The problem under consideration belongs to the wide family of quantum wave guides. Such guides are unbounded domains endowed with a simple structure at infinity. For instance, in two dimensions, they coincide outside of a compact set with two half-strips of constant width. The Dirichlet Laplace operator in these guides has a non empty essential spectrum. The game is to investigate the presence of discrete spectrum under the threshold of the essential spectrum. In two dimensions the situation is well-known: For any wave guide of constant width and non identically zero curvature, bound states do exist. In three dimensions, recent results provide the existence of infinitely many bound states in conical layers with smooth profiles. In this talk we address the archetypic non smooth conical layer, which we name after Fichera. It can be viewed as an octant from which is removed another octant translated from the first one along the diagonal line of coordinates. We characterize the essential spectrum and prove that the discrete spectrum has at most a finite number of elements. Numerical computations tend to prove that there is exactly one bound state. We mention various generalizations of this result. From a joint work with Yvon Lafranche (Rennes) and Thomas Ourmières-Bonafos (Paris-Sud).

We will first review some variational formulations of the time-harmonic Maxwell equations with impedance boundary conditions in smooth and non-smooth domains. Secondly, the singularities of this system in polyhedral domains will be described. The talk is based on joint works with M. Costabel (Rennes), M. Dauge (Rennes) and J. Tomezyk (Valenciennes).

Dans cette présentation, nous nous intéressons à  des questions d’invisibilité et de réflexion totale dans des guides d’ondes acoustiques à  section transverse bornée. Plus précisément, nous présentons deux approches permettant de construire des géométries pour lesquelles les coefficients de réflexion ou de transmission sont nuls à  fréquence donnée. Puis, dans un second temps, nous proposons une méthode spectrale, basée sur des techniques de dilatation analytique, pour déterminer, à  géométrie donnée, les fréquences pour lesquelles le guide est non-réflexif.

Il s’agit d’un travail sur une classe d’opérateurs de Schroedinger non-autoadjoints qui sont perturbation d’un opérateur modèle vérifiant certaine hypothèse de coercivité à  poids. On y voit en particulier la contribution de résonances positives au comportement en grands temps de la solution

The focus of this talk will be on the explanation of various mathematical concepts which go under the name of resonance and how they are related. Towards the end, I will give a non-technical survey of some recent results.

I will present the Palindromic Discontinuous Galerkin (PDG) method. The PDG method is a general implicit (but matrix-free) high order method for approximating systems of conservation laws. It relies on a kinetic interpretation of the conservation laws containing stiff relaxation terms. The kinetic system is approximated with an asymptotic-preserving high order DG method. I will also describe the parallel implementation of the method, based on the StarPU runtime library, and some applications to fluid mechanics and plasma physics

Let $Ngeq 2$ and $Omegasubseteq mathbb{R}^N$ denote a domain containing the origin $0$. In this talk, we present recent gradient estimates for the positive solutions $uin C^2(Omegasetminus{0})$ of nonlinear elliptic equations such as $$ {rm div} (|x|^{sigma}|nabla u|^{p-2} nabla u)= |x|^{-tau} u^q |nabla u|^m quad mathrm{in } Omega setminus { 0 }. $$ We assume throughout that $m,p,q,sigma$ and $tau$ are real parameters satisfying $p in ]1,N+sigma]$ and $min{k,ell,m,q}in ]0,+infty[$, where $k:=m+q-p+1$ and $ell:=q+1-sigma-tau $. This is joint work with Joshua Ching (The University of Sydney).

In this talk, we shall present some homogenization results, obtained via the periodic unfolding method, for thermal diffusion problems in a highly heterogeneous periodic composite material formed by two constituents, separated by an imperfect interface where the temperature and the flux exhibit jumps. Depending on the geometry of the composite medium, on the properties of its two constituents and on the magnitude of the jump of the solution and of the flux across the imperfect interface, various types of problems arise at the macroscale. These problems capture in various ways the influence of the jumps: in the effective coefficients, in the right-hand side of the homogenized problem, and in the correctors, as well. Joint work with Renata Bunoiu (Université de Lorraine – Metz, France)

