Je décrirai des résultats récents sur des versions nonlocales d’une conjecture célèbre de De Giorgi sur la régularité des ensembles de niveau de solutions d’équations elliptiques. Dans un premier temps, on s’intéresse au laplacien fractionnaire puis je décrirai le cas d’opérateurs plus généraux pour lesquels une extension a la Caffarelli-Silvestre n’est pas disponible. 

Nous présenterons un code de calcul robuste, efficace et avec un excellent passage à  l’échelle : G.P.S. (Gross-Pitaevskii Solver). GPS est un code qui peut aussi bien calculer des solutions stationnaire ou dépendantes du temps à  l’équation Gross-Pitaevskii, et permet ainsi d’étudier soit les condensats de Bose-Einstein (BEC), ou bien de la « turbulence superfluide » par exemple, ces phénomènes étant parmi les plus étudiés de la physique quantique. Afin d’obtenir des solutions les plus précises possibles, nous utilisons des schémas quasi spectraux pour la discrétisation des opérateurs différentiels. Dans le but de pouvoir utiliser aussi bien la machine de bureau la plus simple, que le supercalculateur le plus puissant du monde, nous avons implémenté deux schémas de communication MPI, ainsi qu’une programmation hybride à  l’aide de la librairie OpenMP. L’addition de schémas de très haute précision et la possibilité de pouvoir utiliser un raffinement de maillage très fin (jusqu’à  2048^3), nous permet de pouvoir reproduire des résultats expérimentaux avec une précision très satisfaisante.

Partant du XIXè problème de Hilbert sur l’analyticité des minimiseurs de fonctionnelles convexes, je présenterai des résultats de classification des solutions de l’équation de Lane-Emden, posée sur une bande ou sur un cône.

Nous présenterons la philosophie du calcul paracontrollé, introduit récemment par Gubinelli, Imkeller et Perkowski. Celui-ci peut être pensé comme une amélioration du calcul pseudo-différentiel, pour suivre l’intéraction d’une singularité. Nous verrons comment cela peut être utilisé pour l’étude d’EDPs singulières (stochastiques), dont le prototype est le modèle gPAM (generalized Parabolic Anderson Model). Puis, on expliquera comment on peut se soustraire du cadre Euclidien et définir un calcul paracontrollé dans un cadre métrique-mesuré associé à  un semigroupe d’opérateurs.

On considère l’équation de Schrödinger non-linéaire sur un domaine borné en dimension deux. On montre comment on peut utiliser les polynômes de Laguerre et de Hermite pour renormaliser la non-linéarité (renormalisation de Wick). Ensuite, grâce à  des méthodes de compacité, on construit des solutions globales à  NLS sur le support de la mesure. Ceci et un travail en commun avec Tadahiro Oh (Edimbourg).

La théorie des perturbations des opérateurs linéaires a été introduite par Rayleigh dans les années 1870, et a été utilisée pour la première fois en mécanique quantique dans un article publié par Schrödinger en 1926. L’étude mathématique des perturbations d’opérateurs auto-adjoints a été amorcée par Rellich en 1937, et a fait depuis lors l’objet de très nombreuses publications. La théorie des perturbations des problèmes aux valeurs propres non linéaires joue un rôle important en physique et chimie quantique, o๠elle est utilisée en particulier pour calculer la réponse d’une molécule ou d’un matériau à  un champ électro-magnétique extérieur (polarisabilité, hyperpolarisabilités, susceptibilité magnétique, rotation optique, résonance magnétique, …) dans le cadre de modèles de champ moyen. Dans cet exposé, je rappellerai les bases mathématiques de la théorie des perturbations des opérateurs linéaires, je présenterai quelques résultats théoriques récents relatifs aux perturbations des problèmes aux valeurs propres non linéaires et je montrerai que cette approche peut être utilisée pour accélérer les simulations numériques.

