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Dispersion is the phenomenon in which the phase velocity of a wave depends on its frequency, or alternatively when the group velocity depends on the frequency. Examples of classical nonlinear dispersive equations are the (generalized) KdV equation, the Nonlinear Schrödinger equation, and the Boussinesq equation. In addition to the well-posedness it is known blow-up effect, for critical and super-critical cases that generally depend on the exponent p > 0 present in the nonlinearity of these equations. Dispersive blow-up is a focussing type of behavior which is due to both the unbounded domain in which the problem is set and the propensity of the dispersion relation to propagate energy at different speeds. On the other hand, a damping term can prevent this blow-up effect in the dispersive equations, and it is what is studied in several works, both for the KdV and for the Schrödinger equation.

Particles are used in several different ways in computational physics. For example one can study systems of point masses, point charges, or point vortices. Another approach considers the particle system as a discretization of a continuous PDE problem; in this case one is dealing with a particle method, as an alternative to the classical discretization methods such as finite-difference, finite-element, and spectral methods. Here we consider particle methods in two areas, (1) electrostatics of solvated proteins, where the particles are nodes in a triangulation of the molecular surface, and (2) incompressible fluid dynamics, where the particles represent the flow map and carry vorticity. We discuss the challenges facing particle methods and some techniques that improve their accuracy and efficiency, including adaptive refinement, remeshing, and treecode-acceleration.

Nous étudions l’existence et la stabilité des ondes périodiques pour un modèle non linéaire, l’équation de Lugiato-Lefever, issu de l’optique. En utilisant des méthodes de la théorie des bifurcations, nous étudions les bifurcations de Turing et montrons l’existence de solutions périodiques. Cette approche permet également de conclure sur la stabilité de ces solutions vis-à -vis de perturbations périodiques dont la période est un multiple entier de la période de l’onde. En utilisant ensuite de méthodes de la théorie des opérateurs, nous montrons la stabilité de ces solutions vis-à -vis de perturbations générales, bornées.

The localization of a critical point of minimum type of a smooth functional is obtained in a bounded convex conical set defined by a norm and a concave upper semicontinuous functional. The technique is then used for the localization and multiplicity of Nash equilibrium solutions of nonvariational systems. Applications are given to periodic problems.

La désintégration du boson W en un couple lepton-neutrino peut être modélisée par un opérateur autoadjoint agissant sur un espace de Fock, qui est un espace de Hilbert particulier. Les valeurs que peut prendre l’énergie du système physique correspondent au spectre de cet opérateur, qui peut être scindé en trois parties : le spectre ponctuel, absolument continu et singulièrement continu. Le sous-espace de Hilbert associé à  la partie absolument continue du spectre contient les états diffusés, c’est-à -dire étant localisés loin de l’expérience au bout d’un temps très long. Intuitivement, on s’attendrait à  ce que de tels états soient asymptotiquement libres (c’est-à -dire se comportant, en temps infini, comme s’il n’y avait aucune interaction). Cette propriété se traduit en termes mathématiques par la notion de complétude asymptotique des opérateurs d’onde. Un des objets essentiels de la mécanique quantique est la matrice de diffusion (ou de scattering) qui associe à  chaque état entrant diffusé, un état sortant à  son tour diffusé. Un des objectifs de la théorie de la diffusion est de prouver l’existence de la matrice de scattering et la complétude asymptotique des opérateurs d’ondes associés. Le but de cette présentation est de donner un sens rigoureux à  toutes ces notions, d’introduire les outils fondamentaux utilisés dans cette branche de la physique mathématique et de présenter quelques résultats récents sur un modèle simplifié de la désintégration du boson W.

Les surfaces minimales sont les surfaces qui sont points critiques pour la fonctionnelle d’aire (à  bord fixé). Elles sont aussi caractérisées par le fait que leur courbure moyenne est nulle en tout point ; elles peuvent donc s’exprimer localement comme graphes de solutions d’une EDP elliptique. Nous présenterons d’abord quelques exemples et résultats fondamentaux concernant ces surfaces puis nous nous intéresserons à  un problème de minimisation de l’aire des surfaces minimales comprises entre deux plans parallèles (travail en commun avec J. Choe).

The heat equation with homogeneous Dirichlet boundary conditions is well known to preserve non-negativity. Besides, due to infinite velocity of propagation, the heat equation is null-controllable within arbitrary small time, with controls supported in any arbitrarily open subset of the domain (or its boundary) where heat diffuses. The following question then arises naturally: can the heat dynamics be controlled from a positive initial steady-state to a positive final one, requiring that the state remains nonnegative along the controlled time-dependent trajectory? I will show that this state-constrained controllability property can be achieved if the control time is large enough, but that it fails to be true in general if the control time is too short, thus showing the existence of a positive minimal controllability time. In other words, in spite of infinite velocity of propagation, realizing controllability under the unilateral non-negativity state constraint requires a positive minimal time

The Klein-Gordon equation has several natural Green’s functions, often called propagators. The so-called Feynman propagator, used in quantum field theory, has a clear definition on static spacetimes. I will discuss, partly on a heuristic level, its possible generalizations to the non-static case. I will also describe a curious, partly open problem about the self-adjointness of the Klein-Gordon operator. I will also describe how to compute the singularities around the diagonal using a special geometric version of pseudodifferential calculus

La tomographie réflective est une méthode émergente en imagerie optique 3D. On observe qu’elle reconstruit pertinemment une scène 3D à  partir d’images en intensité, malgré des concavités ou des occultations. Pour aller plus loin, on décrit la tomographie réflective à  l’aide d’un modèle asymptotique géométrique, dans un cadre d’intégrales fortement oscillantes. Ce modèle original est en accord avec les résultats numériques ; il décrit les parties reconstruites, et permet de cerner les artefacts. Enfin, on déduit de ce modèle asymptotique une version accélérée du solveur de reconstruction.

