Attention : horaires inhabituels, le séminaire aura lieu de 10h45 à 12h15 (une séance d’une heure et demie) et sera précédé d’une pause café-gâteau de 10h15 à 10h45

La méthode Galerkin Discontinu permet d’approcher numériquement de façon très précise les solutions régulières des équations hyperboliques. Il est par contre plus délicat d’approcher des solutions discontinues ou des solutions perturbations autour de solutions stationnaires (pour des équations avec termes sources).

En effet, dans le premier cas, les oscillations de Gibbs générées aux discontinuités peuvent déstabiliser le schéma, tandis que dans le deuxième cas, l’erreur produite sur la solution stationnaire rend difficile l’étude des dynamiques perturbatives. Nous verrons dans cet exposé comment les réseaux de neurones peuvent être utilisés pour construire des viscosités artificielles qui stabilisent les schémas numériques et comment elles permettent de construire des bases Galerkin Discontinu adaptées aux solutions stationnaires du problème.

Ceci est un travail en commun avec Andras Vasy et Michal Wrochna.
On considère $\mathbb{R}^n$ munit d’une métrique Lorentzienne asymptotiquement Minkowski dont les géodésiques nulles sont non captées. On décrira les propriétés spectrales du carré de l’opérateur de Dirac associé et on en déduira un principe d’action spectrale à partir des puissances de $D^2$.

Il est bien connu que la reconstruction d’une donnée initiale associée à une équation parabolique à partir de mesures internes de sa solution pendant un temps $T$, sur un domaine $\omega$ appelé domaine d’observation équivaut à la question de l’observabilité, ou plus précisément à la positivité de ce qu’on appelle la constante d’observabilité associée à $\omega$. Cette constante dépend du domaine d’observation $\omega$ mais aussi de façon cruciale de l’horizon temporel $T$.

Dans cet exposé, nous nous intéressons au positionnement optimal de capteurs thermiques. Il est raisonnable de modéliser cette question par la recherche des domaines extrémaux (lorsqu’ils existent) maximisant cette constante d’observabilité. Pour être physiquement pertinent, nous imposons une restriction sur la mesure du domaine observé.

Après avoir introduit une relaxation convexe du problème d’optimisation de la forme, nous déterminons le comportement asymptotique des maximiseurs lorsque $T$ tend vers $+\infty$. En utilisant de façon cruciale un principe de la baignoire quantitatif, nous prouvons la forte convergence des maximiseurs vers la fonction caractéristique d’un ensemble mesurable que nous caractérisons précisément, et montrons en outre que cette convergence est exponentielle.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Idriss Mazari (univ. Paris Dauphine) et Emmanuel Trélat (Sorbonne univ.)

Il s’agit de la suite de l’exposé de la semaine dernière dont voici le résumé :

We study the Laplace and Stokes operators on a manifold with straight cylindrical ends.
We obtain useful Fredholm, regularity, and invertibility results. An important role is played by an adapted pseudodifferential calculus on manifolds with straight cylindrical ends which contains the inverses of its $L^2$-invertible, elliptic operators of non-negative order.
We also obtain the layer potentials for the elliptic operators studied, and the well-posedness of the corresponding Dirichlet problem.
Joint work with Victor Nistor (Metz) and Wolfgang L. Wendland (Stuttgart).

We study the Laplace and Stokes operators on a manifold with straight cylindrical ends.
We obtain useful Fredholm, regularity, and invertibility results. An important role is played by an adapted pseudodifferential calculus on manifolds with straight cylindrical ends which contains the inverses of its $L^2$-invertible, elliptic operators of non-negative order.
We also obtain the layer potentials for the elliptic operators studied, and the well-posedness of the corresponding Dirichlet problem.
Joint work with Victor Nistor (Metz) and Wolfgang L. Wendland (Stuttgart).

L’algorithme word2vec (Mikolov et al, 2013) permet d’associer des vecteurs à des mots.
Ces plongements de mots, sous des formes plus sophistiquées, forment le cœur des Grands Modèles de Langues (LLM) utilisés par les outils d’IA dont tout le monde a entendu parler.
Si word2vec est présenté comme un algorithme de réseaux de neurones, il peut-être décrit très simplement comme un problème d’optimisation impliquant deux matrices et rien de plus.
Dans cet exposé, nous présenterons un état des lieux de notre compréhension de cet algorithme par une approche de rétro-ingénierie, et des questions ouvertes.

