Let $Ngeq 2$ and $Omegasubseteq mathbb{R}^N$ denote a domain containing the origin $0$. In this talk, we present recent gradient estimates for the positive solutions $uin C^2(Omegasetminus{0})$ of nonlinear elliptic equations such as $$ {rm div} (|x|^{sigma}|nabla u|^{p-2} nabla u)= |x|^{-tau} u^q |nabla u|^m quad mathrm{in } Omega setminus { 0 }. $$ We assume throughout that $m,p,q,sigma$ and $tau$ are real parameters satisfying $p in ]1,N+sigma]$ and $min{k,ell,m,q}in ]0,+infty[$, where $k:=m+q-p+1$ and $ell:=q+1-sigma-tau $. This is joint work with Joshua Ching (The University of Sydney).

On présentera une séries de travaux en collaboration avec Henri Berestycki sur des systèmes de prédateurs qui interagissent entre eux et avec une seule proie. Ce système est lié au célèbre modèle de dynamique de population de Lotka et Volterra, ainsi que au modèle de Gross et Pitaevskii proposé pour l’étude des condensats de Bose-Einstein, et à  des modèles de réactions chimiques distribuées spatialement. On analysera le cas de prédateurs qui, comme les loups, peuvent se partager en meutes hostiles. Les questions qui on se posera sont de comprendre sous quelles conditions les prédateurs se partagent en meutes, s’il y a un avantage à  avoir des meutes hostiles et finalement de comparer les différents configurations qui émergent dans ce contexte. Plus précisément, on se concentra sur l’analyse des solutions stationnaires, notamment leur stabilité, et sur l’asymptotique du système quand le paramètre de compétition diverge.

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In this talk, we shall present some homogenization results, obtained via the periodic unfolding method, for thermal diffusion problems in a highly heterogeneous periodic composite material formed by two constituents, separated by an imperfect interface where the temperature and the flux exhibit jumps. Depending on the geometry of the composite medium, on the properties of its two constituents and on the magnitude of the jump of the solution and of the flux across the imperfect interface, various types of problems arise at the macroscale. These problems capture in various ways the influence of the jumps: in the effective coefficients, in the right-hand side of the homogenized problem, and in the correctors, as well. Joint work with Renata Bunoiu (Université de Lorraine – Metz, France)

Nous montrons avec I.Shafrir qu’une solution localement minimisante non constante de $R^3$ à  valeurs dans $R^2$ de l’équation de Ginzburg-Landau a une énergie qui croît au moins comme celle du filament de vorticité. Nous conjecturons d’ailleurs que le filament de vorticité est l’unique solution localement minimisante.

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