L’estimation spectrale consiste en l’estimation des valeurs propres ou vecteurs propres de matrices bruitées. Dans cet exposé, nous verrons comment la notion d’indépendance libre, un concept issu de la théorie des opérateurs, permet de construire des estimateurs spectraux pertinents et d’en étudier la précision dans un régime non-asymptotique. Si le temps le permet, je présenterai des résultats relativement récents de Au, Dahlqvist, Gabriel et Male qui permettent une application de ce principe dans le cas de l’estimation de grands graphes bruités.

Cet exposé s’appuie partiellement sur un travail en collaboration avec Octavio Arizmendi et Carlos Vargas Obieta.

Dans ce séminaire, je m’intéresse au problème de l’identification d’une utilité dynamique consistante, qui, par définition, coïncide avec la fonction valeur d’un problème d’optimisation de portefeuille. Je montre que cette utilité est nécessairement solution d’une équation aux dérivées partielles stochastique (EDPS) forward, de second ordre et non linéaire.

J’établis ensuite une caractérisation explicite de cette solution en la représentant comme la composition de deux flots stochastiques bien choisis, ce qui permet d’en obtenir une résolution théorique.

À partir de cette représentation, je propose une approche numérique nouvelle pour approximer la solution. Cela conduit naturellement à l’étude d’un problème plus général : la composition de schémas d’Euler. Dans ce cadre, nous établissons un résultat général de convergence pour de telles compositions, applicable en particulier à l’EDPS considérée. Cette approche permet ainsi de construire des méthodes numériques simples et efficaces, fondées sur la composition de schémas associés à deux équations différentielles stochastiques appropriées.

Enfin, je présenterai quelques applications de cette approche, illustrant son intérêt au-delà du cadre initial, en particulier dans le domaine d’apprentissage des préférences.

Date possible pour le colloquinte

Dans cet exposé, nous revisiterons un sujet classique de la théorie multiplicative des nombres. Inspirés par les travaux de Hildebrand et Tenenbaum, notre objectif est d’obtenir une formule asymptotique en petits intervalles pour le nombre d’entiers ayant exactement k diviseurs premiers distincts. Nous mettrons l’accent sur l’uniformité en k, ainsi que sur la structure anatomique typique des entiers $E_k$.

We discuss the method of picking a convenient coordinate system adapted to vector fields. Let $X_1, …, X_q$ be either real or complex $C^1$ vector fields. We discuss the question of when there is a coordinate system in which the vector fields are smoother (e.g. $C^m$ or $C^\infty$, or real analytic). By answering this in a quantitative way, we obtain coordinate charts which can be used as generalized scaling maps. When the vector fields are real this is joint work with Stovall, and continues in the line of quantitative sub-Riemannian geometry initiated by Nagel, Stein, and Wainger. When the vector fields are complex one obtains a geometry with more structure which can be thought of as “sub-Hermitian”.

A classic paper of Salem and Zygmund investigates the distribution of trigonometric polynomials whose coefficients are chosen randomly (say +1 or -1 with equal probability) and independently. Salem and Zygmund characterized the typical distribution of such polynomials (gaussian) and the typical magnitude of their sup-norms (a degree N polynomial typically has sup-norm of size $\sqrt{N \log N}$ for large N). In this talk we will explore what happens when a weak dependence is introduced between coefficients of the polynomials; namely we consider polynomials with coefficients given by random multiplicative functions. We consider analogues of Salem and Zygmund’s results, exploring similarities and some differences.

Special attention will be given to a beautiful point-counting argument introduced by Vaughan and Wooley which ends up being useful.

This is joint work with Jacques Benatar and Alon Nishry.

Les équations de Painlevé, tout comme beaucoup d’autres équations intégrables, admettent des généralisations au cadre non-commutatif, où la variable dépendante est remplacée, par exemple, par une matrice ou un opérateur. Cette extension au cadre non-commutatif a joué un rôle centrale dans ma collaboration avec Bertola et Roubtsov sur l’étude des systèmes de Calogero-Painlevé et, plus récemment, dans ma collaboration avec Bothner et Tarricone sur les équations de Painlevé de type intégrodifférentiel et leur applications aux probabilités intégrables. Dans mon séminaire, j’essaierai d’illustrer les résultats que nous avons obtenus dans les deux cas, en soulignant leur points communs.

Les équations de Painlevé, tout comme beaucoup d’autres équations intégrables, admettent des généralisations au cadre non-commutatif, o๠la variable dépendante est remplacée, par exemple, par une matrice ou un opérateur. Cette extension au cadre non-commutatif a joué un rôle centrale dans ma collaboration avec Bertola et Roubtsov sur l’étude des systèmes de Calogero-Painlevé et, plus récemment, dans ma collaboration avec Bothner et Tarricone sur les équations de Painlevé de type intégrodifférentiel et leur applications aux probabilités intégrables. Dans mon séminaire, j’essaierai d’illustrer les résultats que nous avons obtenus dans les deux cas, en soulignant leur points communs.