D’après un travail commun avec Didier Gemmerlé, Lionel Lenôtre, Pierre Mercuriali et Saïd Toubra.

We give a light talk on optimality of shapes in geometry and physics.
First, we recollect classical geometric results that the disk has the largest area (respectively, the smallest perimeter) among all domains of a given perimeter (respectively, area).
Second, we recall that the circular drum has the lowest fundamental tone among all drums of a given area or perimeter and reinterpret the result in a quantum-mechanical language of nanostructures.
In parallel, we discuss the analogous optimality of square among all rectangles in geometry and physics.
As the main body of the talk, we present a joint work with Freitas in which we show that the disk actually stops to be the optimiser for elastically supported membranes, disproving in this way a long-standing conjecture of Bareket’s.
We also present our recent attempts to prove the same spectral-geometric properties in relativistic quantum mechanics.
It is frustrating that such an illusively simple and expected result remains unproved and apparently out of the reach of current mathematical tools.

Le but de ce groupe de travail sera de comprendre (partiellement) les différentes équations de la mécanique des fluides afin de les reconnaître au détour d’un exposé ou de la lecture d’un papier.

Dans cette troisième partie, nous discuterons de l’entropie d’un fluide.

Les notes de ce groupe de travail se trouvent ici (merci à Jérémy).

Le but de ce groupe de travail sera de comprendre (partiellement) les différentes équations de la mécanique des fluides afin de les reconnaître au détour d’un exposé ou de la lecture d’un papier.

Dans cette deuxième partie, nous discuterons de l’énergie et de l’entropie d’un fluide.

Le but de ce groupe de travail sera de comprendre (partiellement) les différentes équations de la mécanique des fluides afin de les reconnaitre au détour d’un exposé ou de la lecture d’un papier.

In this talk, we review recent results on so-called partially dissipative hyperbolic systems. Such systems model physical phenomena with degenerate dissipative terms and appear in many applications. For example, in gas dynamics where the mass is conserved during the evolution, but the momentum balance includes a diffusion (viscosity) or a damping (relaxation) term.

First, using tools from the hypocoercivity theory and precise frequency decompositions, we derive sharp stability estimates for linear systems satisfying the Kalman rank condition. This linear analysis allows us to establish new global-in-time existence and large-time behaviour results in a critical regularity framework for nonlinear systems.

Then, we interpret partially dissipative systems as hyperbolic approximations of parabolic systems, in the context of the paradox of infinite speed of propagation. In particular, we focus on a hyperbolic approximation of the multi-dimensional compressible Navier-Stokes-Fourier system and establish its hyperbolic-parabolic strong relaxation limit.

In this talk, I will discuss the spectral analysis of the Robin Laplacian on a smooth bounded two-dimensional domain in the presence of a constant magnetic field. In the semi-classical limit, I will explain how to get a uniform description of the spectrum located between the Landau levels. The corresponding eigenfunctions, called edge states, are exponentially localized near the boundary. By means of a microlocal dimensional reduction, I will explain how to derive a very precise Weyl law, and also how to simultaneously refine old results about the low-lying eigenvalues in the Robin case and recent ones about edge states in the Dirichlet case.

In this talk, we discuss the self-adjointness in $L^2$-setting of the operators acting as $-\mathrm{div}\cdot h\nabla$, with piecewise constant functions $h$ having a jump along a Lipschitz hypersurface $\Sigma$, without explicit assumptions on the sign of $h$. We establish a number of sufficient conditions for the selfadjointness of the operator with $H^{\frac{3}{2}}$-regularity in terms of the jump value and the regularity and geometric properties of $\Sigma$. An important intermediate step is a link with Fredholm properties of the NeumannPoincaré operator on $\Sigma$, which is new for the Lipschitz setting.

Based on joint work with Konstantin Pankrashkin.

