In a landmark paper, Scott Sheffield introduced a famous bijection, called the “hamburger-cheeseburger” bijection, to encode a certain model of random planar maps as a certain queue model in a kitchen selling hamburgers and cheeseburgers. Under this correspondence, natural geometric observables have a nice “burger” interpretation, for which Sheffield established scaling limit results. These scaling limits exhibit a phase transition in a special regime where the maps are believed to be “critical”. The goal of this talk is to present the analogue of these scaling limit results in the critical case, which can be thought of as the first convergence result of planar maps in the universality class of critical Liouville quantum gravity, in the so-called peanosphere sense. The talk is based on joint work with Xingjian Hu, Ellen Powell and Mo Dick Wong.

Many phenomena of interest in various applicative fields (epidemiology, neuroscience,…) can be idealized as interacting particle systems on random graphs. Various approaches have been proposed in recent years to develop tractable approximations of these dynamics that take the graph geometry and particle correlations into account. One of them, introduced by Lacker, Ramanan and Wu, focuses on dynamics on sparse graphs and their local limits. Analogously to mean-field models on complete and dense graphs, it is possible to establish so-called local-field equations on random trees that provide an autonomous description of the neighborhood of the root. In this talk, we will give a general overview of the local-field approach, as well as a recent result of quantitative propagation of chaos in this framework.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Date possible pour le colloquinte

La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique mot infini sur l’alphabet {1,2} qui commence par un “1” et est point fixe de l’opérateur de dérivation. En 1991, M.S. Keane conjecture que cette suite admet une fréquence d’1/2 pour la lettre “1”.

Les suites dites “auto-descriptives” sont une généralisation du mot d’Oldenburger-Kolakoski. Ces suites sont en bijection naturelle avec l’ensemble de toutes les suites sur l’alphabet {1,2} : une suite auto-descriptive est dite “dirigée” par son homologue naturelle sur {1,2}. Est-il possible d’inférer les fréquences de lettres de l’une à partir de l’autre ?

Je présenterai dans cet exposé deux approches à cette question : l’une probabiliste (Boisson, Jamet, Marcovici — 2024), l’autre analytique (Akiyama, Jamet, Marcovici, T.C. — 2024).

Many arguments in mathematics rely on the introduction of an auxiliary function that is compactly supported. Sometimes this compactly supported function is required to satisfy some additional regularity, but this cannot be pushed too far. It can for instance not be analytic as follows by the identity principle.

In this talk, we wish to present a technique that may bypass this obstruction. Namely, instead of considering a single function, we shall construct a sequence of function that are supported in the same compact, and satisfy some good uniform bounds on their derivatives.

This method is a powerful tool as it can, in some circumstances, turn a heuristic argument relying on a compactly supported analytic auxiliary function, into a rigorous proof. As an application, we shall discuss how this technique leads to improvements in some quantified Tauberian theorems.

We consider Kloosterman sums
$$
K_p(n) = \sum_{x=1}^{p-1} \exp(2 \pi i (nx + x^{-1})/p)
$$
modulo a prime $p$ and define their sums
$$
M_p(N) = \sum_{n \le N} \mu(n) \mathcal{K}_p(n) \qquad \mbox{and}\quad T_{\nu,p}(N) = \sum_{n \le N} \tau_\nu(n) \mathcal{K}_p(n)
$$
twisted by the Möbius function $\mu(n)$ and by the $\nu$-fold divisor function $\tau_\nu(n)$. Fouvry, Kowalski & Michel (2014) and Kowalski, Michel & Sawin (2018) improved the trivial bounds
$$
M_p(N) \ll N \qquad \mbox{and}\quad T_{\nu,p}(N) \ll N (\log N)^{\nu -1}.
$$
for $N \ge p^{3/4+\varepsilon}$ and $N \ge p^{2/3+\varepsilon}$, respectively (for any fixed $\varepsilon>0$). We will explain the ideas of the recent joint work with Maxim Korolev (2020) where both these thresholds are lowered down to $N \ge p^{1/2+\varepsilon}$. We will also discuss some open questions.

