L’estimation spectrale consiste en l’estimation des valeurs propres ou vecteurs propres de matrices bruitées. Dans cet exposé, nous verrons comment la notion d’indépendance libre, un concept issu de la théorie des opérateurs, permet de construire des estimateurs spectraux pertinents et d’en étudier la précision dans un régime non-asymptotique. Si le temps le permet, je présenterai des résultats relativement récents de Au, Dahlqvist, Gabriel et Male qui permettent une application de ce principe dans le cas de l’estimation de grands graphes bruités.

Cet exposé s’appuie partiellement sur un travail en collaboration avec Octavio Arizmendi et Carlos Vargas Obieta.

Dans ce séminaire, je m’intéresse au problème de l’identification d’une utilité dynamique consistante, qui, par définition, coïncide avec la fonction valeur d’un problème d’optimisation de portefeuille. Je montre que cette utilité est nécessairement solution d’une équation aux dérivées partielles stochastique (EDPS) forward, de second ordre et non linéaire.

J’établis ensuite une caractérisation explicite de cette solution en la représentant comme la composition de deux flots stochastiques bien choisis, ce qui permet d’en obtenir une résolution théorique.

À partir de cette représentation, je propose une approche numérique nouvelle pour approximer la solution. Cela conduit naturellement à l’étude d’un problème plus général : la composition de schémas d’Euler. Dans ce cadre, nous établissons un résultat général de convergence pour de telles compositions, applicable en particulier à l’EDPS considérée. Cette approche permet ainsi de construire des méthodes numériques simples et efficaces, fondées sur la composition de schémas associés à deux équations différentielles stochastiques appropriées.

Enfin, je présenterai quelques applications de cette approche, illustrant son intérêt au-delà du cadre initial, en particulier dans le domaine d’apprentissage des préférences.

Possible réunion d’équipe

Date possible pour le colloquinte

Étant donnée une variété de Poisson, une méthode de quantification (dite par déformation) consiste à construire un produit sur les séries formelles sur les fonctions lisses de la variété. Ce produit doit à l’ordre zéro être le produit ponctuel des fonctions (produit classique) et son défaut de commutativité à l’ordre 1 s’exprime en terme du crochet de Poisson. Une telle construction a été obtenue par Kontsevitch par des méthodes algébriques. Dans un travail en commun avec Jean-Marie Lescure et Omar Mohsen, nous proposons une construction plus analytique, basée des opérateurs de Toeplitz, pour les structures de Poisson induites par des algébroïdes symplectiques. Cette construction étend des idées de Guillemin et Melrose pour les variétés symplectiques.

Dans cet exposé, nous revisiterons un sujet classique de la théorie multiplicative des nombres. Inspirés par les travaux de Hildebrand et Tenenbaum, notre objectif est d’obtenir une formule asymptotique en petits intervalles pour le nombre d’entiers ayant exactement k diviseurs premiers distincts. Nous mettrons l’accent sur l’uniformité en k, ainsi que sur la structure anatomique typique des entiers $E_k$.

We discuss the method of picking a convenient coordinate system adapted to vector fields. Let $X_1, …, X_q$ be either real or complex $C^1$ vector fields. We discuss the question of when there is a coordinate system in which the vector fields are smoother (e.g. $C^m$ or $C^\infty$, or real analytic). By answering this in a quantitative way, we obtain coordinate charts which can be used as generalized scaling maps. When the vector fields are real this is joint work with Stovall, and continues in the line of quantitative sub-Riemannian geometry initiated by Nagel, Stein, and Wainger. When the vector fields are complex one obtains a geometry with more structure which can be thought of as “sub-Hermitian”.