L’exposé se veut un résumé de mes travaux de thèse, qui portent une attention particulière aux schémas de Boltzmann sur réseau. Cette classe de schémas est utilisée depuis la fin des années ’80, en particulier en mécanique des fluides, et se caractérise par sa grande rapidité. Cependant, les méthodes de Boltzmann sur réseau sont très gourmandes en termes d’espace mémoire et conçues pour des maillages Cartésiens uniformes. De plus, nous manquons d’outils théoriques généraux qui permettent d’en analyser la consistance, la stabilité et enfin la convergence. Le travail s’articule autour de deux axes principaux.
Le premier consiste à proposer une stratégie permettant d’appliquer les méthodes de Boltzmann sur réseau à des grilles de calcul non-uniformes adaptées dynamiquement en temps, afin de réduire le coût de calcul et de stockage. Le fait de pouvoir contrôler l’erreur commise et d’être en mesure d’employer la méthode quelque soit le schéma de Boltzmann sous-jacent sont des contraintes supplémentaires à prendre en compte. Pour cela, nous proposons d’adapter dynamiquement le réseau ainsi que d’ajuster toute méthode de Boltzmann à des maillages non-uniformes en nous appuyant sur la multirésolution. Cela a permis de proposer un cadre innovant pour des maillages mobiles en respectant les contraintes posées.
Le second axe de recherche consiste à donner un cadre mathématiquement rigoureux aux méthodes de Boltzmann sur réseau, lié en particulier à leur consistance vis-à-vis des EDPs visées, leur stabilité et donc leur convergence. Pour cela, nous proposons une procédure, basée sur des résultats d’algèbre, pour éliminer les moments non-conservés de n’importe quel schéma de Boltzmann sur réseau, en le transformant en un schéma aux différences finies multi-pas sur les moments conservés. Les notions de consistance et stabilité pertinentes pour les méthodes de Boltzmann sur réseau sont donc celles des schémas aux différences finies. En particulier, tous les résultats concernant ces derniers, entre autres le théorème de Lax, se transpose naturellement aux schémas de Boltzmann sur réseau. Une étape ultérieure consiste à étudier la consistance et la stabilité directement sur le schéma de départ sans devoir calculer sa méthode aux différences finies « correspondante ». Cela permet d’en obtenir les équations modifiées et de montrer le bien-fondé des analyses de stabilité à la von Neumann couramment utilisées au sein de la communauté.

This talk concerns the (generalized) Soler model: a nonlinear (massive) Dirac equation with a nonlinearity taking the form of a space-dependent mass. The equation admits standing wave solutions and they are generally expected to be stable (i.e., small perturbations in the initial conditions stay small) based on numerical simulations. However, contrarily to the nonlinear Schrödinger equation for example, there are very few results in this direction. The results that I will discuss concern the simpler question of spectral stability (and instability), i.e., the absence (or presence) of exponentially growing solutions to the linearized equation around a solitary wave. As in the case of the nonlinear Schrödinger equation, this is equivalent to the presence or absence of « unstable eigenvalues » of a non-selfadjoint operator with a particular block structure. I will highlight the differences and similarities with the Schrödinger case, present some results for the one-dimensional case, and discuss open problems.

This is joint work with Danko Aldunate, Edgardo Stockmeyer, and Hanne Van Den Bosch.

This talk explores the intriguing realm of scattering resonances within two-dimensional transparent cavities, which arose in the modeling of micro-resonators constructed from dielectric materials (with positive permittivity) or metallic nanoparticles (with negative permittivity). Specifically, our investigation is focused on resonances that closely align with the real axis, characterized by highly oscillatory behavior and localization along the interface separating the cavity from its external environment. Notable exemplars of such resonances include whispering-gallery modes observed in dielectric cavities and surface plasmon waves associated with metallic particles.

In this talk, we will be interested in the numerical analysis of the Gross-Pitaevskii equation, which governs the evolution of quantum fluids near absolute zero temperature. We will use an explicit splitting scheme for time integration, while relying on a standard Finite Volumes scheme for space discretization. Numerical simulations will also be presented, with a particular emphasis on the analysis of vortex structures which naturally appear in such superfluids.

Nous rappellerons le formalisme Hilbertien de la mécanique quantique avant d’introduire des objets mathématiques spécifiques à la théorie quantique des champs : l’espace de Fock, les opérateurs de création, d’annihilation, de champ.
Nous illustrerons ce formalisme par l’exemple du Hamiltonien de Pauli-Fierz qui décrit un électron en interaction avec un champ de photons.

Je présenterai des résultats sur le comportement en temps long des solutions d’équations cinétiques linéaires dans tout l’espace, où l’opérateur de collision satisfait les lois de conservation physiques (masse, quantité de mouvement et énergie) et les particules sont confinées via un potentiel extérieur. Il s’agit d’un travail en collaboration avec J. Dolbeault, F. Hérau, S. Mischler, C. Mouhot et C. Schmeiser.