A. Capistrano-Filho and J. S. da Silva.

La méthode Galerkin Discontinu permet d’approcher numériquement de façon très précise les solutions régulières des équations hyperboliques. Il est par contre plus délicat d’approcher des solutions discontinues ou des solutions perturbations autour de solutions stationnaires (pour des équations avec termes sources).

En effet, dans le premier cas, les oscillations de Gibbs générées aux discontinuités peuvent déstabiliser le schéma, tandis que dans le deuxième cas, l’erreur produite sur la solution stationnaire rend difficile l’étude des dynamiques perturbatives. Nous verrons dans cet exposé comment les réseaux de neurones peuvent être utilisés pour construire des viscosités artificielles qui stabilisent les schémas numériques et comment elles permettent de construire des bases Galerkin Discontinu adaptées aux solutions stationnaires du problème.

In this talk, I will present controllability results for some linear and non-linear wave equations. The linear equations will be vector-valued and at different levels of regularity. I will give the main ideas of the proof of a change of regularity result. For the non-linear equations, I will consider the case of the focusing cubic Klein-Gordon equation. I will state a local controllability result around a regular solution, and a null-controllability result for scattering solutions. In the presence of damping, I will give both a positive and a negative stabilization result. I will also provide some ideas of proofs.

Ceci est un travail en commun avec Andras Vasy et Michal Wrochna.
On considère $\mathbb{R}^n$ munit d’une métrique Lorentzienne asymptotiquement Minkowski dont les géodésiques nulles sont non captées. On décrira les propriétés spectrales du carré de l’opérateur de Dirac associé et on en déduira un principe d’action spectrale à partir des puissances de $D^2$.

The presentation will focus on some new results concerning the limiting behavior of minimizing $p$-harmonic maps from a bounded Lipschitz  domain $\Omega \subset \mathbb{R}^{3}$ to a compact connected Riemannian manifold without boundary and with finite fundamental group as $p \nearrow 2$. We prove that there exists a closed set $S_{*}$ of finite length such that minimizing $p$-harmonic maps converge to a locally minimizing harmonic map in $\Omega \setminus S_{*}$. We prove that locally inside $\Omega$ the singular set $S_{*}$ is a finite union of straight line segments, and it minimizes the mass in the appropriate class of admissible chains. Furthermore, we establish local and global estimates for the limiting singular harmonic map. Under additional assumptions, we prove that globally in $\overline{\Omega}$ the set $S_{*}$ is a finite union of straight line segments, and it minimizes the mass in the appropriate class of admissible chains, which is defined by a given boundary datum and $\Omega$. In this talk, I will try to give an overview of these results. This is a joint work with Jean Van Schaftingen and Benoît Van Vaerenbergh.

TBA