Dans cet exposé je présenterai un modèle de dynamique des populations piloté par capacité biotique. La capacité biotique $f=rho-m$, qui est essentiellement la différence entre la densité d’espèce $rho(t,x)$ et la quantitié de ressources disponibles $m(x)$, intervient comme un terme de reproduction logistique, mais affecte également la dispersion de l’espèce qui se déplace vers l’environnement le plus favorable possible ($f>0$). Le modèle a été introduit et étudié mathématiquement par [Cosner et Winkler], et consiste en un problème parabolique dégénéré. Dans une série de travaux récents, nous avons montré avec S. Kondratyev et D. Vorotnikov (Univ. Coimbra, Portugal) que le modèle peut s’écrire comme un flot gradient dans l’espace des mesures, muni d’une nouvelle distance de transport optimal non conservatif. Ce point de vue revisité permet d’établir un nouveau résultat de convergence en temps long, dont la preuve est basée sur des techniques d’entropie/dissipation-entropie particulièrement adaptées au cadre variationnel et en lien avec une nouvelle famille d’inégalités fonctionnelles. Si le temps le permet je présenterai une extension au cas vectoriel.

En théorie des champs relativiste, un problème essentiel est de séparer les solutions de l’équation de Klein-Gordon en celles qui propagent avec fréquences positives et celles a fréquences négatives, dans le sens précis d’une condition sur leur front d’onde. Sur des espace-temps asymptotiquement statiques, il existe une construction bien connue (par théorie de diffusion) qui donne une décomposition canonique, mais jusqu’à  présent le problème de vérifier la condition sur le front d’onde, dite « de Hadamard », restait ouvert. Le but de cet expose seront des démontrer cette conjecture dans le cas à  longue portée en utilisant un mélange de théorie de diffusion et de calcul pseudo-différentiel. Je vais aussi expliquer comment dans ce cadre est-il possible de définir des conditions asymptotiques pour lesquelles l’opérateur de Klein-Gordon devient un opérateur de Fredholm vérifiant des propriétés étonnamment similaires au cas elliptique (travail en collaboration avec Christian Gérard).

Durant ce séminaire nous considérerons une famille d’opérateurs de Schrödinger étant formellement homogènes sous le groupe des dilatations. Une fois mieux définis la majorité de ces opérateurs perdent cette propriété. Nous étudierons alors les propriétés spectrales de ces opérateurs, qui ne sont généralement pas auto-adjoints et proposerons certaines formules pour la théorie de la diffusion. Cette étude est intimement liée aux fonctions de Bessel, et certaines de leurs relations peuvent être réinterprétées dans le cadre de l’étude de ces opérateurs.

Résumé

We investigate the existence of solutions to a nonlinear elliptic problem involving the critical Sobolev exponent for a Polyharmomic operator on a Riemannian manifold   M. We first show that the best constant of the Sobolev embedding on a manifold can be chosen as close as one wants to the Euclidean one, and as a consequence derive the existence of minimizers when the energy functional goes below a quantified threshold. Next, higher energy solutions are obtained by Coron’s topological method, provided that the minimizing solution does not exist and the manifold satisfies a certain topological assumption. To perform the topological argument, we obtain a decomposition of Palais-Smale sequences as a sum of bubbles and adapt Lions’s concentration-compactness lemma.

In this talk we discuss a viscoelastic equation with a non increasing function. We first give an account of the existing results and then establish a new general decay rate for the solution energy of the problem under a more general condition on the relaxation function. This work answers some questions raised in the literature and generalizes and improves earlier results.

On éudie la localisation et l’existence des valeurs propres (v. p.) du générateur d’un semi-groupe de contraction associé aux problèmes à  bord dissipatifs pour l’équation des ondes et le système de Maxwell. Le spectre du générateur dans le demi-plan gauche est formé par des v. p. isolées de multiplicité finie et les solutions associées ont une énergie globale exponentiellement décroissante. La localisation des v. p. est importante pour les applications et les problèmes inverses de diffusion. On prouve que les v. p. sont localisées dans des voisinages paraboliques de l’axe réel ou de l’axe imaginaire. Pour des obstacles strictement convexes on obtient des résultats plus précis. Finalement pour la balle on établit l’existence d’un nombre infini de v. p. réelles négatives.

