In this talk, we review recent results on so-called partially dissipative hyperbolic systems. Such systems model physical phenomena with degenerate dissipative terms and appear in many applications. For example, in gas dynamics where the mass is conserved during the evolution, but the momentum balance includes a diffusion (viscosity) or a damping (relaxation) term.

First, using tools from the hypocoercivity theory and precise frequency decompositions, we derive sharp stability estimates for linear systems satisfying the Kalman rank condition. This linear analysis allows us to establish new global-in-time existence and large-time behaviour results in a critical regularity framework for nonlinear systems.

Then, we interpret partially dissipative systems as hyperbolic approximations of parabolic systems, in the context of the paradox of infinite speed of propagation. In particular, we focus on a hyperbolic approximation of the multi-dimensional compressible Navier-Stokes-Fourier system and establish its hyperbolic-parabolic strong relaxation limit.

Dans cet exposé, nous discutons de l’existence de solutions de norme L^2 prescrites pour des équations de Schrödinger non linéaires sur des graphes métriques. Une stratégie commune employée pour trouver une telle solution est de chercher un point critique sous contrainte de la fonctionnelle d’énergie associée. Certaines propriétés géométriques de la fonctionnelle varient en fonction de l’exposant du terme non linéaire de l’équation. Dans le cas dit de masse sous-critique, la fonctionnelle est bornée inférieurement et coercive sur la contrainte, de sorte que l’on peut rechercher un point critique en tant que minimum global. C’est pourquoi ce cas a été largement étudié ces dernières années.

Cependant, dans le cas complémentaire, connu sous le nom de masse sur-critique, la fonctionnelle d’énergie n’est plus bornée inférieurement sur la contrainte et présente un manque de d’estimation a priori sur les points critiques possibles. Par conséquent, on sait encore très peu de choses sur ce cas. A travers la présentation des quelques résultats existants, nous discuterons des principaux obstacles qui doivent être surmontés pour traiter ce cas sous des hypothèses générales. Nous présenterons également certains des outils qui ont déjà été développés à cette fin.

Cet exposé est basé sur des travaux communs avec J. Borthwick (Besançon puis Montréal), X. Chang (Changchun) et N. Soave (Turin).

In this talk, I will discuss the spectral analysis of the Robin Laplacian on a smooth bounded two-dimensional domain in the presence of a constant magnetic field. In the semi-classical limit, I will explain how to get a uniform description of the spectrum located between the Landau levels. The corresponding eigenfunctions, called edge states, are exponentially localized near the boundary. By means of a microlocal dimensional reduction, I will explain how to derive a very precise Weyl law, and also how to simultaneously refine old results about the low-lying eigenvalues in the Robin case and recent ones about edge states in the Dirichlet case.

We will discuss several models that might be regarded as migration models of populations moving from one part of a domain to the other and becoming part of the population living on the other side. Different situations assuming symmetry of movement between both sides of the domain, following a logistic model in their own environment and assuming spatial heterogeneities, are going to be discussed. Through such a common boundary both populations are coupled, acting as a permeable membrane on which their flow moves in and out. We will describe the precise interplay between the stationary solutions with respect to the parameters involved in the problem, in particular the growth rate of the populations and the coupling parameter involved on the boundary where the interchange of flux is taking place.

Ce groupe de travail sera dédié à l’étude d’une propriété qualitative de certaines solutions de problèmes de calcul des variations ou de contrôle optimal, faisant intervenir des EDO ou des EDP : la propriété « bang-bang ».On définira dans un premier temps cette propriété en expliquant son utilité pratique. On donnera ensuite des exemples d’arguments permettant de la démontrer et exhiberons des familles de problèmes dont les solutions vérifient cette propriété. Enfin, nous détaillerons un argument récent appelé « principe de convexité cachée » permettant de démontrer cette propriété.

In this talk, we discuss the self-adjointness in $L^2$-setting of the operators acting as $-\mathrm{div}\cdot h\nabla$, with piecewise constant functions $h$ having a jump along a Lipschitz hypersurface $\Sigma$, without explicit assumptions on the sign of $h$. We establish a number of sufficient conditions for the selfadjointness of the operator with $H^{\frac{3}{2}}$-regularity in terms of the jump value and the regularity and geometric properties of $\Sigma$. An important intermediate step is a link with Fredholm properties of the NeumannPoincaré operator on $\Sigma$, which is new for the Lipschitz setting.

Based on joint work with Konstantin Pankrashkin.

