The heat equation with homogeneous Dirichlet boundary conditions is well known to preserve non-negativity. Besides, due to infinite velocity of propagation, the heat equation is null-controllable within arbitrary small time, with controls supported in any arbitrarily open subset of the domain (or its boundary) where heat diffuses. The following question then arises naturally: can the heat dynamics be controlled from a positive initial steady-state to a positive final one, requiring that the state remains nonnegative along the controlled time-dependent trajectory? I will show that this state-constrained controllability property can be achieved if the control time is large enough, but that it fails to be true in general if the control time is too short, thus showing the existence of a positive minimal controllability time. In other words, in spite of infinite velocity of propagation, realizing controllability under the unilateral non-negativity state constraint requires a positive minimal time

Les varifolds sont une notion de surface généralisée introduite par Almgren en 1965 anfin d’étudier les points critiques de la fonctionnelle d’aire. Comme la plupart des concepts développés en théorie géométrique de la mesure, l’utilisation des varifolds a longtemps été dédiée à  l’étude théorique de problèmes variationnels géométriques. Cependant, la souplesse de ces concepts constitue un véritable avantage en ce qui concerne l’étude des surfaces discrètes : il est possible de munir d’une structure de varifold les surfaces classiques mais aussi la plupart des surfaces discrètes (nuages de points, approximations volumiques, triangulations etc.), ce qui permet d’étudier objets discrets et continus dans un même espace. J’expliquerai comment ce cadre nous a permis de définir une notion de courbure discrète unifiée (puis de seconde forme fondamentale) possédant de bonne propriétés de convergence et reposant uniquement sur la structure de varifold. Des calculs numériques effectués sur des nuages de points illustreront cette approche. Il s’agit d’un travail en collaboration avec G.P. Leonardi (univ. Modena e Reggio Emilia) et S. Masnou (Univ. Lyon).

The Klein-Gordon equation has several natural Green’s functions, often called propagators. The so-called Feynman propagator, used in quantum field theory, has a clear definition on static spacetimes. I will discuss, partly on a heuristic level, its possible generalizations to the non-static case. I will also describe a curious, partly open problem about the self-adjointness of the Klein-Gordon operator. I will also describe how to compute the singularities around the diagonal using a special geometric version of pseudodifferential calculus

The aim of this seminar is to present some results about minimal bubble clusters in some sub-Riemannian spaces. This amounts to find the best configuration of $min mathbb N$ regions in a manifold enclosing given volumes, in order to minimize their total perimeter. In a $n$-dimensional sub-Riemannian manifold, the perimeter is a non-isotropic $(n-1)$-dimensional measure that is defined according to the geometry. After an introduction to the subject, we will present some results concerning the cases $m=1$ (isoperimetric problem) and $m=2$ (double bubble problem), in a class of sub-Riemannian structures connected to the Heisenberg geometry. This is the framework of an open problem about the shape of isoperimetric sets, known as Pansu’s conjecture. We start by presenting the isoperimetric problem in Grushin spaces and Heisenberg type groups, under a symmetry assumption that depends on the dimension (based on joint work with R. Monti, University of Padova). We conclude by showing some recent results in collaboration with Giorgio Stefani (SNS, Pisa) concerning the double bubble problem in the Grushin plane.

La tomographie réflective est une méthode émergente en imagerie optique 3D. On observe qu’elle reconstruit pertinemment une scène 3D à  partir d’images en intensité, malgré des concavités ou des occultations. Pour aller plus loin, on décrit la tomographie réflective à  l’aide d’un modèle asymptotique géométrique, dans un cadre d’intégrales fortement oscillantes. Ce modèle original est en accord avec les résultats numériques ; il décrit les parties reconstruites, et permet de cerner les artefacts. Enfin, on déduit de ce modèle asymptotique une version accélérée du solveur de reconstruction.

Nous nous intéressons dans cet exposé à  la modélisation et à  la simulation numérique des écoulements de sang et de liquide cérébro-spinal dans le cerveau, réalisées dans le cadre d’un projet ANR VIVABRAIN. En particulier, la validation des simulations numériques concernant le vivant étant une question très complexe, nous montrons dans cet exposé l’approche que nous avons choisie pour valider nos simulations d’écoulements de bio-fluides en géométries réalistes.

The seminar concerns the approximation à  la Ambrosio-Tortorelli of the Griffith energy functional for brittle fracture. While the Griffith energy depends on the n-1 dimensional discontinuity set of any function, the approximating energies are elliptic functionals (depending on a further emph{phase field} variable) so more convenient to minimise by Numerical Analysis techniques. For this reason this phase field approximation is employed in a large number of Mechanical works. The result applies to the Dirichlet minimisation problem and follows from a sharp density result in the energy space for the Griffith functional, that can be applied in other situations, e.g. to prove different approximations of Griffith energy.

Nous nous intéresserons à  l’obtention d’inégalités log-convexes à  poids portant sur les solutions de l’équation de la chaleur. La présence du poids permet de localiser l’information sur un sous-domaine, et permet ainsi de quantifier le prolongement unique ponctuel en temps. Nous essayerons de faire le lien avec les méthodes classiques d’inégalités de Carleman.

Nos travaux portent sur l’imagerie optique des tissus biologiques en utilisant la lumière visible ou proche IR. C’est une technique non-invasive qui consiste à  reconstruire les propriétés optiques des tissus biologiques dans le but de détecter d’éventuelles tumeurs cancéreuses. Nous utilisons l’Equation du Transfert Radiatif (ETR) comme modèle (direct) de propagation de la lumière. Une analyse de sensibilité des paramètres du modèle a montré que le facteur d’anisotropie g de la fonction de phase de Henyey-Greenstein est le paramètre le plus sensible suivi du coefficient de diffusion puis du coefficient d’absorption. Notre algorithme de reconstruction est basé sur une méthode de Quasi-Newton. Le gradient de la fonction objectif est calculé efficacement par la méthode adjointe appliquée à  l’ETR avec une approche Multi-fréquences. Lors de mon exposé, je présenterai les modèles (sans et avec fluorescence) sur lesquels nous travaillons, les méthodes numériques que nous avons développé ainsi que les résultats que nous avons obtenu sur la reconstruction 2D et 3D de nos milieux biologiques. Le facteur g, utilisé comme nouvel agent de contraste optique endogène, permet de marquer davantage les tumeurs cancéreuses.

L’équation des ondes avec une condition de transmission modélise la propagation d’ondes dans des milieux différents avec des vitesses de propagation différentes. à€ l’interface de ces milieux, la condition de transmission est équivalente, pour les rayons, à  la loi de Snell-Descartes. Un rayon incident à  l’interface peut donc être réfléchi dans le milieu d’o๠il provient et transmis dans l’autre milieu. La difficulté du problème d’observabilité de cette équation repose sur le fait que la condition de contrôle géométrique n’est plus suffisante. En effet, des interférences entre des rayons transmis et réfléchis peuvent survenir à  l’interface de sorte qu’un rayon observé dans la région d’observation ne donne pas suffisamment d’informations sur le rayon initial. Dans cet exposé nous présenterons des conditions géométriques suffisantes pour l’observabilité frontière de l’équation des ondes avec une condition de transmission. Nous introduirons une construction géométrique permettant d’analyser systématiquement la propagation des rayons provenant de l’interface.