Manin et ses collaborateurs ont conjecturé des formules asymptotiques pour le nombres des points de hauteur anticanonique bornée sur les variétés de Fano. Nous démontrons cette conjecture pour la famille de variétés définies par l’équation $$L_1(x_1,x_2)y_1^2+L_2(x_1,x_2)y_2^2+L_3(x_1,x_2)y_3^2+L_4(x_1,x_2)y_4^2=0,$$ où $L_i$ sont des formes bilinéaires deux à deux non-proportionnelles. La constante arithmétique apparaissant dans le terme principal coïncide avec celle conjecturée par Peyre. La démonstration utilise divers outils de la théorie analytique des nombres. Il s’agit d’un travail en commun avec D. Bonolis et T. Browning.

One version of the Ingham-Karamata theorem states that for each slowly oscillating function $\tau$ whose Laplace transform admits an analytic continuation beyond the line $\Re s \: s = 0$ must obey the asymptotic law $\tau(x) = o(1)$. This theorem is a cornerstone in Tauberian theory and has plenty of applications in number theory; one of the quickest proofs of the Prime Number Theorem passes through this theorem. 

We shall show that the decay rate $o(1)$ in the Ingham-Karamata theorem is optimal even if one assumes analytic continuation of the Laplace transform up to a larger halfplane. The attractive proof is based on the open mapping theorem. 

Une identité remarquable relie deux mesures de complexité sur les mots: complexité en facteurs $C(n)$ et complexité palindromique $P(n)$. Il s’avère qu’elle est aussi valide quand on remplace la complexité palindromique $P(n)$ par celle des facteurs carrés $S(n)$. Ce résultat, facile à établir pour les mots finis, suggère cependant un lien avec la conjecture sur le nombre de facteurs carrés distincts dans un mot : les graphes de Rauzy y jouent un rôle essentiel.

La théorie de Markoff, élaborée par lui pour les formes quadratiques, a été étendue par Hurwitz et ses successeurs, aux approximations des réels par des rationnels. Elle concerne les nombres qui sont “mal approximés”, le plus mauvais d’entre eux étant le nombre d’or. On verra comment certains mots sur un alphabet à deux lettres, appelés mots de Christoffel, s’introduisent naturellement dans cette théorie.

La notion d’ensemble de Kazhdan dans un groupe topologique provient de la théorie géométrique des groupes, en lien avec la propriété (T) de Kazhdan. L’existence d’un ensemble de Kazhdan “petit” implique une certaine“rigidité” du groupe. Dans notre exposé, de type colloquium, on regardera les ensembles de Kazhdan d’un point de vue de l’analyse fonctionnelle, de l’analyse harmonique et d’un point de vue aléatoire. On discutera aussi le rôle joué par les ensembles de Kazhdan dans un contre-exemple à une conjecture de Russell Lyons (1998), motivée par la conjecture $\times 2$, $\times 3$ de Furstenberg. L’exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Sophie Grivaux et Etienne Matheron.

Pour modéliser les premiers, nous considérerons au cours de l’exposé de telles questions de nature statistique concernant la suite des entiers sans facteur carré (SFC), parmi d’autres suites “criblées”. J’espère pouvoir motiver et expliquer notre résultat principal inconditionnel qui énonce que le nombre de SFC dans les intervalles courts uniformément aléatoires suit en effet une loi Gaussienne, ce faisant résolvant plusieurs problèmes de R.R. Hall.

Ceci est un travail en commun avec O. Gorodetsky et B. Rodgers.

Je vais présenter un problème d’optimisation à frontière libre analogue au problème de Alt-Caffarelli pour les fonctions biharmoniques. Ce problème apparaît dans différentes questions d’optimisation de forme, dont la minimisation de la trainée d’un obstacle dans un fluide sous contrainte de mesure, la minimisation de la première valeur propre de l’opérateur de Stokes (ou de flambage) dans les domaines du plan, etc.. On s’attend à ce que la frontière libre obtenue soit généralement une union de courbes lisses, pouvant se rejoindre avec un angle d’environ 1.43pi, et je présenterai plusieurs résultats allant dans ce sens.

C’est un travail en collaboration avec Jimmy Lamboley.

