Dans cet exposé, je passerai en revue un certain nombre de résultats récents sur les équations de Hamilton-Jacobi diffusives, de la forme $u_t-Delta u=|nabla u|^p+h(x)$. Ce type d’équations, qui interviennent en théorie du contrôle stochastique, mais aussi dans certains modèles de croissance de surface, donnent lieu à  une variété de comportements intéressant. Nous nous intéresserons en particulier à  deux classes de phénomènes: – Explosion du gradient: localisation des singularités au bord, explosion en seul point, vitesses d’explosion, profils en espace, estimations de type Bernstein, théorèmes de type Liouville et applications; – Continuation au sens de viscosité après l’explosion du gradient: solutions avec ou sans perte de conditions au bord, récupération des conditions au bord, régularisation.

Dans cet exposé, nous allons rappeler deux ou trois définitions du Laplacien fractionnaire dans $R^N$ qui sont toutes équivalentes. Puis nous montrons que chacune des définitions donne un “Laplacien fractionnaire” dans le cas d’un domaine ouvert borné de $R^N$. Enfin, nous présentons des simulations numériques pour illustrer la différence entre les “Laplaciens fractionnaires” les plus étudiés dans la littérature.

Le résumé se trouve ici

Reaction-diffusion processes occur in many materials with microstructure such as biological cells, steel or concrete. The main difficulty in modelling and simulating accurately such processes is to account for the fine microstructure of the material. One method of upscaling multiscale problems, which has proven reliable for obtaining feasible macroscopic models rigorously, is the method of periodic homogenisation. The correct scaling of certain terms of the system with powers of the homogenisation parameter is an aspect particularly relevant in this context. The scaling arises from geometrical considerations or from the processes themselves. Depending on the particular choice of these scaling powers, different limit behaviours are obtained leading to different systems of equations in the homogenisation limit. This will first be discussed in the context of a reaction-diffusion system given in a two-component medium coupled by a Robin condition at the internal interface. The analogous vector-valued problem models two elastic materials coupled by a slip-displacement condition, which will be the focus of the second part of the talk.

On construit des solutions (approchées à  tout ordre) hautement oscillantes du problème des nappes de tourbillon-courant en magnétohydrodynamique incompressible. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Olivier Pierre.

Résumé

L’objectif de cet exposé est de présenter des questions ouvertes en théorie du contrôle, et plus spécifiquement des questions de contrôlabilité en temps arbitrairement petit d’équations aux dérivées partielles non linéaires. Nous ferons un survol des récents résultats obtenus avec la méthode du retour pour l’équation de Navier-Stokes et expliquerons les difficultés liées à  l’application de cette méthode à  d’autres EDP non linéaires. Nous introduirons ensuite le concept d’intégrabilité de systèmes dynamiques (EDO ou EDP) et nous présenterons une application à  la contrôlabilité

Dans cet exposé je reviendrai sur des travaux récents en optimisation pour l’équation de Fisher-KPP. Cette équation est fréquemment utilisée en écologie afin de modéliser l’évolution d’une population dans un environnement hétérogène. Plusieurs travaux ont ces dernières années étudié comment optimiser une valeur propre dont le signe caractérise la survie ou l’extinction de cette population, en fonction du taux de croissance. Dans un travail commun avec Idriss Mazari et Yannick Privat, nous avons optimisé une autre quantité : la population totale à  l’équilibre. Les résultats sont plus contrastés pour cette quantité et dépendent du taux de diffusion de la population.

La théorie des systèmes de réaction-diffusion de type Lotka-Volterra s’enrichit singulièrement lorsque l’on insère des termes de diffusion croisée, avec en particulier l’apparition de patterns. On discutera l’intérêt de l’apparition de ces termes, les difficultés mathématiques qu’ils engendrent, et les conclusions que l’on peut tirer de leur utilisation en terme de modélisation.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons au phénomène de « scattering » pour certaines EDPs dispersives non-linéaires : il s’agira de “comparer” la solution non-linéaire (lorsqu’elle existe globalement) à  des solutions du problèmes linéaire lorsque le temps devient grand. Nous rappellerons d’abord les résultats connus sur R^d, à  savoir que sous certaines conditions sur la non-linéarité, on peut effectivement comparer, en temps longs, la solution non-linéaire à  des solutions linéaires. Ce résultat est dà» à  un bon contrôle de la solution non-linéaire. Nous verrons aussi que des résultats similaires dans le cadre d’une variété riemannienne compacte M^k n’ont pas lieu d’être. La question à  laquelle on tâchera de répondre (au moins partiellement) est donc la suivante : si on se place sur un espace produit de type R^d times M^k, quel est le comportement dominant ? Peut-on espérer avoir du « scattering » en faisant vivre seulement une partie des variables spatiales dans R^d ? Autrement dit : un contrôle « partiel » de la solution peut-il suffire à  obtenir du « scattering » ? Nous verrons quelles sont les conditions naturelles sur la non-linéarité pour espérer des résultats de type « scattering » dans un espace produit et donnerons des idées de preuve pour la partie “technique” du résultat. Nous commencerons par les équations de Schrödinger qui ont été les premières à  être étudiées dans ce cadre puis nous tâcherons d’exhiber le même type de comportement pour les équations de Klein-Gordon.