Groupe de Travail EDP et Applications | Nancy - Institut Élie Cartan de Lorraine

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Contrôlabilité de l'équation de la chaleur avec contraintes sur le contrôle

Catégorie d'évènement : Équations aux dérivées partielles Date/heure : 12 octobre 2021 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Christophe Zhang Résumé :

On s’intéresse à un problème de contrôle approché de l’équation de la chaleur par des « formes » : des contrôles internes, qui en espace sont des fonctions caractéristiques d’ensembles de mesures uniformément bornées.

En partant de l’exemple de la méthode HUM, on montre comment des outils d’analyse et d’optimisation convexes peuvent être utilisés pour étudier les propriétés de contrôlabilité d’un tel système, comportant des contraintes sur le contrôle. Pour faire cela, on voit la recherche de contrôles comme la recherche de contrôles optimaux pour un certain coût bien choisi. En posant ensuite ce problème de contrôle optimal comme un problème d’optimisation convexe sous contraintes, on peut appliquer des résultats généraux d’optimisation convexe pour conclure.

L’outil central de cette approche est la notion de dualité de Fenchel-Rockafellar, qui associe à un problème d’optimisation (dit primal) un problème dit dual. Ces deux problèmes peuvent être vus comme les deux facettes de la formulation Hamiltonienne du problème, de manière analogue aux problèmes de mécanique en physique, où l’on peut opter pour une formulation en coordonnées ou une formulation avec les moments. L’avantage du problème dual est que même si le problème primal comporte des contraintes, le problème dual s’écrit en revanche sans contraintes (mais avec des termes supplémentaires).

Dans la méthode HUM, la solution du problème dual permet de construire le contrôle optimal. Cela se généralise en fait à tout problème de contrôle optimal sous de bonnes hypothèses, et permet d’obtenir le résultat pour le contrôle de l’équation de la chaleur par des « formes ».

Inégalités de Strichartz pour l'équation de Schrödinger

Catégorie d'évènement : Groupe de Travail Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 4 février 2020 09:15-10:15 Lieu : Oratrice ou orateur : Laurent Thomann Résumé :

Résumé

Décroissance du nombre de zéros des solutions d'une équation parabolique

Catégorie d'évènement : Groupe de Travail Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 14 janvier 2020 09:15-10:15 Lieu : Oratrice ou orateur : THOMAS GILETTI Résumé :

Résumé

Laplaciens Fractionnaires dans un ouvert borné

Catégorie d'évènement : Groupe de Travail Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 26 novembre 2019 09:15-10:15 Lieu : Oratrice ou orateur : Maha Daoud Résumé :

Dans cet exposé, nous allons rappeler deux ou trois définitions du Laplacien fractionnaire dans $R^N$ qui sont toutes équivalentes. Puis nous montrons que chacune des définitions donne un « Laplacien fractionnaire » dans le cas d’un domaine ouvert borné de $R^N$. Enfin, nous présentons des simulations numériques pour illustrer la différence entre les « Laplaciens fractionnaires » les plus étudiés dans la littérature.