L’estimation spectrale consiste en l’estimation des valeurs propres ou vecteurs propres de matrices bruitées. Dans cet exposé, nous verrons comment la notion d’indépendance libre, un concept issu de la théorie des opérateurs, permet de construire des estimateurs spectraux pertinents et d’en étudier la précision dans un régime non-asymptotique. Si le temps le permet, je présenterai des résultats relativement récents de Au, Dahlqvist, Gabriel et Male qui permettent une application de ce principe dans le cas de l’estimation de grands graphes bruités.

Cet exposé s’appuie partiellement sur un travail en collaboration avec Octavio Arizmendi et Carlos Vargas Obieta.

Dans ce séminaire, je m’intéresse au problème de l’identification d’une utilité dynamique consistante, qui, par définition, coïncide avec la fonction valeur d’un problème d’optimisation de portefeuille. Je montre que cette utilité est nécessairement solution d’une équation aux dérivées partielles stochastique (EDPS) forward, de second ordre et non linéaire.

J’établis ensuite une caractérisation explicite de cette solution en la représentant comme la composition de deux flots stochastiques bien choisis, ce qui permet d’en obtenir une résolution théorique.

À partir de cette représentation, je propose une approche numérique nouvelle pour approximer la solution. Cela conduit naturellement à l’étude d’un problème plus général : la composition de schémas d’Euler. Dans ce cadre, nous établissons un résultat général de convergence pour de telles compositions, applicable en particulier à l’EDPS considérée. Cette approche permet ainsi de construire des méthodes numériques simples et efficaces, fondées sur la composition de schémas associés à deux équations différentielles stochastiques appropriées.

Enfin, je présenterai quelques applications de cette approche, illustrant son intérêt au-delà du cadre initial, en particulier dans le domaine d’apprentissage des préférences.

Date possible pour le colloquinte

Dans cet exposé, nous revisiterons un sujet classique de la théorie multiplicative des nombres. Inspirés par les travaux de Hildebrand et Tenenbaum, notre objectif est d’obtenir une formule asymptotique en petits intervalles pour le nombre d’entiers ayant exactement k diviseurs premiers distincts. Nous mettrons l’accent sur l’uniformité en k, ainsi que sur la structure anatomique typique des entiers $E_k$.

We discuss the method of picking a convenient coordinate system adapted to vector fields. Let $X_1, …, X_q$ be either real or complex $C^1$ vector fields. We discuss the question of when there is a coordinate system in which the vector fields are smoother (e.g. $C^m$ or $C^\infty$, or real analytic). By answering this in a quantitative way, we obtain coordinate charts which can be used as generalized scaling maps. When the vector fields are real this is joint work with Stovall, and continues in the line of quantitative sub-Riemannian geometry initiated by Nagel, Stein, and Wainger. When the vector fields are complex one obtains a geometry with more structure which can be thought of as “sub-Hermitian”.

La quantification par déformation d’une théorie de champs se fait en deux étapes, d’abord pour une théorie libre à  partir de la structure de Poisson donnée par le crochet de Peierls associé au propagateur de Wightmann, ensuite pour la théorie en intéraction avec une ultérieur déformation associée au propagateur de Feynman, qui produit des ambiguités gérées par le groupe de renormalisation. Chaque étape de ce programme nécessite l’étude des fonctionnelles pouvant être déformées, compliquée par l’apparition de distributions singulières avec fronts d’ondes plus au moins adaptés aux opérations réquises. Les travaux en pAQFT dans les années 1990 et 2000 décrivent ces étapes de façon rigoureuse et complète (cf. K. Fredenhagen, M. Duetsch, R. Brunetti, S. Hollands, R.M. Wald, K. Rejzner, C. Brouder, N.V. Dang, Y. Dabrowski, etc). Avec C. Brouder, B. Fauser et R. Oeckl, nous avons montré en 2004 que si on se restreint à  des fonctionnelles régulières (et on oublie donc les problèmes analytiques), ces déformations coincident avec celles purement algébriques d’une structure de Hopf-comodule sur les fonctionnels, obtenues à  l’aide de deux couplages de Laplace définis par les propagateurs (et qui remplecent donc les crochets de Poisson dans le cadre des déformations d’algèbres de Hopf à  la Drinfeld ou à  la Majid). Les premiers résultats étaient complètement formels, et ils ont été précisés au sens géometrique par R. Borcherds en 2011, et complétés au sens algébrique et analytique par E. Herscovich en 2017. Dans cet exposé, je présente les grandes lignes de ce point de vue.