Résumé à venir

Résumé à venir

Résumé à venir

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We study the existence of solutions to a kinetic system
describing the dynamics of a large number of particles undergoing the
effect of a self-generated field (electrical or gravitational) and the
action of random jumps in velocity according to a $2\sigma$-stable
Poisson process. The evolution of the corresponding system can be seen
as a fractional version of the classical Valsov-Poisson-Fokker-Planck
systems in which the dissipating part is described by a fractional
Laplacian. We address the question of local existence in time of mild
solutions for this system in all natural ranges $0 < \sigma < 1$ thanks
to the use of commutator estimates à la Kato-Ponce. We also investigate
the possibility of propagating the lifespan of these solutions in the
range $\frac{1}{2} < \sigma < 1$ and get global solutions in a natural
weighted $L^2$ space, which is possible thanks to the use of fundamental
solutions combined with an approach due to Bouchut (\emph{J. Funct.
Analysis} Vol 111(1) 1993 pp 239-258.).

Lorsque nous résolvons numériquement un problème de contrôle optimal gouverné par des équations aux dérivées partielles instationnaires, les conditions d’optimalité donnent des systèmes avec un grand nombre d’équations fortement couplées. Il est donc souhaitable de résoudre de tels systèmes en parallèle sur plusieurs processeurs. L’approche classique consiste à décomposer le domaine spatial en plusieurs sous-domaines pour obtenir des problèmes plus petits à résoudre en parallèle. Une autre possibilité intéressante est de décomposer le domaine temporel pour obtenir des méthodes “parallèles en temps”. Dans cet exposé, je présenterai deux méthodes de résolution basées sur une telle décomposition : la première utilise uniquement des communications entre sous-domaines voisins, alors que la deuxième nécessite la résolution d’un système global, mais de taille réduite. Je démontrerai la convergence des deux méthodes lorsque l’EDP est de type diffusif. Je présenterai enfin quelques exemples numériques pour montrer le comportement de ces algorithmes en fonction du nombre de sous-domaines.

Le principe fort/faible de Dafermos et DiPerna montre que les solutions fortes (Lipschitziennes) de lois de conservations sont stables, et donc uniques, parmi les solutions faibles entropiques. Dans cette série d’exposés, nous présenterons la théorie de “contraction avec poids et  décalages” qui étend le principe fort/faible aux solutions discontinues avec chocs.

In this talk, we present a posteriori estimates for finite element approximations of nonlinear elliptic problems satisfying strong-monotonicity and Lipschitz-continuity properties. These estimates include, and build on, any iterative linearization method that satisfies a few clearly identified assumptions; this encompasses the Picard, Newton, and Zarantonello linearizations. The estimates give a guaranteed upper bound on an augmented energy difference (reliability with constant one), as well as a lower bound (efficiency up to a generic constant). We prove that for the Zarantonello linearization, this generic constant only depends on the space dimension, the mesh shape regularity, and possibly the approximation polynomial degree in four or more space dimensions, making the estimates robust with respect to the strength of the nonlinearity. For the other linearizations, there is only a computable dependence on the local variation of the linearization operators. We also derive similar estimates for the energy difference. Numerical experiments illustrate and validate the theoretical results, for both smooth and singular solutions.

Le principe fort/faible de Dafermos et DiPerna montre que les solutions fortes (Lipschitziennes) de lois de conservations sont stables, et donc uniques, parmi les solutions faibles entropiques. Dans cette série d’exposés, nous présenterons la théorie de “contraction avec poids et  décalages” qui étend le principe fort/faible aux solutions discontinues avec chocs.

Joint work with Tadeusz Iwaniec and Jani Onninen

The concept of complex harmonic potential in a doubly connected planar capacitor is considered. The differential of a complex potential plays the role of a scalar potential of an electrostatic vector field. The main objective is to rule out the possibility that the differential vanishes at some points. Nevertheless, there can be critical points where the Jacobian determinant of the differential turns into zero. The latter is in marked contrast to the case of real-valued potentials. The complex harmonic capacitor (of electro-magnetic field) also admits an interpretation of the stored energy of a hyperelastic deformation.
Actually, we explore numerous results developed in this latter context.

We consider the magnetic Laplacian on non compact Riemannian manifolds which have ends of infinite volume, including for example asymptotically conical or hyperbolic manifolds. We will show how we can obtain uniform estimates for the boundary values of the resolvent of this operator in the case of high frequencies. These estimates hold in spaces with optimal weights and imply boundedness of the limiting resolvent in $L^2$ spaces with weights decaying faster than the inverse square root. In particular in this talk we will show how we can generalize a work by Cardoso and Vodev (’02) when adding perturbations of order one and zero and considering optimal weights. We will also focus on the aspects of the proof which are frequency independent.