We consider a domain which has the form of a brush in 3D or the form of a comb in 2D, i.e. an open set which is composed of cylindrical vertical teeth distributed over a fixed basis. All the teeth have a similar fixed height; their cross sections can vary from one teeth to another one and are not supposed to be smooth; moreover the teeth can be adjacent, i.e. they can share parts of their boundaries. The diameter of every tooth is supposed to be less than or equal to epsilon, and the asymptotic volume fraction of the teeth (as epsilon tends to zero) is supposed to be bounded from below away from zero, but no periodicity is assumed on the distribution of the teeth. In this domain we study the asymptotic behavior, as epsilon tends to zero, of the solution of a second order elliptic equation with a zeroth order term which is bounded from below away from zero, when the homogeneous Neumann boundary condition is imposed on the whole of the boundary. First, we revisit the problem where the source term belongs to L2. This is a classical problem, but our homogenization result takes place in a geometry which is more general that the ones which have been considered before. Moreover we prove a corrector result which is new. Then, we study the case where the source term belongs to L1. Working in the framework of renormalized solutions and introducing a definition of renormalized solutions for degenerate elliptic equations where only the vertical derivative is involved (such a definition is new), we identify the limit problem and prove a corrector result. This is joint work with Olivier Guibé (Université de Rouen, France) and Francois Murat (CNRS, Université Pierre et Marie Curie, Paris VI, France).

Nous présenterons divers résultats concernant la modélisation probabiliste de phénomènes de diffusion dans des milieux comportant des interfaces (barrières perméables et semi-perméables par exemple) qui peuvent être dues à des discontinuités de la diffusivité. Bien que les processus de diffusion s’interprètent naturellement comme des particules qui se déplacent aléatoirement dans le milieu, les interfaces présentent des difficultés de modélisation. Nous finirons par quelques méthodes probabilistes de type Monte Carlo spécifiques à ces problèmes ainsi que les problèmes encore ouverts.

On considère des matériaux électromagnétiques qui sont tels que, dans une certaine gamme de fréquences, la permittivité diélectrique a une partie imaginaire faible et une partie réelle négative. Ceci se produit par exemple dans les métaux tels que l’argent, aux fréquences optiques. Pour de tels matériaux, les coins sont le lieu de phénomènes singuliers très surprenants. En particulier, une partie de l’énergie des ondes peut être capturée par le coin, donnant lieu à un phénomène dit de trou noir. Dans cette présentation, nous proposons une analyse mathématique de ce phénomène dans le cas bidimensionnel, reposant sur une description détaillée des singularités de coins pour l’équation de Helmholtz avec des coefficients changeant de signe. Nous montrons que ces équations peuvent être mal posées dans le cadre fonctionnel usuel, puis nous proposons et justifions un nouveau cadre, incluant des fonctions singulières hyper-oscillantes, dans lequel le caractère bien posé peut être rétabli. Sur le plan numérique, nous nous intéressons à l’approximation de la solution par éléments finis. Dans les configurations sans phénomène de trou noir, nous montrons qu’il suffit d’imposer certaines règles de maillage au voisinage des coins pour assurer la convergence de la méthode. En revanche, ceci n’est pas suffisant en présence d’ondes de trou noir hyper-oscillantes. La solution que nous avons trouvée est alors d’utiliser des PML (Perfectly Matched Layers) au voisinage des coins. Ces approches sont validées par différents résultats numériques.

On s’intéresse à la question de prolongement unique suivante : l’observation de l’intensité d’une onde sur un petit sous-domaine pendant un intervalle de temps détermine t-elle l’énergie totale de l’onde ? Résolu dans un cadre analytique par le célèbre théorème de Holmgren-John (1949), ce problème resta ouvert dans le cadre général jusqu’aux travaux de Tataru-Robbiano-Zuily-Hörmander (1995-1998). Dans cet exposé, on donnera l’estimée de stabilité optimale associée à ces résultats. Ce faisant, on répondra aussi à la question suivante : quelle est l’intensité de l’onde que l’on perçoit dans l’ombre d’un obstacle ? On en déduira enfin le coût de la contrôlabilité approchée de l’équation des ondes, c’est à dire, la taille d’un contrôle qui, agissant localement sur l’onde, peut amener l’état dans un epsilon voisinage d’une cible fixée. Il s’agit un travail en collaboration avec Camille Laurent.

Dans cet exposé, nous étudierons une classe de systèmes d’équations de Schrödinger couplées dans $R^n$ tout entier. Je discuterai une notion de solutions d’énergie finie pour ces systèmes et je présenterai des résultats d’estimation a priori et de symétrie sur ces solutions.

