Ce deuxième exposé du groupe de travail se fera en 2 parties. Dans une première partie Camille L. exposera (les idées principales) de la preuve du théorème de A. Chambolle, A. Giacomini et M. Ponsiglione à propos de “l’initiation soudaine d’une fissure”, et dans une deuxième partie, Antoine L. fera un court résumé d’un travail ancien en collaboration avec Antonin Chambolle et J-F Babadjian sur l’analyse asymptotique d’une solution d’EDP elliptique au voisinage d’une fissure non lisse (seulement rectifiable et connexe). Cette deuxième partie est en lien avec la notion “d’Energy release rate” évoqué par Camille L. dans son premier exposé, mais pourra être suivie de façon totalement indépendante du reste.

Dans cet exposé, on s’intéresse à des inégalités fonctionnelles pour les systèmes de fonctions orthonormées en norme L^p. Le défi majeur consiste à prouver une dépendance optimale sur le nombre de fonctions impliquées. Nous nous concentrerons sur une famille d’inégalités appelées estimées « spectral cluster », qui concernent les combinaisons linéaires de fonctions propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami sur des variétés riemanniennes compactes. Une version a été établie par R. Frank et J. Sabin dans le cadre de métriques lisses, généralisant les travaux fondateurs de Sogge des années 80. Nous verrons comment prouver de telles estimées en plus basse régularité. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Jean-Claude Cuenin (University of Loughborough).

Initialement considéré comme un lemme clé dans les structures de régularité, le théorème de reconstruction s’est avéré être un outil analytique très flexible pour étudier l’intégration à la fois stochastique et déterministe en dimension supérieure. Dans cet exposé, nous discuterons d’une extension particulière du théorème de reconstruction dans un contexte stochastique où la famille de distributions sous-jacente satisfait certaines conditions naturelles impliquant des incréments rectangulaires. Cela nous permet de prouver l’existence et l’unicité d’une nouvelle classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques de type hyperbolique qui combine l’intégration stochastique standard à la Walsh et les produits de Young.

Travail en collaboration avec Hannes Kern (TU Berlin).

Motivés par des expériences avec des gouttes de cristaux liquides nématiques, nous étudions les applications harmoniques qui apparaissent comme des minimiseurs de l’approximation à une constante de l’énergie d’Oseen-Frank avec une condition au bord tangentielle. Dans la première partie de l’exposé, nous étudions la régularité des minimiseurs proches de la frontière par une méthode d’extension-réflexion. Dans la deuxième partie, je présenterai quelques résultats concernant la symétrie des minimiseurs et la localisation des défauts qui peuvent survenir. L’exposé est basé sur un travail commun avec Lia Bronsard et Andrew Colinet.

The Korteweg-de Vries (KdV) equation was introduced as a model to describe the propagation of long water waves in a channel. This nonlinear third-order dispersive equation has been extensively studied in the past years from different perspectives, particularly its controllability and stabilization properties. In this talk, we focus on the KdV equation posed in a star network. We present controllability and exponential stability results achieved by acting on a reduced number of branches in various configurations (delay, saturation, unbounded branches). This talk is based on joint works with E. Crépeau, C. Prieur,R. A. Capistrano-Filho and J. S. da Silva.

La méthode Galerkin Discontinu permet d’approcher numériquement de façon très précise les solutions régulières des équations hyperboliques. Il est par contre plus délicat d’approcher des solutions discontinues ou des solutions perturbations autour de solutions stationnaires (pour des équations avec termes sources).

En effet, dans le premier cas, les oscillations de Gibbs générées aux discontinuités peuvent déstabiliser le schéma, tandis que dans le deuxième cas, l’erreur produite sur la solution stationnaire rend difficile l’étude des dynamiques perturbatives. Nous verrons dans cet exposé comment les réseaux de neurones peuvent être utilisés pour construire des viscosités artificielles qui stabilisent les schémas numériques et comment elles permettent de construire des bases Galerkin Discontinu adaptées aux solutions stationnaires du problème.