Nous étudions la transformation de Poisson des hyperformes différentielles sur la sphère $S^{n-1}$ vue comme frontière de Furstenberg de l’espace hyperbolique réel $H^n(\mathbb R)$.
Pour $1< r < \infty$, $0\leq p < (n-1)/2$ et $q=p-1, p$, nous montrons de cette transformation est un isomorphisme topologique de l’espace $L^r$ des  $q$-hyperformes  de $S^{n-1}$ sur un sous-espace de type Hardy de l’espace des $p$-formes de $H^n(\mathbb R)$ qui sont functions propres du Laplacien de Hodge-de Rham.
(Travail en collaboration avec S. Bensaid et A. Boussejra)

Dans un travail en commun avec Michael Kaminski et Igor Shparlinski (arXiv:2110.04657), nous donnons des exemples explicites d’ensembles de $m$ formes linéaires en $n$ variables sur le corps des nombres rationnels, dont le calcul nécessite $m(n-1)$ additions.

On s’intéresse à des sommes exponentielles habituellement indexées par un système de représentants
des entiers inversibles modulo p, ou des inversibles modulo une puissance d’un nombre premier p.
Cependant, au lieu de regarder ces sommes complètes, on les restreint en les indexant seulement
par un sous-groupe d’ordre d fixé. Lorsque p tend vers l’infini en respectant certaines conditions de
congruence qui assurent l’existence d’un unique sous-groupe d’ordre d, on démontre que nos
familles de sommes exponentielles s’équirépartissent dans certaines régions du plan complexe
décrites comme l’image d’un tore par un polynôme de Laurent relativement explicite. Dans un second temps, on montre que l’on peut également restreindre le paramètre indexant la famille de sommes à ne parcourir que de très petits sous-groupes des classes inversibles modulo p, sans affecter le résultat d’équirépartition.

Vaaler (II)

Normes de Gowers.

Les notions de base sur les immeubles affines seront introduites : ces espaces sont des complexes cellulaires attachés à des groupes de Lie non archimédiens pour mieux les comprendre. Ensuite, quelques procédures classiques pour compacter ces espaces seront décrites, par analogie avec les espaces symétriques riemanniens non compacts. Ce sera enfin l’occasion d’expliquer en quel sens les compactifications de Martin fournissent un moyen naturel et analytique d’obtenir des compactifications “à gros bord” (obtenues plus artificiellement auparavant).

Les équations classiques de l’hydrodynamique (Euler, Navier-Stokes) sont non-locales à travers le terme de pression. Des modèles simplifiés comme l’équation de Burgers se focalisent sur un champ scalaire pour enlever les contraintes géométriques. Nous présentons ici une variante non-locale des équations de Burgers, dont les instabilités sont liées au signe local de la solution, avec des résultats obtenus en collaboration avec R. Shvydkoy, C. Imbert, J. Tan, R. Anton et K. Verdure.

Résumé à venir

Résumé à venir

Résumé à venir

Dans cet exposé, on présente une factorisation orthogonale d’une matrice sous une certaine forme échelonnée, avec un algorithme itératif associé. Cette factorisation, dédiée aux matrices par blocs, réalise un compromis entre la méthode du pivot de Gauss qui échelonne, et la décomposition en valeurs singulières qui diagonalise par transformations orthogonales. On montrera des applications en interpolation (publiées récemment avec J.-P. Croisille et M. Brachet), ainsi que des applications en optimisation multi-critère (si le temps le permet).

Variational formulations are a popular tool to analyse linear PDEs (eg. neutron
diffusion, Maxwell equations, Stokes equations …), and it also provides a
convenient basis to design numerical methods to solve them. Of paramount
importance is the inf-sup condition, designed by Ladyzhenskaya, Necas,
Babuska and Brezzi in the 1960s and 1970s. As is well-known, it provides
sharp conditions to prove well-posedness of the problem, namely existence
and uniqueness of the solution, and continuous dependence with respect to the
data. Then, to solve the approximate, or discrete, problems, there is the
(uniform) discrete inf-sup condition, to ensure existence of the approximate
solutions, and convergence of those solutions to the exact solution. Often, the
two sides of this problem (exact and approximate) are handled separately, or at
least no explicit connection is made between the two.
In this talk, I will focus on an approach that is completely equivalent to the
inf-sup condition for problems set in Hilbert spaces, the T-coercivity
approach. This approach relies on the design of an explicit operator to realize
the inf-sup condition. If the operator is carefully chosen, it can provide useful
insight for a straightforward definition of the approximation of the exact
problem. As a matter of fact, the derivation of the discrete inf-sup condition
often becomes elementary, at least when one considers conforming methods,
that is when the discrete spaces are subspaces of the exact Hilbert spaces. In
this way, both the exact and the approximate problems are considered,
analysed and solved at once.
In itself, T-coercivity is not a new theory, however it seems that some of its
strengths have been overlooked, and that, if used properly, it can be a simple,
yet powerful tool to analyse and solve linear PDEs. In particular, it provides
guidelines such as, which abstract tools and which numerical methods are the
most “natural” to analyse and solve the problem at hand. In other words, it
allows one to select simply appropriate tools in the mathematical, or
numerical, toolboxes. This claim will be illustrated on classical linear PDEs,
and for some generalizations of those models.

