On considère une question étroitement liée à  une conjecture de Gromov: A quel seuil de régularité les immersions isométriques des domaines de $mathbb R^2$ dans $mathbb R^3$ sont développables? On cherche la réponse dans les régimes de Hölder $C^{1,s}$ ou plus généralement de Sobolev fractionnel $W^{1+s, p}$. Des bornes supérieures pour la valeur de seuil de $s$ sont classiquement obtenues par la méthode de l’integration convexe. Pour trouver les bornes inférieures, on définit une seconde forme fondamentale pour l’isométrie en question et on démontre qu’elle est une solution faible du système d’EDP de Gauss-Codazzi si $s>2/3$. L’analyse menant à  une démonstration de cette rigidité passe alors à  une discussion des solutions non-convexes et très faibles de l’équation de Monge-Ampère, et aux problèmes liés au déterminant de jacobien distributionnel.

We consider a nonlinear reaction–diffusion equation in a domain consisting of two bulk regions connected via small channels periodically distributed within a thin layer. The height and the thickness of the channels are of order $epsilon$, and the equation inside the layer depends on the parameter $epsilon$. We consider the critical scaling of the diffusion coefficients in the channels and nonlinear Neumann-boundary condition on the channels’ lateral boundaries. We derive effective models in the limit $epsilon to 0 $, when the channel-domain is replaced by an interface $Sigma$ between the two bulk-domains. Due to the critical size of the diffusion coefficients, we obtain jumps for the solution and its normal fluxes across $Sigma$, involving the solutions of local cell problems on the reference channel in every point of the interface $Sigma$. This is a joint work with Markus Gahn (University of Heidelberg)

Durant les 40 dernières années, des efforts considérables ont été consacrées à  l’étude des systèmes de réaction-diffusion avec des données initiales bornées ou de carré intégrable, et avec des non-linéarités au plus quadratiques. En revanche, on en sait relativement peu dans le cas o๠les données initiales sont de faible régularité et les non-linéarités sont à  croissance super-quadratique. Dans cet exposé, nous présentons une nouvelle estimation a priori avec des données initiales dans L1 qui étend l’estimation a priori L2 de Michel Pierre. Ensuite, nous expliquons comment cette estimation a priori L1 nous permet : de simplifier la preuve de certains résultats récents ; d’établir de nouveaux résultats d’existence pour des systèmes o๠les non-linéarités sont super-quadratiques. L’exposé repose sur un travail récent avec Benoit Perthame et sur un papier avec Michel Pierre.

Cet expose sera une introduction aux quelques résultats basiques pour les équations aux dérivées partielles sur domaine polyédrique. Par exemple, il est bien connu due aux travaux de Costabel, Dauge, Kondratiev, Mazya, Nicaise et d’autres que les solutions des équations elliptiques sur domaines non lisses souffrent d’une “perte de régularité.” Une question naturelle est qu’est-ce qu’on peut faire pour soulager ce problème, qui cause des ennuis pour les méthodes numériques. Les résultats que je vais exposer aident à  résoudre certains aspects de ce problème. L’exposé sera assez informel et basique.

My talk will be devoted to the qualitative properties of some nonlocal reaction-diffusion equations set on “perforated” open sets. One of the cornerstones in the study of this type of problem lies in suitable rigidity results of Liouville-type, which allow the classification of stationary solutions. I will give some results in this direction, under some geometric assumptions on the domain. This talk is based on some joint works with J. Coville, F. Hamel and E. Valdinoci.

I will present some recent results obtained in collaboration with Roberto Feola. I shall prove that small solutions of quasilinear equations on the circle exist for long time (depending on the size of the initial condition) if the equation enjoys an algebraic structure. In this directions I will consider the Hamiltonian or reversible equations. The main difficulties are the lack of dispersion, due to the compactness of the circle, and the lack of “easy” energy estimates due to the quasi-linear nature the considered equations.

Dans ce travail, on s’intéresse à  des configurations optimales de ressources (typiquement des denrées alimentaires) nécessaires à  la survie d’une espèce, dans un espace fermé. A cette fin, nous utilisons un modèle dit logistique pour décrire l’évolution de la densité d’individus constituant cette population. Cette équation fait intervenir une fonction représentant la répartition hétérogène (en espace) des ressources. La question principale traitée dans cet exposé peut se formuler ainsi : comment répartir de façon optimale des ressources dans un habitat ? Cette question peut se reformuler comme un problème de contrôle optimal ou d’optimisation de forme, dans lequel on cherche à  optimiser un critère mettant en jeu la valeur propre principale d’un opérateur par rapport au domaine occupé par les ressources ou encore une fonction de la densité de population dépendant implicitement d’un terme de ressources. Nous présenterons dans cet exposé de nouveaux résultats complétant une analyse ancienne de ces problèmes, ainsi que de nombreuses propriétés qualitatives.

We are used to self-adjoint Schrödinger operators with real potentials. In my talk I will try to convince you that the theory of 1 dimensional Schrödinger operators with complex potentials is very similar to the real case. For instance, the theory of their boundary value problem, formulas for their resolvents, etc. are essentially the same. The proofs are, however, often more difficult and one has to change the basic philosophy. For example, the concept of the self-adjointness should be replaced by the self-transposedness (called also the J-self-adjointness).

Dans cet exposé, on considère l’équation des ondes amorties non-linéaires sur le tore de dimension 2, en présence d’un terme source stochastique donné par un bruit blanc espace-temps. On expliquera pourquoi la faible régularité du bruit impose de recourir à  une procédure de renormalisation afin d’obtenir une dynamique non triviale. Le cas d’une non-linéarité polynomiale est maintenant bien compris, et on se concentrera sur deux cas particuliers de non-linéarité non polynomiale donnés par le modèle de sine-Gordon et le modèle exp(Phi)_2 hyperbolique.