The lecture addresses time‑dependent convection–diffusion problems with high Péclet number in thin 3D graph‑like networks of curvilinear cylinders connected by nodes of diameter $\mathcal{O}(\varepsilon).$ Inhomogeneous Robin boundary conditions with different intensity factors are imposed on the network boundary. As $\varepsilon \rightarrow 0,$ the network collapses to a graph and the diffusion terms vanish.

Such problems pose singular‑perturbation challenges that standard methods often cannot resolve. I present a systematic asymptotic framework for $\varepsilon \rightarrow 0,$ combining regular expansions on edges with node‑layer and boundary‑layer asymptotics to capture the multiscale flow structure. The analysis justifies reduced graph models, quantifies higher‑order corrections, and uncovers new phenomena in singular regimes.

Le succès de la chimiothérapie dépend à la fois de la stratégie d’administration du médicament et de sa capacité à éliminer les cellules cancéreuses tout en préservant autant que possible les tissus sains. Dans cette présentation, nous nous intéresserons à un problème de contrôle optimal avec des contraintes d’état appliqué à la chimiothérapie des tumeurs invasives, où la dose de médicament agit comme variable de contrôle. Étant donné que le traitement affecte à la fois les cellules tumorales et les tissus sains, l’objectif du
problème de contrôle est de réduire la densité tumorale en contrôlant la dose du médicament. Pour ce faire, nous modélisons l’action thérapeutique à l’aide d’une équation de réaction-diffusion non linéaire décrivant l’évolution d’une tumeur invasive sous traitement. Nous commençons par analyser mathématiquement le problème initial de valeur limite. Nous formulons ensuite le problème de contrôle optimal sous contraintes et en déduisons les conditions nécessaires à l’optimalité. Enfin, à l’aide de simulations numériques en 2D pour un cas de cancer du sein, nous illustrons l’importance des contraintes d’état dans les stratégies de traitement optimales, avant de conclure par quelques perspectives

Je vais présenter un problème d’optimisation à frontière libre analogue au problème de Alt-Caffarelli pour les fonctions biharmoniques. Ce problème apparaît dans différentes questions d’optimisation de forme, dont la minimisation de la trainée d’un obstacle dans un fluide sous contrainte de mesure, la minimisation de la première valeur propre de l’opérateur de Stokes (ou de flambage) dans les domaines du plan, etc.. On s’attend à ce que la frontière libre obtenue soit généralement une union de courbes lisses, pouvant se rejoindre avec un angle d’environ 1.43pi, et je présenterai plusieurs résultats allant dans ce sens.

C’est un travail en collaboration avec Jimmy Lamboley.

Résumé à venir

Le but de cet exposé est de présenter quelques résultats pour la mise en évidence numérique du phénomène de superradiance, permettant l’extraction de l’énergie d’un trou noir sphérique de Reissner-Nordstrom à  partir d’une configuration dans laquelle l’énergie totale conservée n’est pas une quantité définie positive. Ceci autorise alors la possibilité d’obtenir loin du trou noir une énergie plus grande que ce qu’elle était à  l’instant initial. Nous présenterons le modèle sous-jacent, avec une attention particulière sur les méthodes numériques pour la simulation de celui-ci.

In this talk, we consider the global existence and large time behavior of solutions for reaction diffusion systems coming from reversible chemistry. First, we introduce the fundamental structures these systems hold, namely nonnegativity of solutions and total mass control. It is well known that, under homogeneous boundary conditions and with linear diffusions, these structures assure global existence of weak solutions if the nonlinearities are a priori bounded in $L^1$. Recently, this result was extended up to the case where diffusion operators are nonlinear (2017, Laamri-Pierre). We will recall these results and describe a slight improvement. It is mainly derived from the entropy structure. Next, we consider the large time behavior for these systems.

Résumé

Résumé

Exposé donné dans le cadre des Journées Analyse et Physique mathématique
The anisotropic Calderon problem is the inverse problem consisting in determining a metric on a compact Riemannian manifold with boundary from the Dirichlet-to-Neuman map. The resolution of the problem in a conformal class follows from a similar inverse problem on the Schrödinger equation and remains an open question in dimensions higher than 3. In previous works, we could solve this inverse problem under structural assumptions on the known metric (namely that it is conformal to a warped product with an Euclidean factor) and additional geometric assumptions on the transversal manifold. The proof of uniqueness relies on the high frequency limit in a Green identity involving pairs of complex geometrical optics solutions to the Schrödinger equation. This talk will be concerned with a description of the resolution of this nonlinear inverse problem under strong assumptions on the metric and our attempts to remove the additional transversal assumptions on the geometry by refraining from passing to the limit in the linearised problem. Unfortunately, this path only leads to partial results on the linearised problem for the time being, that is recovery of singularities of the potential in the transversal variables. This a joint work with Yaroslav Kurylev, Matti Lassas, Tony Liimatainen and Mikko Salo.

Le but de l’exposé est de présenter les grandes lignes de la méthode des éléments finis inversés. Cette méthode, introduite par l’orateur il y a quelques années, vise à  résoudre des EDP en domaines non bornés sans aucune troncature. Après une analyse de la convergence, on présente quelques résultats numériques obtenus en résolvant plusieurs problèmes issus de la physique. Ces résultats confirment l’efficacité de la méthode et son adaptativité dans de nombreuses situations.

Le spectre de Steklov d’un espace compact est constitué des valeurs propres de l’opérateur de Dirichlet-Neumann sur son bord. Il est lié à  la géométrie de cet espace. Dans cet exposé, je vous présenterai quelques résultats de type isopérimétrique dans le contexte d’hypersurfaces dont le bord dans l’espace euclidien est prescrit. Des bornes supérieures très générales seront présentées, ainsi que des bornes inférieures pour les hypersurfaces de révolutions. Il sera aussi question d’isospectralité en dimension 2. Ce travail est conjoint avec Bruno Colbois et Katie Gittins de l’Université de Neuchâtel, ainsi qu’avec Antoine Métras qui est doctorant à  l’Université de Montréal.

Résumé

The talk discusses two works of the author linking the topological properties, i.e. “something that can be seen”, with the analytical properties of dispersion relations in waveguides. The first example is related to a quantum waveguide, i.e. to a periodic (elongated in one dimension) graph-like structure consisting of edges bearing a wave equation and nodes considered as joints. In acoustics the edges are thin pipes. The problem of this research was to estimate the number of modes that can travel (or decay) in each direction along such a waveguide. The final result is as follows. One should build a graph consisting of a closed single cell of the periodic graph. The estimation of the number of modes is a maximum degree of a linear subgraph of this graph. Thus, although the consideration is held in the algebraic way (a determinant- like dispersion equation is solved), the answer is given in the graph language. The second example is related to 2D waveguiding structures that are layered in the transversal direction. It may happen that the group velocities of all waveguide modes are lower than the biggest velocity in one of the layers. In this case, one can observe a forerunner, i.e. a pulse travelling faster than all the modes and decaying exponentially. The problem is how to find it on the dispersion diagram of the waveguide. The result is as follows. The dispersion diagram should be considered as a multivalued analytical function of, say, temporal frequency, taken on its Riemann surface. The forerunner branch then can be found on the analytical continuation of the diagram. The branch point of the diagram describes interaction between the layers.

Le résumé se trouve ici