This talk deals with the control and regulation by integral controllers for the nonlinear systems governed by scalar quasi-linear hyperbolic partial differential equations. Both the control input and the measured output are located on the boundary. The closed-loop stabilization of the linearized model with the designed integral controller is proved first by using the method of spectral analysis and then by the Lyapunov direct method. Based on the elaborated Lyapunov function we prove local exponential stability of the nonlinear closed-loop system with the same controller. The output regulation to the set-point with zero static error by the integral controller is shown upon the nonlinear system.

Le problème de la restauration/complétion d’images (images inpainting) est un problème classique d’analyse et traitement d’images. Il consiste à Â  chercher à Â  restaurer une image dont une partie est endommagée ou perdue de manière « raisonnable » et « satisfaisante ». Il existe une multitude de méhodes pour répondre au problème, parmi lesquelles, les méthodes variationnelles des EDPs qui ont rencontré un franc succès essentiellement dans la restauration de la géométrie (par opposition aux textures). Une difficulté centrale dans ce domaine et de restaurer des arêtes, des coins (ensembles singuliers) et de respecter les courbures. Difficulté qui ne peut s’exprimer qu’à  l’aide de modèles (fortement) nonlinéaires. L’exposé traitera de ces méthodes basées sur les EDPs et montrera que des modèles simples (linéaires) construits de manière adaptative permettent de traiter cette difficulté et d’obtenir, au sens de la Gamma-convergence, des modèles sophistiqués « mesurant » ces ensembles singuliers.

L’équation d’Euler à surface libre régit la dynamique de l’interface séparant l’air d’un fluide parfait incompressible. Cet exposé concerne l’étude de la contrôlabilité et de la stabilisation de cette équation. Le but est de comprendre la génération ainsi que l’amortissement des vagues dans un bassin à houle. Ces deux probl èmes seront abordés par des méthodes différentes : analyse microlocale pour la contrôlabilité, et étude de quantités globales pour la stabilisation (méthode des multiplicateurs, identité de Pohozaev, formulations hamiltonienne et lagrangienne des équations, lois de conservation, etc.).

Dans la première partie de l’exposé, je présenterai différents problèmes inverses auxquels je me suis intéressé ces dernières années et les contextes applicatifs associés : reconstruction d’images en tomographie, analyse d’images biologiques et d’images hyperspectrales en microscopie, problèmes d’inversion de données en spectroscopie optique avec applications biomédicales. Lorsque les données disponibles sont en nombre limité et partiellement informatives sur la quantité à estimer (problèmes inverses mal posés), la prise en compte d’informations a priori sur les inconnues est indispensable, et s’effectue par le biais des techniques de régularisation. Dans la seconde partie de l’exposé, je présenterai plus particulièrement la régularisation parcimonieuse de problèmes inverses, basée sur la minimisation de la « norme » l0. Les algorithmes heuristiques proposés sont conçus pour minimiser des critères mixtes L2-L0 du type $$min_x J(x;lambda) = || y – Ax ||_2^2 + lambda || x ||_0.$$ Ce problème d’optimisation est connu pour être fortement non-convexe et NP-difficile. Les heuristiques proposées (appelées algorithmes « gloutons ») sont définies en tant qu’extensions d’Orthogonal Least Squares (OLS). Leur développement est motivé par le très bon comportement empirique d’OLS et de ses versions dérivées lorsque la matrice A est mal conditionnée. Je présenterai deux types d’algorithmes pour minimiser $J(x;lambda)$ à $lambda$ fixé et pour un continuum de valeurs de $lambda$. Finalement, je présenterai quelques résultats théoriques visant à garantir que les algorithmes gloutons permettent de reconstruire exactement le support d’une représentation parcimonieuse $y = Ax^*$, c’est-à-dire le support du vecteur $x^*$.

Dans ce travail, nous étudions un problàƒÂ¨me de collision entre un solide rigide immergé et la paroi de la cavité dans laquelle il se trouve. Nous sommes amenés àƒÂ  considérer le comportement asymptotique de la solution d’un problàƒÂ¨me de Neumann (et de l’énergie de Dirichlet associée) lorsque le domaine devient singulier (apparition d’un point de rebroussement). Conformément àƒÂ  l’intuition que l’on peut avoir, le comportement diffàƒÂ¨re suivant le profil du solide (plus ou moins « aplati » au niveau du point de contact).

Résumé à  préciser

Dans cet exposé je vous présenterai des résultats récents, en collaboration avec G. Dal Maso, concernant un problème de propagation dynamique de fractures. Dans le cas anti-plan, lorsque la fissure croît sur une variété prescrite et régulière, on démontre existence, unicité, et dépendance continue par rapport aux données de la fonction déplacement.