Dans cet exposé nous aborderons deux aspects de l’utilité des groupoïdes de Lie. Le premier aspect concerne la théorie de l’indice des espaces stratifiés. Nous expliquerons comment les ingrédients du théorème d’Atiyah-Singer, ainsi que sa preuve, peuvent être reformulés à l’aide de groupoïdes, puis nous verrons comment étendre cette approche aux espaces stratifiés. Le second aspect concerne l’analyse microlocale sur les groupoïdes. Nous décrirons une généralisation des opérateurs pseudodifférentiels sur les groupoïdes de Lie : les opérateurs intégraux de Fourier, et nous mettrons en évidence le rôle fondamental joué par le groupoïde cotangent symplectique de Weinstein. Enfin, nous verrons que les solutions fondamentales des équations d’évolution appartiennent, à des régularisants près, à ce calcul intégral de Fourier.

Dans cet exposé nous aborderons deux aspects de l’utilité des groupoïdes de Lie. Le premier aspect concerne la théorie de l’indice des espaces stratifiés. Nous expliquerons comment les ingrédients du théorème d’Atiyah-Singer, ainsi que sa preuve, peuvent être reformulés à  l’aide de groupoïdes, puis nous verrons comment étendre cette approche aux espaces stratifiés. Le second aspect concerne l’analyse microlocale sur les groupoïdes. Nous décrirons une généralisation des opérateurs pseudodifférentiels sur les groupoïdes de Lie : les opérateurs intégraux de Fourier, et nous mettrons en évidence le rôle fondamental joué par le groupoïde cotangent symplectique de Weinstein. Enfin, nous verrons que les solutions fondamentales des équations d’évolution appartiennent, à  des régularisants près, à  ce calcul intégral de Fourier.

Cet exposé concerne la relation entre l’analyse des opérateurs différentiels et les représentations des groupes de Lie nilpotent. La condition de Rockland généralise l’ellipticité pour les opérateurs différentiels sur les variétés qui à  l’échelle infinitésimale ressemblent à  un groupe de Lie nilpotent. C’est le cas pour la géométrie de contacte et les géométries paraboliques, par exemple. Un résultat de Melin, jamais publié, montre que de tels opérateurs vérifient les propriétés d’hypoellipticité et de Fredholm sur une variété compact. Une nouvelle preuve avec le groupoïde d’holonomie d’un feuilletage singulier nous permet de généraliser en même temps le théorème des sommes-de-carrés de Hörmander et obtenir des nouvelles classes d’opérateurs hypoelliptiques. (Travaux en commun avec I. Androulidakis, O. Mohsen et E. van Erp.)

I will review the strategy of integration of Lie n-algebroids to Lie n-groupoids using the “path method” coming from Sullivan’s Rational Homotopy Theory. I will then explain how to solve the main analytic problem of this strategy, which is to show that the spaces of solutions of generalized Maurer-Cartan equations are actually manifolds. These results can be used to show that a “local integration” of Lie algebroids indeed produces local Lie n-groupods. Based on a joint work with Michal Å iraň.

Après une introduction aux groupes hautement transitifs et aux groupes agissant sur un arbre, je présenterai un résultat récent, en collaboration avec F. Le Maître, S. Moon et Y. Stalder caractérisant les groupes agissant sur un arbre qui sont hautement transitifs.

Résumé

Les équations classiques de l’hydrodynamique (Euler, Navier-Stokes) sont non-locales à travers le terme de pression. Des modèles simplifiés comme l’équation de Burgers se focalisent sur un champ scalaire pour enlever les contraintes géométriques. Nous présentons ici une variante non-locale des équations de Burgers, dont les instabilités sont liées au signe local de la solution, avec des résultats obtenus en collaboration avec R. Shvydkoy, C. Imbert, J. Tan, R. Anton et K. Verdure.

Résumé à venir

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L’équation de Hartree est une équation de Schrödinger non linéaire utilisée notamment pour décrire l’évolution de certains systèmes quantiques à grand nombre de particules. Dans la première partie, après avoir rappelé brièvement le contexte physique, on s’intéressera au problème de l’existence d’un état fondamental, c’est-à-dire l’existence d’un état minimisant la fonctionnelle d’énergie. L’approche pour résoudre ce problème de minimisation sous contrainte repose sur des arguments développés par Lions dans les années 80, de type concentration-compacité.

Des divergences apparaissent lorsque l’on cherche à effectuer des calculs en théorie des champs quantiques (comme par exemple pour la section efficace de diffusion). Il est donc essentiel de recourir à une procédure, nommée renormalisation, pour retirer ces divergences de nos modèles et obtenir des prédictions vérifiables expérimentalement.

