Complex geometry seminar

A fundamental result in Complex Geometry is the Kobayashi-Hitchin correspondence, stating that a holomorphic vector bundle on a Kähler manifold is poly-stable (as defined by Mumford, Takemoto) if and only if it admits a Hermitian metric solving the Hermite-Einstein equation. It has now become clear that there exist many possible different stability notions for vector bundles, that are of great interest in Algebraic Geometry and String Theory. It is natural to wonder if these stabilities are also tied to the existence of Hermitian metrics with special curvature properties. In this talk, based on joint work with Julien Keller (arXiv:2405.03312[math.DG]), we will consider a class of “polynomial” equations for the curvature of rank 2 holomorphic vector bundles on compact projective surfaces, and a corresponding class of polynomial stability conditions for these bundles. We will then explain how each of these stability conditions is related to the existence of a Hermitian metric satisfying the corresponding equation. This refines and partially confirms a conjectural correspondence between Bridgeland stability conditions and PDEs on holomorphic vector bundles, formulated by Dervan, McCarthy, and Sektnan.

Dans un espace projectif complexe, le nombre des points (sans compter la multiplicité) de l’intersection d’une courbe algébrique et d’une hypersurface générique est le produit de leur degré. J’explique comment obtenir un énoncé analogue pour des courbes holomorphes entières.

Je donnerai une présentation détaillée des revêtements doubles des espaces projectifs, et en particulier des systèmes
linéaires $|kL|$ obtenus en tirant-en-arrière la classe d’équivalence linéaire des hypersurfaces de degré $k$ de l’espace projectif. J’examinerai avec une attention particulière les doubles plans sextiques, qui sont des surfaces K3 de genre 2, dans le but de décrire les extensions des courbes canoniques obtenues par le système $|kL|$. On rappelle qu’une extension de X plongée dans $P^N$ est $Y$ dans $P^{N+1}$ qui a $X$ comme section hyperplane.

Quels groupes algébriques agissent de façon birationnelle sur le plan projectif ? Après avoir regarder quelques exemples sur des corps divers, je vais expliquer comment attaquer la classification et la donner pour les groupes infinis.

Dans cet exposé, je présenterai une solution définitive au problème de décrire les classes de conjugaison d’un groupe de Coxeter arbitraire en termes de permutations cycliques. Après avoir motivé le problème et passé en revue son histoire, j’expliquerai l’idée-clef, de nature géométrique, derrière la preuve de sa solution.

In 1988 Simpson proved a uniformization theorem which characterizes complex projective manifolds and quasi-projective curves whose universal coverings are complex unit balls. In this talk, I will give a necessary and sufficient condition for quasi-projective manifolds to be uniformized by complex unit balls, via stability of (logarithmic) Higgs bundles. This is based on a joint work with Benoit Cadorel.

Dans cet exposé nous montrerons, en suivant l’article de Greb-Guenancia-Kebekus, qu’une variété projective klt à  fibré canonique numériquement trivial et dont le fibré tangent est fortement stable est, à  revêtement quasi étale près, soit une variété de CY soit une variété de Calabi-Yau soit une variété irréductible symplectique.

https://bul.univ-lorraine.fr/index.php/s/WDWrwG4sMHcHoso

Les variétés singulières à  canonique numériquement trivial ont
reçu un intérêt récent, notamment dans des travaux de Greb, Guénancia,
Kebekus, Druel, Höring, Peternell, Campana… qui aboutissent à  un
théorème de décomposition “à  la Beauville-Bogomolov” dans le cadre
singulier assez large (klt). Ces travaux participent également à 
comprendre la structure du faisceau tangent d’une variété singulière à 
canonique numériquement trivial; pour des variétés relativement peu
singulières (klt lisses en codimension 2, par exemple terminales),
Höring et Peternell établissent un lien entre la positivité
(pseudoeffectivité) du faisceau tangent à  une variété et la présence
d’une facteur abélien dans sa décomposition de Beauville-Bogomolov
singulière.

Dans cet exposé, je discuterai des outils permettant de traiter la
positivité d’un faisceau réflexif sur une variété à  singularités klt,
comme la seconde classe de Chern orbifold : c’est un bon cadre pour le
faisceau tangent d’une variété à  singularités klt. J’expliquerai comment
utiliser ces outils pour généraliser l’énoncé de Höring et Peternell à 
des variétés à  singularités klt, et en présenterai quelques autres
utilités.

Un résultat d’Arapura et Archava montre qu’un produit symétrique d’une variété X de type général est aussi de type général, dès que X est de dimension au moins 2 ; il s’agit essentiellement de montrer que les singularités de ce produit sont canoniques. Ce résultat mène naturellement à  un certain nombre de questions : si X est hyperbolique, les produits symétriques le sont-ils aussi ? à  l’inverse, la propriété “spéciale” de F. Campana est-elle invariante par produit symétrique ?

Ces questions forment en général un problème plus difficile qu’il n’y parait ; on verra que sans des hypothèses supplémentaires sur la variété X, les réponses sont en général négatives. Cependant, sous certaines hypothèses de positivité naturelles sur X, on peut obtenir des contraintes fortes sur les courbes entières tracées sur les produits symétriques. Ceci permet notamment de construire de nombreux exemples de produits symétriques hyperboliques, en choisissant un X adéquat (par exemple une hypersurface ou intersection complète de haut degré, un quotient de domaine symétrique borné…)

Il s’agit d’un travail en commun avec F. Campana et E. Rousseau.

soit G un groupe réductif déployé sur un corps K muni d’une
valuation à  valeurs dans R. Dans les années 70, Bruhat et Tits ont
construit un espace appelé « immeuble » sur lequel G agit. On peut alors
étudier G via son action sur l’immeuble.

Je parlerai d’une généralisation de cette construction que nous avons
obtenue avec Diego Izquierdo et Benoit Loisel dans le cas o๠la
valuation est à  valeur dans un groupe abélien totalement ordonné Lambda
quelconque.