Résumé

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Let (X=G/K) be a noncompact complex Grassmann manifold of rank (r). Let (tau_l) be a character of (K), and (Ktimes_M{C}) the homogeneous line bundle associated with (tau_{l_{mid M}}). We give an image characterization for the Poisson transform (P_{lambda,l}) of (L^2)-sections of (Ktimes_M{C}). More precisely, for real and regular spectral parameter (lambda) in (mathfrak{a}^ast) we prove that (P_{lambda,l}) is an isomorphism from (L^2(Ktimes_M{C})) onto a space of joint eigensections (F) of the algebra of (G)-invariant differential operators on (Gtimes_K{C}) that satisfy (displaystylesup_{R>1}frac{1}{R^r}int_{B(R)}mid F(g)mid^2, {rm d}g<infty.) This generalizes a conjecture by Strichartz which corresponds to (tau_l) trivial.\

We consider Lie groups $G$ endowed with a pair of anticommuting left-invariant abelian complex structures $(J_1,J_2)$ and a left-invariant, possibly indefinite, metric $g$ such that $(G,J_1,J_2,g)$ results to be a hyperkähler manifold. We study the algebraic structure and geometric properties of such Lie groups with an abelian hyperkähler structure. It results that such groups are always 3-step nilpotent and there is a correspondence between the associated hyperkähler Lie algebras and certain triples $(V,Omega, J_s)$ defined for a complex (associative) commutative algebra $V$ such that $V^3={0}$. This correspondence allows us to compute the Riemannian curvature of the pseudo-metric, describe the holonomy algebra and show that hyperkähler Lie groups with abelian complex structures are complete and locally symmetric. This clearly implies that every simply-connected Lie group endowed with an abelian hyperkähler structure is actually a symmetric space. In constrast to the definite case, there exist non-flat examples of abelian hyperkähler Lie groups; they cannot be 2-step nilpotent and their dimension is always equal to or greater than 16. Moreover, using the triple description, we classify up to Lie algebra isomorphism all Lie algebras $g$ admitting an abelian hyperkähler structure for $dimgle 12$. Some remarks on their classification up to triholomorphic symplectomorphism will also be mentioned. [BS_HK] I. Bajo, E. Sanmart'{i}n, “Indefinite hyperkähler metrics on Lie groups with abelian complex structures”, 2019, to appear in Transformation Groups.

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Les équations classiques de l’hydrodynamique (Euler, Navier-Stokes) sont non-locales à travers le terme de pression. Des modèles simplifiés comme l’équation de Burgers se focalisent sur un champ scalaire pour enlever les contraintes géométriques. Nous présentons ici une variante non-locale des équations de Burgers, dont les instabilités sont liées au signe local de la solution, avec des résultats obtenus en collaboration avec R. Shvydkoy, C. Imbert, J. Tan, R. Anton et K. Verdure.

Résumé à venir

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On s’intéresse aux équations paraboliques linéaires, donc aux équations de la forme

(avec une condition initiale).

Nous nous intéressons principalement à l’obtention d’approximations de sa solution fondamentale K_t(x, y). Les approximations de la solution fondamentale ont une longue histoire en mathématiques et dans d’autres domaines, sous le nom d’approximation WKB (en théorie quantique) ou approximations du noyau de la chaleur.