L’exposé se veut un résumé de mes travaux de thèse, qui portent une attention particulière aux schémas de Boltzmann sur réseau. Cette classe de schémas est utilisée depuis la fin des années ’80, en particulier en mécanique des fluides, et se caractérise par sa grande rapidité. Cependant, les méthodes de Boltzmann sur réseau sont très gourmandes en termes d’espace mémoire et conçues pour des maillages Cartésiens uniformes. De plus, nous manquons d’outils théoriques généraux qui permettent d’en analyser la consistance, la stabilité et enfin la convergence. Le travail s’articule autour de deux axes principaux. Le premier consiste à proposer une stratégie permettant d’appliquer les méthodes de Boltzmann sur réseau à des grilles de calcul non-uniformes adaptées dynamiquement en temps, afin de réduire le coût de calcul et de stockage. Le fait de pouvoir contrôler l’erreur commise et d’être en mesure d’employer la méthode quel que soit le schéma de Boltzmann sous-jacent sont des contraintes supplémentaires à prendre en compte. Pour cela, nous proposons d’adapter dynamiquement le réseau ainsi que d’ajuster toute méthode de Boltzmann à des maillages non-uniformes en nous appuyant sur la multirésolution. Cela a permis de proposer un cadre innovant pour des maillages mobiles en respectant les contraintes posées. Le second axe de recherche consiste à donner un cadre mathématiquement rigoureux aux méthodes de Boltzmann sur réseau, lié en particulier à leur consistance vis-à-vis des EDPs visées, leur stabilité et donc leur convergence. Pour cela, nous proposons une procédure, basée sur des résultats d’algèbre, pour éliminer les moments non-conservés de n’importe quel schéma de Boltzmann sur réseau, en le transformant en un schéma aux différences finies multi-pas sur les moments conservés. Les notions de consistance et stabilité pertinentes pour les méthodes de Boltzmann sur réseau sont donc celles des schémas aux différences finies. En particulier, tous les résultats concernant ces derniers, entre autres le théorème de Lax, se transpose naturellement aux schémas de Boltzmann sur réseau. Une étape ultérieure consiste à étudier la consistance et la stabilité directement sur le schéma de départ sans devoir calculer sa méthode aux différences finies “correspondante”. Cela permet d’en obtenir les équations modifiées et de montrer le bien-fondé des analyses de stabilité à la von Neumann couramment utilisées au sein de la communauté.

Ce groupe de travail sera dédié à l’étude d’une propriété qualitative de certaines solutions de problèmes de calcul des variations ou de contrôle optimal, faisant intervenir des EDO ou des EDP : la propriété « bang-bang ».On définira dans un premier temps cette propriété en expliquant son utilité pratique. On donnera ensuite des exemples d’arguments permettant de la démontrer et exhiberons des familles de problèmes dont les solutions vérifient cette propriété. Enfin, nous détaillerons un argument récent appelé « principe de convexité cachée » permettant de démontrer cette propriété.

L’exposé se veut un résumé de mes travaux de thèse, qui portent une attention particulière aux schémas de Boltzmann sur réseau. Cette classe de schémas est utilisée depuis la fin des années ’80, en particulier en mécanique des fluides, et se caractérise par sa grande rapidité. Cependant, les méthodes de Boltzmann sur réseau sont très gourmandes en termes d’espace mémoire et conçues pour des maillages Cartésiens uniformes. De plus, nous manquons d’outils théoriques généraux qui permettent d’en analyser la consistance, la stabilité et enfin la convergence. Le travail s’articule autour de deux axes principaux.
Le premier consiste à proposer une stratégie permettant d’appliquer les méthodes de Boltzmann sur réseau à des grilles de calcul non-uniformes adaptées dynamiquement en temps, afin de réduire le coût de calcul et de stockage. Le fait de pouvoir contrôler l’erreur commise et d’être en mesure d’employer la méthode quelque soit le schéma de Boltzmann sous-jacent sont des contraintes supplémentaires à prendre en compte. Pour cela, nous proposons d’adapter dynamiquement le réseau ainsi que d’ajuster toute méthode de Boltzmann à des maillages non-uniformes en nous appuyant sur la multirésolution. Cela a permis de proposer un cadre innovant pour des maillages mobiles en respectant les contraintes posées.
Le second axe de recherche consiste à donner un cadre mathématiquement rigoureux aux méthodes de Boltzmann sur réseau, lié en particulier à leur consistance vis-à-vis des EDPs visées, leur stabilité et donc leur convergence. Pour cela, nous proposons une procédure, basée sur des résultats d’algèbre, pour éliminer les moments non-conservés de n’importe quel schéma de Boltzmann sur réseau, en le transformant en un schéma aux différences finies multi-pas sur les moments conservés. Les notions de consistance et stabilité pertinentes pour les méthodes de Boltzmann sur réseau sont donc celles des schémas aux différences finies. En particulier, tous les résultats concernant ces derniers, entre autres le théorème de Lax, se transpose naturellement aux schémas de Boltzmann sur réseau. Une étape ultérieure consiste à étudier la consistance et la stabilité directement sur le schéma de départ sans devoir calculer sa méthode aux différences finies “correspondante”. Cela permet d’en obtenir les équations modifiées et de montrer le bien-fondé des analyses de stabilité à la von Neumann couramment utilisées au sein de la communauté.

Depuis son introduction par Allen et Berkley en 1972, la méthode des
sources images est l’une des techniques les plus populaires pour la
modélisation des réponses impulsionnelles (RIR) en acoustique des
salles. Cette méthode modélise chaque réflexion d’une impulsion sonore
sur les murs d’une pièce rectangulaire (ou polyédrique) comme une source
impulsionnelle de type Dirac, obtenue à partir de critères géométriques
simples. Quelques travaux récents étudient l’estimation de la forme
d’une pièce tridimensionnelle en exploitant les temps d’arrivée des
échos dans l’enregistrement de la réponse impulsionnelle de salle.
Différentes limitations apparaissent dans ce type de méthode, notamment
la localisation temporelle des échos et leur labellisation. La méthode
présentée dans cet exposé permet la reconstruction des positions 3D des
sources images sans labellisation préalable des réflexions. Le problème
inverse est posé comme un problème convexe en dimension infinie de
reconstruction parcimonieuse en 3D des sources images, l’opérateur
linéaire d’observation à inverser faisant intervenir la solution de
l’équation des ondes avec un terme source mesure. Les dimensions d’une
pièce rectangulaire peuvent ensuite être estimées précisément à l’aide
du nuage de sources images ainsi reconstruites. L’exposé se conclura par
la présentation d’une approche alternative en cours de développement
basée sur l’optimisation de forme et la méthode des solutions
fondamentales, qui devrait permettre de dépasser le cas des pièces
rectangulaires.