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Geometric methods in computational complexity

The minimal model program has proven to be a powerful way to study the geometry of varieties, and recent years have shown that the insights of the minimal model program can be applied to the study of foliations.  I will explain some recent work on the existence of minimal models for foliations, especially in the case

Au cœur du programme de Langlands se trouve l’étude des représentations des groupes $p$-adiques. Un objet particulièrement intéressant pour étudier ces dernières est l’immeuble de Bruhat-Tits. Dans cet exposé, nous étudierons le lien qui existe entre les représentations d’un groupe $p$-adique et les cofaisceaux sur l’immeuble de Bruhat-Tits. En particulier, les méthodes mise en place sont valable pour les représentations $\ell$-modulaires. Nous verrons également, comment obtenir des décompositions de la catégorie des représentations $\ell$-modulaires d’un groupe $p$-adique à l’aide de systèmes d’idempotents associés à l’immeuble de Bruhat-Tits.

Dans cet exposé je présente certaines méthodes développées au cours de ma thèse. Le problème est le suivant : soient $k$ un corps (algébriquement clos) et $G$ un $k$-groupe réductif. Notons $\mathfrak{g}$ son algèbre de Lie. Si $k$ est de caractéristique nulle, l’existence de l’exponentielle permet d’intégrer toute sous-algèbre de Lie nilpotente $\mathfrak{u}\subseteq\mathfrak{g}$ en un sous-groupe unipotent lisse et connexe U⊆G tel que $Lie(U)$= $\mathfrak{u}$. Si maintenant $k$ est de caractéristique $p >0$ l’exponentielle d’éléments nilpotents de $\mathfrak{g}$ n’est plus toujours bien définie et il n’est plus a priori possible d’intégrer une sous-algèbre de Lie nilpotente arbitraire de $\mathfrak{g}$.Nous nous intéresserons ici à l’intégration des $p$-sous-algèbres restreintes $p$-nil de $\mathfrak{g}$ (à savoir les bons analogues en caractéristique $p>0$ des sous-algèbres de Lie nilpotentes de $\mathfrak{g}$). Après avoir présenté les travaux de J-P. Serre et ceux, plus récents, de P. Deligne, V. Balaji et A. J.Parameswaran qui assurent une intégration systématique de tels objets pour une borne “raisonnable” sur $\mathfrak{p}$, nous discuterons le cas plus complexe des petites caractéristiques. J’expliquerai notamment comment ma généralisation d’un théorème de P. Deligne permet l’intégration decertaines sous-algèbres de Lie $p$-nil (maximales pour un certain critère) de $\mathfrak{g}$.

Nous allons nous intéresser aux espaces métriques injectifs, où toute famille de boules s’intersectant deux à deux s’intersecte globalement, ainsi qu’à leur contrepartie discrète que sont les graphes de Helly. L’étude des actions de groupes sur de tels espaces permet d’en déduire de nombreuses propriétés typiques de la courbure négative. Nous montrerons que les espaces symétriques classiques peuvent être munis d’une métrique injective, tandis que les immeubles de Bruhat-Tits classiques peuvent être munis d’une structure de graphe de Helly.

En utilisant la torsion analytique, Bershadsky, Cecotti, Ooguri et Vafa ont défini un invariant à valeurs réelles, appelé l’invariant de BCOV, pour les variétés de Calabi-Yau. L’invariant de BCOV est conjecturalement le miroir dans le B-modèle de l’invariant de Gromov-Witten de genre 1. Après une introduction à cet invariant, je vais présenter la démonstration récente de la conjecture de Fang-Lu-Yoshikawa, qui dit que deux variétés de Calabi-Yau birationnellement isomorphes ont le même invariant de BCOV. Si le temps le permet, j’expliquerai une généralisation de la définition des invariants de BCOV pour les variétés de Calabi-Yau singulières, ainsi que son invariance birationnelle.  Il s’agit d’un travail commun avec Yeping Zhang (arXiv: 2007.04835).

Après avoir introduit le groupe de Cremona j’expliquerai comment on peut étudier ses sous-groupes résolubles et les plongements du groupe de Heisenberg dans celui-ci.

Dans un espace projectif complexe, le nombre des points (sans compter la multiplicité) de l’intersection d’une courbe algébrique et d’une hypersurface générique est le produit de leur degré. J’explique comment obtenir un énoncé analogue pour des courbes holomorphes entières.

Les catégories de Fukaya sont des catégories A_infini dont les objets sont les sous-variétés lagrangiennes d’une variété symplectique ; trouver un système générateur pour celles-ci permet d’extraire de l’information fine sur la topologie de ces sous-variétés lagrangiennes. Dans cet exposé j’introduirai les notions de base du sujet (sous-variétés lagrangiennes, catégories A-infini, systèmes générateurs …) dans le cadre des variétés de Weinstein (qui contient le cas des fibrés cotangents). Je décrirai ensuite un système de générateurs dans ce contexte et expliquerai comment celui-ci peut-être utilisé pour permettre des calculs explicites d’invariants des sous-variétés lagrangiennes afin d’étudier leur topologie. C’est une combinaison de divers travaux dont certains en collaboration avec G. Dimitroglou-Rizell, P. Ghiggini et R. Golovko.

Je donnerai une présentation détaillée des revêtements doubles des espaces projectifs, et en particulier des systèmes
linéaires $|kL|$ obtenus en tirant-en-arrière la classe d’équivalence linéaire des hypersurfaces de degré $k$ de l’espace projectif. J’examinerai avec une attention particulière les doubles plans sextiques, qui sont des surfaces K3 de genre 2, dans le but de décrire les extensions des courbes canoniques obtenues par le système $|kL|$. On rappelle qu’une extension de X plongée dans $P^N$ est $Y$ dans $P^{N+1}$ qui a $X$ comme section hyperplane.