Nous nous intéressons dans cet exposé à  la modélisation et à  la simulation numérique des écoulements de sang et de liquide cérébro-spinal dans le cerveau, réalisées dans le cadre d’un projet ANR VIVABRAIN. En particulier, la validation des simulations numériques concernant le vivant étant une question très complexe, nous montrons dans cet exposé l’approche que nous avons choisie pour valider nos simulations d’écoulements de bio-fluides en géométries réalistes.

Nos travaux portent sur l’imagerie optique des tissus biologiques en utilisant la lumière visible ou proche IR. C’est une technique non-invasive qui consiste à  reconstruire les propriétés optiques des tissus biologiques dans le but de détecter d’éventuelles tumeurs cancéreuses. Nous utilisons l’Equation du Transfert Radiatif (ETR) comme modèle (direct) de propagation de la lumière. Une analyse de sensibilité des paramètres du modèle a montré que le facteur d’anisotropie g de la fonction de phase de Henyey-Greenstein est le paramètre le plus sensible suivi du coefficient de diffusion puis du coefficient d’absorption. Notre algorithme de reconstruction est basé sur une méthode de Quasi-Newton. Le gradient de la fonction objectif est calculé efficacement par la méthode adjointe appliquée à  l’ETR avec une approche Multi-fréquences. Lors de mon exposé, je présenterai les modèles (sans et avec fluorescence) sur lesquels nous travaillons, les méthodes numériques que nous avons développé ainsi que les résultats que nous avons obtenu sur la reconstruction 2D et 3D de nos milieux biologiques. Le facteur g, utilisé comme nouvel agent de contraste optique endogène, permet de marquer davantage les tumeurs cancéreuses.

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Applying an asymptotic method, we will establish the existence of the minimal solution to some variational elliptic inequalities defined on bounded or unbounded domains. The minimal solution is obtained as limit of solutions to some classical variational inequalities defined on domains becoming unbounded when some parameter tends to infinity (joint work with S. Guesmia and S. Harkat)

On étudie une inéquation variationnelle parabolique décrivant la dynamique d’un microsystème électromécanique (MEMS) et résultant de la prise en compte de l’hétérogénéité diélectrique du dispositif. J’esquisserai tout d’abord la provenance du modèle étudié puis décrirai les résultats obtenus pour les problèmes stationnaire et d’évolution. Travaux en commun avec Christoph Walker (Hannover).

In this talk we will discuss rational quadrature rules in a general framework. Rather than focusing on theoretical aspects, we will discuss their advantages and disadvantages for practical use compared to classical (polynomial) quadrature rules, and deal with questions like « how to chose the poles” and « when to chose rational quadrature rules over polynomial quadrature rules”. We conclude with presenting some existing algorithms to compute the nodes and weights in certain types of rational quadrature rules.

On s’intéresse à  divers types de solutions de l’équation -Δφ = exp(-φ) : solutions infinies sur le bord du domaine, ou définies dans un domaine non-borné… en présence de singularités. Ces solutions interviennent dans l’étude de l’équilibre électrostatique d’un plasma au voisinage d’une pointe conductrice.

Dans cet exposé, on discutera différents aspects de l’opérateur de Dirac en dimension trois, couplé à  un potentiel singulier supporté sur une surface. Après avoir motivé l’étude de tels objets, on s’intéressera brièvement au problème d’auto-adjonction pour des potentiels singuliers de type électrostatique ou de type scalaire de Lorentz. Pour cette dernière classe de potentiels, on étudiera la structure du spectre d’un tel opérateur et en particulier, on montrera que lorsque la masse de la particule tend vers l’infini, dans le cas d’un potentiel attractif, les valeurs propres se comportent au premier ordre comme les valeurs propres d’un opérateur effectif sur la surface. On verra que cet opérateur effectif est en fait un opérateur de Schrödinger avec champ de Yang-Mills couplé à  un potentiel électrique, le champ et le potentiel étant tous deux de nature géométrique. Il s’agit de travaux en collaboration avec Markus Holzmann, Konstantin Pankrashkin et Luis Vega. [1.] A strategy for self-adjointness of Dirac operators: applications to the MIT bag model and delta-shell interactions, with Luis Vega, 30p., to appear in Publicacions Matemà tiques, arXiv:1612.07058, 2016. [2.] Dirac operators with Lorentz scalar shell interactions, with Markus Holzmann and Konstantin Pankrashkin, 41 p., submitted, arXiv:1711.00746, 2017.