The lecture addresses time‑dependent convection–diffusion problems with high Péclet number in thin 3D graph‑like networks of curvilinear cylinders connected by nodes of diameter $\mathcal{O}(\varepsilon).$ Inhomogeneous Robin boundary conditions with different intensity factors are imposed on the network boundary. As $\varepsilon \rightarrow 0,$ the network collapses to a graph and the diffusion terms vanish.

Such problems pose singular‑perturbation challenges that standard methods often cannot resolve. I present a systematic asymptotic framework for $\varepsilon \rightarrow 0,$ combining regular expansions on edges with node‑layer and boundary‑layer asymptotics to capture the multiscale flow structure. The analysis justifies reduced graph models, quantifies higher‑order corrections, and uncovers new phenomena in singular regimes.

Le succès de la chimiothérapie dépend à la fois de la stratégie d’administration du médicament et de sa capacité à éliminer les cellules cancéreuses tout en préservant autant que possible les tissus sains. Dans cette présentation, nous nous intéresserons à un problème de contrôle optimal avec des contraintes d’état appliqué à la chimiothérapie des tumeurs invasives, où la dose de médicament agit comme variable de contrôle. Étant donné que le traitement affecte à la fois les cellules tumorales et les tissus sains, l’objectif du
problème de contrôle est de réduire la densité tumorale en contrôlant la dose du médicament. Pour ce faire, nous modélisons l’action thérapeutique à l’aide d’une équation de réaction-diffusion non linéaire décrivant l’évolution d’une tumeur invasive sous traitement. Nous commençons par analyser mathématiquement le problème initial de valeur limite. Nous formulons ensuite le problème de contrôle optimal sous contraintes et en déduisons les conditions nécessaires à l’optimalité. Enfin, à l’aide de simulations numériques en 2D pour un cas de cancer du sein, nous illustrons l’importance des contraintes d’état dans les stratégies de traitement optimales, avant de conclure par quelques perspectives

Je vais présenter un problème d’optimisation à frontière libre analogue au problème de Alt-Caffarelli pour les fonctions biharmoniques. Ce problème apparaît dans différentes questions d’optimisation de forme, dont la minimisation de la trainée d’un obstacle dans un fluide sous contrainte de mesure, la minimisation de la première valeur propre de l’opérateur de Stokes (ou de flambage) dans les domaines du plan, etc.. On s’attend à ce que la frontière libre obtenue soit généralement une union de courbes lisses, pouvant se rejoindre avec un angle d’environ 1.43pi, et je présenterai plusieurs résultats allant dans ce sens.

C’est un travail en collaboration avec Jimmy Lamboley.

Résumé à venir

We consider the wave propagation in a periodic structure made of a honeycomb arrangement of thin tubes. We prove the presence of Dirac points (in the dispersion surfaces of the associated operator). In addition, cutting the structure in the Zig Zag direction creates guides modes. Those results are proved by asymtptotic analysis: as the width of the tubes goes to zeros the domain tends to a graph (where explicite computations can be done). This is a joint work with Sonia Fliss (POEMS, Inria-ENSTA-CNRS).

I will present some recent work in collaboration with Elisa Davoli (TU Wien) and Katerina Nik (University of Vienna) on a three-dimensional quasistatic morpholelastic model. The mechanical response of the body and its growth are modeled by the interplay of hyperelastic energy minimization and growth dynamics. An existence result is obtained by regularization and time-discretization, also taking advantage of an exponential-update scheme. Then, we allow the growth dynamics to depend on an additional scalar field modeling nutrient concentration, and formulate an optimal control problem. Eventually, we tackle the existence of coupled morphoelastic and nutrient solutions, when the latter is allowed to diffuse and interact with the growing body.