Résumé

This is an introductory talk to mathematics of active biosystems. The goal is to illustrate by simple examples how  mathematics changes when transition from traditional physics/materials problems to PDEs in biology. Before jumping into mathematics we present experimental videos of striking biological phenomena that motivate our study. The talk consists of three parts. First we give a brief introduction to homogenization theory which is a powerful mathematical tool for studying multiscale problems. Next we describe a PDE model of collective behavior for swimming bacteria and present mathematical results on the effective viscosity of bacterial suspensions. Finally we present a phase field PDE model of a crawling cell on a substrate and describe its surprising features such as self-sustained motion (traveling wave solutions) and spontaneous breaking of symmetry. In conclusion, we briefly discuss the concept of interdisciplinary mathematics.

Cet exposé présentera des modèles mathématiques de la fermeture de trous dans des tissus épithéliaux. Ces modèles mettent en évidence l’importance de la géométrie des bords (en particulier la courbure locale à  chaque point de la frontière du tissu) et de l’adhésion à  la matrice extra-cellulaire pour la détermination du type de mécanisme de fermeture dominant.

L’équation de Klein-Gordon peut être écrite dans un cadre assez général sous la forme $(partial_t^2-2ikpartial_t+h)u=0$, o๠$h$ et $k$ sont des opérateurs autoadjoints. Lorsque $h$ n’est pas positif l’énergie naturelle conservée $Vert partial_tuVert^2+(hu,u)$ n’est pas positive et en général aucune énergie positive conservée n’est disponible. De tels phénomènes apparaissent lorsque l’équation de Klein-Gordon est couplée à  un champ électrique fort o๠lorsqu’elle provient d’une géométrie lorentzienne sans champ de Killing global de type temps. Dans ce cas on parle souvent de superradiance. Un exemple typique est la métrique de De Sitter Kerr qui décrit des trous noirs en rotation. Nous allons décrire comment on peut obtenir dans un tel cadre des résultats de complétude asymptotique et donner quelques applications à  la métrique de De Sitter Kerr. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Christian Gérard et Vladimir Georgescu.

The purpose of our talk is to introduce a framework that enables one to study general homogenization problems. We study the qualitative properties of generalized Besicovitch spaces, and prove some general compactness results related to these spaces. We then apply them to study some new homogenization problems.

Sur quelques exemples simples de contrôle de systèmes d’équations paraboliques, quelques faits inhabituels dans le cas scalaire surgissent. Il apparaît que contrôlabilité approchée et contrôlabilité aux trajectoires ne sont pas toujours équivalentes, qu’il peut apparaître un temps minimal de contrôle et que contrôlabilité par le bord et contrôlabilité interne ne se déduisent pas l’une de l’autre et ne sont pas équivalentes.

Résumé

Dans cet exposé, on présentera certains résultats sur le comportement en temps grand des solutions des équations de réaction-diffusion, dont le terme de réaction dépend de la variable $x-ct$, la position dans un repère mobile. Ces équations peuvent être comprises comme des modèles simplistes de dynamique de populations sous l’influence d’un changement climatique. On montrera en particulier qu’en présence d’un effet Allee faible (corrélation positive entre le taux de croissance d’une population et sa densité), la taille de la population initiale est cruciale pour la survie de l’espèce, ce qui n’est pas le cas pour une équation homogène semblable. Je consacrerai également une partie de cet exposé à  une présentation de certains résultats classiques sur le comportement en temps grand des solutions des équations de réaction-diffusion dans le cas homogène.

Le problème spectral de Cosserat vient de la mécanique de la fin du 19e siècle, mais par ses relations avec la condition LBB et les équations de Stokes il a récemment gagné en popularité. En présence de coins, il existe un spectre essentiel causé par les singularités de coin des fonctions propres. Si ces singularités se déterminent bien par la théorie classique de Kondratev, leur rôle pour le spectre et son approximation numérique est original. Je présenterai des resultants récents théoriques et expérimentaux sur la convergence (ou non-convergence) de diverses approximations.

On montre la décroissance de l’énergie locale pour l’équation des ondes dans un guide d’onde avec dissipation constante au bord. On observe que l’onde se comporte en fait en temps grand comme la solution d’une équation de la chaleur. La preuve repose sur des estimées de résolvante. Comme les fonctions propres du problème transverse ne forment pas une base de Riesz, l’analyse spectrale ne se réduit pas de façon évidente à  des études « séparées » sur des domaines compacts et euclidiens.

Dans cet exposé, on présentera une nouvelle approche de l’utilisation de conditions aux limites transparentes pour l’équation de Schrödinger et l’équation des ondes linéaires. L’idée est de pouvoir les rendre locales en considérant une inconnue auxiliaire qui sera calculée sur tout le domaine et liée à  la solution de l’équation initiale par un couplage linéaire et local sur le bord. On présentera des résultats numériques en dimensions 1 et 2, sur des demi-espaces et des quarts de plan, la difficulté de ce dernier cas étant la présence d’une singularité géométrique.