Dans cet exposé, on présente une factorisation orthogonale d’une matrice sous une certaine forme échelonnée, avec un algorithme itératif associé. Cette factorisation, dédiée aux matrices par blocs, réalise un compromis entre la méthode du pivot de Gauss qui échelonne, et la décomposition en valeurs singulières qui diagonalise par transformations orthogonales. On montrera des applications en interpolation (publiées récemment avec J.-P. Croisille et M. Brachet), ainsi que des applications en optimisation multi-critère (si le temps le permet).

L’existence globale de solutions classiques est étudiée pour un modèle de chimiotactisme basé sur des interactions locales individu/signal et incluant une mobilité décroissante quand l’intensité du signal augmente. Contrairement au modèle classique de chimiotactisme de Keller-Segel, on montre qu’il n’y a pas d’explosion en temps fini. On identifie de plus une classe de mobilités pour lesquelles les solutions sont bornées (collaborations avec Jie Jiang, Wuhan et Yanyan Zhang, Shanghai).

L’équation de courbure scalaire dans une classe conforme est une EDP elliptique non-linéaire d’ordre 2. La nonlinéarité est critique du point de vue des plongements de Sobolev. L’invariance conforme et cette criticalité rendent cette équation non-compacte, au sens où l’ensemble de ses solutions n’est pas compact dans C^2. Cette non-compacité perdure pour des perturbations de l’équation, et on parle alors d’instablité. Dans ces exposés, je parlerai des diverses description de cette instabilité pour cette équation ainsi que pour des classes plus large de problèmes, en particulier d’ordre >2.

Dans cet exposé, nous nous intéressons à une équation de convection-diffusion avec un terme non linéaire en gradient de température appelé terme “d’effet Joule”. Une méthode de volumes finis est proposée pour l’approximation numérique de la solution, dont la convergence vers une solution faible est démontrée. Nous établissons en particulier une inégalité discrète de Gagliardo-Nirenberg d’ordre deux sur laquelle la preuve s’appuie. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Caterina Calgaro et Clément Cancès.

L’équation de courbure scalaire dans une classe conforme est une EDP elliptique non-linéaire d’ordre 2. La nonlinéarité est critique du point de vue des plongements de Sobolev. L’invariance conforme et cette criticalité rendent cette équation non-compacte, au sens où l’ensemble de ses solutions n’est pas compact dans C^2. Cette non-compacité perdure pour des perturbations de l’équation, et on parle alors d’instabilité. Dans ces exposés, je parlerai des diverses description de cette instabilité pour cette équation ainsi que pour des classes plus large de problèmes, en particulier d’ordre >2.

Le système de Vlasov-Navier-Stokes est un couplage fluide/cinétique décrivant l’évolution d’un aérosol au sein d’un fluide. Dans le contexte de l’aérosolthérapie, l’absorption est la condition aux bords la plus adéquate pour la phase dispersée, en raison de la présence de mucus sur les voies aériennes pulmonaires. En gardant ce cadre applicatif à l’esprit, on s’interrogera sur la possibilité de récupérer cette condition au bord par l’étude du même système dans tout l’espace, dans une limite (localisée) de grande viscosité, en utilisant la théorie des traces renormalisées de Boyer-Mischler pour les équations de transport.