Complex geometry seminar

A fundamental result in Complex Geometry is the Kobayashi-Hitchin correspondence, stating that a holomorphic vector bundle on a Kähler manifold is poly-stable (as defined by Mumford, Takemoto) if and only if it admits a Hermitian metric solving the Hermite-Einstein equation. It has now become clear that there exist many possible different stability notions for vector bundles, that are of great interest in Algebraic Geometry and String Theory. It is natural to wonder if these stabilities are also tied to the existence of Hermitian metrics with special curvature properties. In this talk, based on joint work with Julien Keller (arXiv:2405.03312[math.DG]), we will consider a class of “polynomial” equations for the curvature of rank 2 holomorphic vector bundles on compact projective surfaces, and a corresponding class of polynomial stability conditions for these bundles. We will then explain how each of these stability conditions is related to the existence of a Hermitian metric satisfying the corresponding equation. This refines and partially confirms a conjectural correspondence between Bridgeland stability conditions and PDEs on holomorphic vector bundles, formulated by Dervan, McCarthy, and Sektnan.

Le but de cet exposé est d’introduire une question intéressante proposée par D. Rydh sur une version analytique de son théorème de type Luna qui dit qu’autour d’un point dont le stabilisateur est linéairement réductif, tout champ algébrique raisonnable est étale-localement équivalent à un champ de quotient. Après avoir formulé la version analytique, on la vérifie pour un (ou deux si le temps permet) espace(s) de modules classique(s): l’espace de Riemann (ou Teichmüller) de structures complexes, dont la version de champs analytiques a été récemment construite par L. Meersseman.

Title: Rigid currents and birational geometry

Abstract: Rigid currents are closed positive currents whose cohomology class contains only one closed positive current. This notion originates (probably) from complex dynamics and has sporadically occured in different contexts. I will survey some of these, and then show how rigid currents occur when one studies the Abundance conjecture in birational geometry. This is joint work with Zhixin Xie.

Une variété complexe est dite hyperbolique (au sens de Brody) si elle ne contient pas de courbe entière (non constante). Soit (X,D) est une paire logarithmique lisse, avec X une variété projective lisse et D un diviseur à croisements normaux. Le fibré cotangent logarithmique associé ne peut jamais être ample (on a un quotient trivial en restriction à chaque composante de D). On peut cependant montrer que si ce fibré est « le plus ample possible » (on dira qu’il est ample modulo D), alors le complémentaire X\D est hyperbolique. Plus généralement, on peut étudier la position des courbes entières via la positivité du cotangent logarithmique.

Dans cet exposé, on considérera le cas où D est un arrangement d’hyperplans en position générale dans Pⁿ. On montrera une condition géométrique sur la position des hyperplans pour que le cotangent logarithmique soit ample modulo D, en construisant explicitement des droites d’obstruction. En particulier, on verra que pour au moins 4n-2 hyperplans génériques, le cotangent logarithmique est ample modulo D.

Titre : Ordre de Bruhat affine et théorie de Kazhdan-Lusztig

La structure d’un groupe réductif (ou plus généralement de Kac-Moody) est largement controlée par son groupe de Weyl. En particulier, si G est un groupe de Kac-Moody et B un sous-groupe de Borel, la théorie de Kazhdan-Lusztig relie étroitement la géométrie de la variété de drapeaux G/B avec la structure de Coxeter de W.
Si l’on étudie G au dessus d’un corps discrètement valué, comme les corps p-adiques, on peut remplacer B par le groupe d’Iwahori I pour prendre en compte l’existence d’une valuation. Le groupe de Weyl doit être remplacé par une affinisation W^+. Lorsque G est un groupe réductif, W^+ est encore un groupe de Coxeter ce qui permet d’étendre la théorie de Kazhdan-Lusztig à la variété de drapeaux affines G/I. Ce n’est plus vrai si G est un groupe de Kac-Moody général, en particulier il n’y a pas d’ordre de Bruhat naturel sur W^+. Néanmoins en 2018, D. Muthiah et D. Orr ont pu définir une relation d’ordre et une longueur associée sur W^+ analogue aux ordres de Bruhat. Dans cet exposé, je présenterais plusieurs propriétés de cet ordre que nous avons obtenues avec Auguste Hébert et, si le temps le permet, j’expliquerais leur importance pour la construction d’une théorie de Kazhdan-Lusztig adaptée à ce cadre.

Cet exposé devrait être similaire au séminaire qui sera donné le 18 novembre au séminaire Bourbaki par Alexandre Afgoustidis.

Titre : Progrès récents sur les représentations supercuspidales

Résumé : Soit G un groupe réductif sur un corps local non-archimédien F. Pour les questions de classification des représentations lisses irréductibles de G, l’étude des représentations supercuspidales – celles dont les coefficients matriciels sont à support compact modulo le centre – est en quelque sorte le noyau dur. Les progrès dans cette étude ont été continus depuis cinquante ans. Dans des cas « modérés » où la caractéristique résiduelle de F est suffisamment grande relativement à G, on disposait depuis 2001 d’une construction fort générale de représentations supercuspidales, décrite par J-K. Yu sur la base de nombreux travaux antérieurs. Mais les avancées récentes ont rendu le tableau beaucoup plus complet et beaucoup plus clair. Par exemple, les travaux de J. Fintzen, T. Kaletha et L. Spice fournissent (dans le cas modéré) une classification des représentations supercuspidales, une formule explicite pour « presque tous » leurs caractères, ainsi qu’une correspondance de Langlands explicite pour les paquets entièrement supercuspidaux. Bien que les constructions s’appuient de façon cruciale sur les représentations de groupes finis et la géométrie des immeubles, les formules de caractère et la description des paquets de Langlands présentent des parallèles saisissants avec le cas des groupes réels.

The Shafarevich conjecture predicts the holomorphic convexity of complex projective varieties. It results in the existence of the Shafarevich morphism. In the last three decades, this conjecture has been extensively studied when considering cases where fundamental groups are subgroups of complex general linear groups. In this talk I will discuss some recent work on the construction of Shafarevich morphism for any linear representation $\rho:\pi_1(X)\to GL_N(K)$ where $X$ is any complex quasi-projective variety and $K$ is any field of positive characteristic. I will also explain the proof of the generalized Green-Griffiths-Lang conjecture for $X$ when $\rho$ is a big representation. This talk is based on a joint work with Yamanoi.