Résumé

Les modèles d’interaction fluide-structure présentés dans cet exposé écrivent le mouvement par auto-propulsion d’une structure déformable immergée dans un fluide. Les équations du fluide (Navier-Stokes, Stokes) sont couplées avec la dynamique du solide qui est soumis à  des déformations imposées. Pour les équations de Navier-Stokes incompressibles, une éthode des caractéristiques a été développée pour traiter numériquement les termes inertiels tout en tenant compte de la présence de la structure déformable. Dans le cas d’un faible nombre de Reynolds, on présentera un problème de contrôle optimal dans lequel on cherche la déformation optimale qu’il faut appliquer à  une sphère pour l’amener en un temps minimal d’un point donné à  un autre dans un fluide de Stokes. On construira en particulier des solutions optimales explicites pour un problème linéarisé

Résumé

The Hartree equation is an important example of nonlinear Schrödinger evolution. It can be derived as the mean field limit of a system of many non-relativistic bosons with pair interaction. Such a limit is now well understood for a wide class of interaction potentials and initial quantum configurations. The model has many physical applications, e.g. in studying Bose-Einstein condensation. It is thus important to have a control of the rate of convergence towards the limiting dynamics, for it would give a quantification of the error caused by the approximation of many particles with an infinite number of them. In this talk I will present a recent result, obtained with Z. Ammari and B. Pawilowski, where we provide bounds for the rate of convergence towards the Hartree dynamics for generic many-body initial quantum states.

Résumé

Résumé

We will talk about necessary and sufficient conditions for an entire solution $u$ of a biharmonic equation with exponential nonlinearity $e^u$ to be a radially symmetric solution. We need to know the asymptotic expansions of the solution $u$ and its laplacian at infinity in order to apply the standard Moving-Plane-Method (MPM) for obtaining the radial symmetry for a system of equations.

Plan de l’exposé : 1/ Introduction (historique,origine des équations et comparaison avec équations de Navier-Stokes incompressibles). 2/ Position du problème (Estimations de l’énergie anisotropiques).

This lecture is devoted to address the problem of controlling uncertain systems submitted to parametrized perturbations. We introduce the notion of averaged control according to which the average of the states with respect to the uncertainty parameter is the quantity of interest. We observe that this property is equivalent to a suitable averaged observability one according to which the initial datum of the uncertain dynamics is to be determined by means of averages of the observations done. We will first discuss this property in the context of finite-dimensional systems to later consider Partial Differential Equations, mainly, of wave and parabolic nature. As we shall see, surprisingly, the averaging process with respect to the unknown parameter may lead a change of type ion the PDE under consideration from hyperbolic to parabolic, for instance, significantly affecting the expected control theoretical properties. We will also present some open problems and perspectives of future developments.

Résoudre numériquement une EDP sur un grand domaine peut être couteux. Or parfois il est suffisant d’utiliser un modèle moins couteux dans une région de l’espace, loin de la zone d’interet. Pour le problème modèle de l’équation d’advection-diffusion nous proposons un algorithme de décomposition de domaine hétérogène qui permet d’obtenir une solution très proche de la solution visqueuse alors que dans une région de l’espace on se contente de résoudre une équation non visqueuse. Nous étudions cet algorithme et nous le comparons avec d’autres algorithmes de décomposition de domaine hétérogènes déjà  existants. Ceci est un travail en commun avec M.J. Gander et L. Halpern.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux solutions radiales d’un modèle de chimiotaxie dans une boule, plus précisément à  un système parabolique-elliptique de type Keller-Segel avec sensitivité non-linéaire critique. Celui-ci est une généralisation du cas « linéaire » bien connu qui admet 8 pi comme masse critique. En dimension plus grande que deux, on verra que le système présente aussi un phénomène de masse critique mais avec de fortes différences qualitatives, notamment dans le cas de la masse critique. De plus, ce système peut être vu comme un flot gradient sur une « variété Riemannienne de dimension infinie ». Dans le cas sous-critique, en s’aidant de cette interprétation, on peut montrer que la convergence uniforme vers l’unique solution stationnaire a lieu à  vitesse exponentielle.

In this work, we consider two coupled abstract linear evolution equations with one infinite memory acting on the first equation. Under a boundedness condition on the past history data, we prove that the stability of our abstract system holds for convolution kernels having much weak decays than the exponential one considered in the literature. The general and precise decay estimate of solution we obtain depends on the growth of the convolution kernel at infinity and the regularity of the initial data. We also present various applications to some hyperbolic distributed coupled systems such as wave-wave, Petrovsky-Petrovsky, wave-Petrovsky and elasticity-elasticity.

The talk will be on the discretization of Navier-Stokes equations to simulate the dynamic of a fluid, a mesh adaptivity technique to capture multiple-shocks based on shock-filtering model will be presented. The talk will finish with some industrial applications.

Je présenterai un problème d’homogénéisation avec inclusions qui m’a conduit à  trouver des inégalités de Korn unilatérales utilisant la partie positive de la composante normale (et pour les domaines invariants par rotation une partie de la composante tangentielle). Je montrerai comment les établir simplement, et en même temps toute une série d’inégalités de Korn.