Complex geometry seminar

In this talk, I will present recent joint work with S.~Matsumura, J.~Wang, and X.~Wu on the structure of compact Kähler manifolds whose anti-canonical bundle is nef. We establish a general structure theorem in the Kähler setting, showing that X admits a locally trivial fibration whose fibers are rationally connected and whose base has vanishing first Chern class. Our approach extends the method of Cao–Höring from the projective to the Kähler case, requiring new tools such as a flatness criterion for pseudo-effective sheaves and a refined analysis of direct image sheaves equipped with singular Hermitian metrics. I will also discuss the application, about the generalization of the Beauville–Bogomolov decomposition.

Mori dream spaces are a special kind of varieties introduced by Hu and Keel in 2000 that enjoy very good properties with respect to the minimal model program. In this talk we explore when blowups of P^3 along smooth curves are Mori dream spaces, generalizing an early example of A. Küronya.  This is joint work with Sokratis Zikas.

Geometric methods in computational complexity

Dans cet exposé nous expliquons d’abord comment associer
des couples (surfaces de Riemann, différentielles méromorphes)
aux pavages d’une surface topologique donnée par des triangles ou des
carrés. Cela nous permettra de ramener le problème de déterminer
l’asymptotique du nombre de tels pavages à des calculs de volumes de
certains espaces de modules. Nous verrons enfin comment les outils de
la géométrie analytique et algébrique complexe, notamment la variation
de la structure de Hodge, nous permettent d’obtenir des valeurs
exactes de ces volumes dans certains cas.

D’après Faltings une courbe projective lisse de genre au moins 2 définie sur un corps de nombres K n’a qu’un nombre fini de points K-rationnels. Les courbes elliptiques peuvent avoir une infinité de tels points, ainsi que la droite projective ; par contre, elles en ont “beaucoup moins” que la droite projective. Dans un travail en commun avec Y. Brunebarbe, basé sur un résultat récent de Ellenberg-Lawrence-Venkatesh, nous démontrons un résultat analogue en dimension supérieure : les variétés projectives avec groupe fondamental grand (au sens de Kollár-Campana) ont “beaucoup moins” de points que les variétés de Fano.

Let A be an abelian variety and G be a finite group acting on
A. If G acts freely in codimension 1, then the quotient A/G has
numerically trivial canonical divisor. A natural question is then
whether A/G admits a crepant resolution: under the additional assumption
that G acts freely in codimension 2, such a crepant resolution X would
be remarkable Calabi-Yau manifold (as it would have a nef and big
divisor D such that c_2(X)\cdot D^{n-2} = 0). Classifying such
quotients, étale in codimension 2, that admit a simply-connected crepant
resolution, was implemented by Oguiso in dimension 3 in the 90ies. We
extend his results to dimension 4 and 5, and give partial results in
arbitrary dimension.

Espaces fibrés de Mori de dimension 4 et leur groupe d’automorphismes.

Dans cet exposé j’expliquerai la relation entre l’étude des espaces fibrés de Mori rationnels avec l’action d’un groupe et l’étude des sous-groupes maximaux connexes du groupe de Cremona.
Dans le cas d’un espace fibré de Mori f:X->B sur une courbe rationnelle B, je présenterai un résultat d’existence de fermés f-horizontaux invariants par l’action du groupe d’automorphismes de X ainsi que des exemples.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Jérémy Blanc.

Dans cet exposé j’introduirai une variété affine associée à un groupe de Weyl affine dont les points entiers sont en bijection avec les éléments du groupe. Par la suite, je donnerai certaines conséquences combinatoires en mettant l’accent sur le type A.

Un théorème de décomposition pour les variétés de Poisson holomorphes

Weinstein a montré que toute variété de Poisson holomorphe est localement le produit d’une variété symplectique et d’une variété de Poisson dont le rang est nul au point considéré. En particulier, toute variété de Poisson possède un feuilletage naturel dont les feuilles sont des variétés symplectiques. Dans un travail en collaboration avec Jorge Pereira, Brent Pym et Frédéric Touzet, nous montrons que si une variété de Poisson compacte kählérienne X a une feuille compacte L dont le groupe fondamental est fini alors, à un revêtement étale fini près, X est le produit du revêtement universel de L et d’une autre variété de Poisson.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/events/titre-a-venir-99/

In this talk we present the construction of some moduli spaces of semistable sheaves over a smooth projective variety (over the field of complex numbers). We will use a notion of stability for pure coherent sheaves, which lies in-between Gieseker- and slope-stability. This is defined with respect to the Hilbert polynomial of the sheaf, truncated up to a certain degree. We call it l-(semi)stability, where l marks the level of truncation.

Before we proceed with the construction, we give a restriction theorem for l-(semi)stability. This applies in particular to Gieseker-semistable sheaves and generalizes the well-known restriction theorems of Mehta and Ramanathan. With this ingredient in place, we construct moduli spaces of l-semistable sheaves in higher dimensions. Our construction is based on ideas of Le Potier and Jun Li. In the torsion-free case, we recover a result of Huybrecths-Lehn over surfaces and of Greb-Toma in higher dimensions.

Soit G un groupe algébrique complexe semi-simple, qui agit sur sont algèbre de Lie L(G) via l’action adjointe, et soit X l’adhérence d’une orbite nilpotente dans L(G). Dans cet exposé on va s’intéresser aux formes réelles de X, c’est-à-dire aux variétés algébriques réelles W munies d’une action d’un groupe algébrique réel F telles que F_\C soit isomorphe à G comme groupe algébrique et W_C soit isomorphe à X comme G-variété. Il s’agit d’un travail en commun avec Michael Bulois et Lucy Moser-Jauslin (arXiv:2106.04444).

Séminaire reporté en 2022-2023. Date précisée ultérieurement.