This talk concerns the (generalized) Soler model: a nonlinear (massive) Dirac equation with a nonlinearity taking the form of a space-dependent mass. The equation admits standing wave solutions and they are generally expected to be stable (i.e., small perturbations in the initial conditions stay small) based on numerical simulations. However, contrarily to the nonlinear Schrödinger equation for example, there are very few results in this direction. The results that I will discuss concern the simpler question of spectral stability (and instability), i.e., the absence (or presence) of exponentially growing solutions to the linearized equation around a solitary wave. As in the case of the nonlinear Schrödinger equation, this is equivalent to the presence or absence of “unstable eigenvalues” of a non-selfadjoint operator with a particular block structure. I will highlight the differences and similarities with the Schrödinger case, present some results for the one-dimensional case, and discuss open problems.

This is joint work with Danko Aldunate, Edgardo Stockmeyer, and Hanne Van Den Bosch.

En 1988, Lagnese-Lions a supposé que la limite asymptotique du système Mindlin-Timoshenko converge vers le système Von-Kármán. De là, une série d’articles liés à cette conjecture ont été publiés, et bien que plusieurs progrès aient été réalisés, nous n’avons jusqu’à présent que des réponses partielles à ce problème. L’objectif de mon exposé est de discuter de quelques résultats sur les propriétés asymptotiques du célèbre système de Mindlin-Timochenko, qui décrit la vibration des poutres et des plaques lorsque le module d’élasticité de torsion tend vers l’infini, donnant une réponse définitive à la conjecture de Lagnese-Lions. En outre, j’ai l’intention de répondre à d’autres questions importantes sur la stabilité asymptotique du système, en généralisant certains résultats connus.

This talk explores the intriguing realm of scattering resonances within two-dimensional transparent cavities, which arose in the modeling of micro-resonators constructed from dielectric materials (with positive permittivity) or metallic nanoparticles (with negative permittivity). Specifically, our investigation is focused on resonances that closely align with the real axis, characterized by highly oscillatory behavior and localization along the interface separating the cavity from its external environment. Notable exemplars of such resonances include whispering-gallery modes observed in dielectric cavities and surface plasmon waves associated with metallic particles.

The aim of this article is to analyze numerical schemes using two-layer neural networks with infinite width for the resolution of the high-dimensional Poisson partial differential equation (PDE) with Neumann boundary condition. Using Barron’s representation of the solution with a probability measure defined on the set of parameter values, the
energy is minimized thanks to a gradient curve dynamic on the 2-Wasserstein space of the set of parameter values defining the neural network. Inspired by the work from Bach and Chizat, we prove that if the gradient curve converges, then the represented function is the solution of the elliptic equation considered. In contrast to previous works, the activation function we use here is not assumed to be homogeneous to obtain global convergence of the flow. Numerical experiments are given to show the potential of the method.

La platitude différentielle est une propriété intrinsèque de certain systèmes dynamiques (EDO,EDP). Un
système est dit différentiellement plat si l’on peut paramétrer ses trajectoires par une fonction et ses dérivées,
appelée sortie plate. Cette propriété peut être exploitée pour prouver la contrôlabilité de certains systèmes.
Je commencerai par introduire la méthode en dimension finie puis je montrerai comment on peut l’exploiter
pour démontrer la contrôlabilité à 0 de l’équation de la chaleur en une dimension d’espace. Dans la seconde
moitié de cet exposé, je présenterai certain travaux issus de ma thèse exploitant cette propriété. Il pourra
s’agir de résultats de contrôlabilité sur des systèmes d’EDP-EDO à frontière libre où l’on souhaite garantir
certaines contraintes physiques de signe ou des résultats de contrôlabilité pour des systèmes d’équations de
la chaleur en cascade.

In this talk, we will be interested in the numerical analysis of the Gross-Pitaevskii equation, which governs the evolution of quantum fluids near absolute zero temperature. We will use an explicit splitting scheme for time integration, while relying on a standard Finite Volumes scheme for space discretization. Numerical simulations will also be presented, with a particular emphasis on the analysis of vortex structures which naturally appear in such superfluids.

On s’intéresse au problème d’optimisation de formes consistant à maximiser les valeurs propres du Laplacien avec conditions de Neumann homogènes. Ces valeurs propres interviennent notamment dans des problèmes acoustiques ou thermiques et sont en particulier liées à la “hot spot conjecture”. Contrairement aux valeurs propres de Dirichlet, celles associées au problème de Neumann sont de nature plutôt instable, ce qui rend le problème d’optimisation difficile. On verra comment certaines explorations numériques du problème pour des domaines du plan et de la sphère ont permis de mettre en évidence certaines propriétés des optima.

En fin de présentation, on fera une petite digression sur la capacité d’un réseau de neurones à apprendre les valeurs propres d’un opérateur.

La platitude différentielle est une propriété intrinsèque de certain systèmes dynamiques (EDO,EDP). Un
système est dit différentiellement plat si l’on peut paramétrer ses trajectoires par une fonction et ses dérivées,
appelée sortie plate. Cette propriété peut être exploitée pour prouver la contrôlabilité de certains systèmes.
Je commencerai par introduire la méthode en dimension finie puis je montrerai comment on peut l’exploiter
pour démontrer la contrôlabilité à 0 de l’équation de la chaleur en une dimension d’espace. Dans la seconde
moitié de cet exposé, je présenterai certain travaux issus de ma thèse exploitant cette propriété. Il pourra
s’agir de résultats de contrôlabilité sur des systèmes d’EDP-EDO à frontière libre où l’on souhaite garantir
certaines contraintes physiques de signe ou des résultats de contrôlabilité pour des systèmes d’équations de
la chaleur en cascade.