On présente d’abord les notions de base et quelques résultats connus sur les plongements isométriques de régularité faible des variétés riemanniennes dans les espaces euclidiennes en basse dimension, sur leurs deux versants de flexibilité (h-principe) et rigidité, dont quelques résultats récents. En particulier, on note que Borisov, et le suivant, Conti-De Lellis et Székelyhidi, ont démontré la convexité de l’image d’un tel plongement dans ${\mathbb R}^3$ d’une surface sans bord si sa métrique est régulière de classe $C^{2,\beta}$, la courbure est positive, et le plongement est de classe $C^{1,\alpha}$ pour $\alpha>2/3$. On discute la généralisation de ce résultat au cas où la métrique est seulement de classe $C^{1,\alpha}$ et la courbure au sens distributionnel est seulement non-négative. Pour établir cette généralisation, une nouvelle approche moyennant l’étude de l’équation de Monge-Ampère au sens très faible devient nécessaire.

In this talk I will provide an overview on the problem of controllability of parameter dependent systems. I will explore different control notions successfully developed through the last decade.
The aim of the control function is to steer the system to a state satisfying some properties prescribed either at some time instant T>0 or during a given time interval. These properties may be separated with respect to parameter values and can refer just to a single system itself (e.g. greedy control), or may consider solutions corresponding to the whole parameter range (e.g. ensemble control, averaged control). In the latter case control functions are designed as parameter invariant, implying a same control is to be applied to the system independently of a particular realization of the parameter, while in the first case controls vary along with the parameter. Beside the positive theoretical results, for each notion we provide a computational algorithm.

On s’intéresse à un problème de contrôle approché de l’équation de la chaleur par des “formes” : à l’aide d’un terme source donné par la fonction caractéristique d’un ensemble (variable dans le temps, de mesure uniformément bornée), on cherche à emmener la solution près d’un état final donné.

Ces contrôles très particuliers peuvent être vus comme des points extrémaux d’un certain ensemble convexe : or beaucoup de problèmes de contrôle optimal (et d’optimisation en général) ont pour minimiseurs (ou maximiseurs) des points extrémaux. Pour trouver le “bon” problème d’optimisation, on combine la dualité de Fenchel-Rockafellar, qui associe à un problème d’optimisation (dit primal) un problème dit dual, et le principe “de la baignoire”, qui concerne la maximisation sous contraintes d’un produit scalaire. Les contrôles optimaux associés à ce “bon” problème ont alors de bonnes chances d’être des formes, et de répondre ainsi à la question initiale.

La méthode de preuve permet d’étudier plus généralement la question du contrôle d’EDP avec des contraintes sur le contrainte, notamment le phénomène dit “bang-bang” : en dimension finie, il a été souvent observé que les contrôles optimaux (notamment les contrôles en temps minimal) saturent les contraintes qui leur sont imposées, et ont donc une forme plus simple (par exemple, une fonction constante par morceaux en temps). Le phénomène apparaît également en dimension infinie et nous verrons comment l’approche développée pour l’équation de la chaleur permet de l’étudier.

On considère des modèles de théorie quantique des champs décrivant l’évolution d’une particule non-relativiste couplée à un champ quantifié. L’énergie d’un tel système est associée à un opérateur auto-adjoint, un hamiltonien, agissant sur un espace de Hilbert approprié. Dans cet exposé, nous nous intéressons à la minimisation de l’énergie quasi-classique de ce système, c’est-à-dire l’énergie lorsque le champ se trouve dans un état cohérent. Les minimiseurs d’une telle énergie sont appelés états fondamentaux quasi-classiques. Nous verrons que le problème de minimisation peut se réduire à la minimisation d’une fonctionnelle de Hartree, ou d’un système couplé Maxwell-Schrödinger, selon le modèle considéré. Nous montrerons l’existence et l’unicité d’un état fondamental quasi-classique pour ces modèles. Enfin, nous verrons que ces états permettent de décomposer l’énergie fondamentale du modèle en deux parties : une quasi-classique, calculée lors de la minimisation sur les états cohérents, et une autre correspondant à la contribution des états excités.