L’asymptotique du noyau de la chaleur en termes de la géométrie a conduit à une démonstration célèbre du théorème de l’indice local et, plus récemment, dans les travaux de Pierre-Henry Labordère, à des applications souvent utilisées en finance. Si les coefficients sont suffisamment bornés (y compris leurs dérivées), j’expliquerai une méthode différente pour obtenir des développements en série perturbative qui conduit à des calculs très explicites des coefficients du développement asymptotique.

Cette méthode combine la formule de Duhamel/séries perturbatives de Dyson habituelles avec des calculs explicites inspirés des calculs des groupes de Lie nilpotents. J’expliquerai comment ces calculs peuvent ensuite être utilisés pour obtenir des approximations de la solution u de l’équation parabolique et je montrerai quelques tests numériques. J’espère que cette méthode pourra être étendue à de nombreux autres types d’équations (quelques résultats récents sur Navier-Stokes sur la sphère nous donnent plus de raisons d’espérer).

Ces techniques peuvent être combinées avec d’autres techniques (dans les EDP, dans l’analyse numérique ou dans d’autres domaines) et, en principe, pourraient fonctionner pour d’autres équations d’évolution. Dans le premier exposé, Nabil Kazi-Tani expliquera également très brièvement comment des équations paraboliques de ce type découlent de processus stochastiques.

On s’intéresse aux équations paraboliques linéaires, donc aux équations de la forme

(avec une condition initiale).

Nous nous intéressons principalement à l’obtention d’approximations de sa solution fondamentale K_t(x, y). Les approximations de la solution fondamentale ont une longue histoire en mathématiques et dans d’autres domaines, sous le nom d’approximation WKB (en théorie quantique) ou approximations du noyau de la chaleur.

L’asymptotique du noyau de la chaleur en termes de la géométrie a conduit à une démonstration célèbre du théorème de l’indice local et, plus récemment, dans les travaux de Pierre-Henry Labordère, à des applications souvent utilisées en finance. Si les coefficients sont suffisamment bornés (y compris leurs dérivées), j’expliquerai une méthode différente pour obtenir des développements en série perturbative qui conduit à des calculs très explicites des coefficients du développement asymptotique.

Cette méthode combine la formule de Duhamel/séries perturbatives de Dyson habituelles avec des calculs explicites inspirés des calculs des groupes de Lie nilpotents. J’expliquerai comment ces calculs peuvent ensuite être utilisés pour obtenir des approximations de la solution u de l’équation parabolique et je montrerai quelques tests numériques. J’espère que cette méthode pourra être étendue à de nombreux autres types d’équations (quelques résultats récents sur Navier-Stokes sur la sphère nous donnent plus de raisons d’espérer).

Ces techniques peuvent être combinées avec d’autres techniques (dans les EDP, dans l’analyse numérique ou dans d’autres domaines) et, en principe, pourraient fonctionner pour d’autres équations d’évolution. Dans le premier exposé, Nabil Kazi-Tani expliquera également très brièvement comment des équations paraboliques de ce type découlent de processus stochastiques.

The concept of sustainability can be formulated as the search for a stable ecosystemic balance. The manager has an arsenal of legal measures at his disposal, and mathematical models can be used to analyze their performance. Mathematical modeling in fisheries management has undergone significant theoretical development. Looking over basic fishery models of the literature, it appears three main conceptual frameworks to analyze the sustainability. Maximum sustainable yield, optimal equilibrium then viability.  that its application is a process in continuous progress, knowing that the potential of mathematical theory remains under used. For instance, the introduction of the recent development of “game theory” into the modeling of this issue should be helpful. Illustrating therefore the previously stated thesis that the more the assumptions are realistic, the more sophisticated mathematical tools are needed.