En mathématiques, on peut décrire les modèles de théorie des champs par un Hamiltonien agissant sur un espace de Fock et dont le noyau n’est pas de carré intégrable. La procédure généralement suivie est d’abord d’introduire des coupures ultraviolettes permettant de régulariser le noyau. Ensuite, il faut démontrer que cet opérateur régularisé auquel on a soustrait un terme de compensation, converge vers un opérateur limite. Les termes de compensation généralement utilisés en mathématiques proviennent du premier ou des deux premiers ordres dans la théorie de la perturbation de grandeurs physiques telles que l’énergie de l’état fondamental. Dans cet exposé nous présenterons, sur un modèle jouet, une méthode permettant d’utiliser un nombre fini mais quelconque de termes de compensation, et donc d’ordre dans la théorie de la perturbation. Il s’agit d’un travail en cours en collaboration avec Jacob Møller.

Motivated by Tadmor’s work dedicated to multiscale image representation using hierarchical (BV,L^2) decompositions, we propose transposing their approach to the case of registration, task which consists in determining a smooth deformation aligning the salient constituents visible in an image into their counterpart in another. The underlying goal is to obtain a hierarchical decomposition of the deformation in the form of a composition of intermediate deformations: the coarser one, computed from versions of the two images capturing the essential features, encodes the main structural/geometrical deformation, while iterating the procedure and refining the versions of the two images yields more accurate deformations that map faithfully small-scale features. The proposed model falls within the framework of variational methods and hyperelasticity by viewing the shapes to be matched as Ogden materials. The material behaviour is described by means of a specifically tailored strain energy density function, complemented by L^∞ penalisations ensuring that the computed deformation is a bi-Lipschitz homeomorphism. Theoretical results emphasising the mathematical soundness of the model are provided, among which the existence of minimisers, a Γ-convergence result and an analysis of a suitable numerical algorithm, along with numerical simulations demonstrating the ability of the model to produce accurate hierarchical representations of deformations.

Dans cet exposé, on étudiera la stabilité des ondes planes de l’équation de Schrödinger logarithmique sur le tore, avec ou sans amortissement. Le comportement de ces solutions sera notamment illustré par des simulations numériques.

Dans cette deuxième partie, on appliquera la méthode d’éclatement à deux problèmes qui mènent à des
résultats atypiques. Le premier exemple correspond à un problème de diffusion de la chaleur dans
un milieux à deux composantes complémentaires périodiques, à l’interface imparfaite (la température
présente un saut sur cette interface). La particularité de ce problème vient du fait qu’après
homogénéisation, la température limite est donnée comme combinaison de deux températures
distinctes, chacune étant définie sur tout le domaine initial. Les deux températures vérifient un système
couplé, connu dans la littérature comme « système de Barenblatt ». Le deuxième exemple correspond à
un problème de diffusion de la chaleur à double conductivité et sa particularité vient du fait qu’après
homogénéisation, la température limite est donnée comme la somme de deux termes, le premier étant
la solution d’un problème homogénéisé classique et le deuxième étant la moyenne sur la cellule de
périodicité de la solution d’un problème local.

Dans cette première partie, on présente la définition et quelques propriétés relatives à la méthode
d’éclatement, méthode spécifique pour l’homogénéisation de problèmes périodiques, c’est-à-dire des
problèmes pour lesquels la géométrie et/ou des caractéristiques physiques sont des fonctions
périodiques de certaines variables d’espace, la périodicité étant caractérisée par un petit paramètre
strictement positif. La présence du petit paramètre rend impossible la résolution numérique de ces
problèmes. Le processus d’homogénéisation consiste à faire tendre le petit paramètre vers zéro dans le
problème initial, ce qui conduit à l’obtention d’un problème homogénéisé. Ce problème, qui est une
bonne approximation du problème initial, peut être résolu numériquement. Il fournit ainsi une solution
approchée de la solution initiale. On va illustrer cette méthode en l’appliquant à un problème très
simple, celui de la diffusion de la chaleur dans un milieu périodique.

Au début de l’exposé, j’introduirai les problèmes d’évolution qui prennent la forme d’inclusions différentielles. Ensuite je préciserai un cadre théorique où celles-ci sont bien posées et enfin je proposerai un schéma numérique adapté avec un ordre de convergence égal à 1/2.

In this talk we present the problem of designing infinite-dimensional observers for infinite-dimensional systems. We consider the situation where only boundary measurement is available. Infinite-dimensional Luenberger-like observers are elaborated to infinite-dimensional dynamical systems in the abstract framework of semigroup systems. Exponential convergence of the proposed observers is guaranteed in the abstract framework by using the Lyapunov techniques. As examples explicit observers are worked out for PDE systems such as Euler-Bernoulli elastic beam systems and water wave systems. Thanks to observability property exponential or strong convergence of the designed observers is established with the convergence rate estimated in function of parameters of the observed systems, which is a desirable property for practical applications.

Après une courte introduction, je montrerai dans cet expose comment on peut établir, au niveau numérique, des propriétés d’hypocoercivité discretes pour des méthodes d’intégration en temps de l’équation de Fokker–Planck linéaire, qui assurent notamment la convergence exponentielle en temps long de la solution numérique vers un état d’équilibre discret. On utilisera pour cela une méthode de preuve à la Villani, adaptée au contexte discret. Il s’agit d’un travail en commun avec Frédéric Herau (Nantes) et Pauline Lafitte (CentraleSupelec).