We study the minimization of functionals of the form

$$ u \mapsto \int_\Omega f(\nabla u) \, dx $$

with a convex integrand $f$ of linear growth (such as the area integrand), among all functions in the Sobolev space W$^{1,1}$ with prescribed boundary values. Due to insufficient compactness properties of these Dirichlet classes, the existence of solutions does not follow in a standard way by the direct method in the calculus of variations and might in fact fail, as it is well-known already for the non-parametric minimal surface problem. In such cases, the functional is extended suitably to the space BV of functions of bounded variation via relaxation, and for the relaxed functional one can in turn guarantee the existence of minimizers. However, in contrast to the original minimization problem, these BV minimizers might in principle have interior jump discontinuities or not attain the prescribed boundary values.

After a short introduction to the problem I want to focus on the question of regularity of BV minimizers. In past years, Sobolev regularity was established provided that the lack of ellipticity — which is always inherent for such linear growth integrands — is mild, while, in general, only some structure results seems to be within reach. In this regard, I will review several results which were obtained in cooperation with Miroslav Bulíček (Prague), Franz Gmeineder (Konstanz), Erika Maringová (Vienna), and Thomas Schmidt (Hamburg).

La partie “problème direct” est un travail en collaboration avec Christophe Hazard, la partie “problème inverse” une collaboration avec Arnaud Recoquillay.

For a given scatterer, is it possible to design an incident wave that produces no scattering? The answer is yes if and only if the wave number coincides with a resonant frequency of an interior problem formulated inside the scatterer. This duality can be reversed and exploited to compute scattering poles. It can also be used to produce an indicator function for crack densities in a fractured media. These issues and related open questions will be the main topic of my talk.

Dans ce travail en collaboration avec Flaviana Iurlano et Filip Rindler, nous considérons un problème classique d’optimisation qui consiste à rechercher la forme optimale minimisant la compliance d’une structure élastique sous une contrainte de masse. Nous effectuons une analyse asymptotique des formes “quasi-optimales” quand la masse tend vers zéro. Les configurations limites sont données par des mesures de probabilité minimisant une énergie relaxée explicite, due à une perte de convexité du fait de la contrainte de masse. Nous retrouvons ainsi un modèle limite qui justifie rigoureusement la théorie des treillis de Michell pour des structures optimales de petite dimension par rapport à l’espace ambiant.

Il est connu qu’une application harmonique minimisante sur un domaine borné \(\Omega\subset\mathbb{R}^2\) à valeurs dans une variété \(\mathcal{N}\) — à savoir minimisant l’énergie de Dirichlet avec sa propre donnée au bord — est lisse. En particulier, si \(\Omega\) est simplement connexe, alors il n’est pas possible d’étendre à énergie finie une donnée au bord dont la classe d’homotopie n’est pas triviale. Pour de telles données au bord, nous verrons cependant comment définir des applications les plus harmoniques possibles. Ces applications sont harmoniques en dehors d’un ensemble fini de points — ou singularités ponctuelles — d’où l’appellation {\it applications harmoniques singulières}. L’énergie diverge alors logarithmiquement près de chaque singularité et dépend de la classe d’homotopie associée (le degré dans le cas où la variété est le cercle). La minimisation de l’énergie à l’ordre principal conduit à un problème combinatoire non trivial consistant à décomposer la donnée au bord en une liste optimale de singularités topologiquement compatibles ; nous décrirons quelques exemples concrets issus de la physique. À l’ordre suivant, être le plus harmonique possible signifie que l’énergie renormalisée, obtenue en retirant à l’énergie de Dirichlet la contribution infinie près de chaque singularité, est minimale. Nous verrons que pour certaines variétés suffisamment symétriques, en particulier dans le cas du cercle étudié par Bethuel-Brézis-Hélein, il est possible de caractériser le comportement près d’une singularité des applications minimisant l’énergie renormalisée.

Dans cette présentation sont présentées des méthodes de type éléments discrets ayant la particularité de dériver des équations continues de modèles mécaniques d’intérêt.

Ces travaux ont été effectués en collaboration avec A. Ern et L. Monasse.