L’estimation spectrale consiste en l’estimation des valeurs propres ou vecteurs propres de matrices bruitées. Dans cet exposé, nous verrons comment la notion d’indépendance libre, un concept issu de la théorie des opérateurs, permet de construire des estimateurs spectraux pertinents et d’en étudier la précision dans un régime non-asymptotique. Si le temps le permet, je présenterai des résultats relativement récents de Au, Dahlqvist, Gabriel et Male qui permettent une application de ce principe dans le cas de l’estimation de grands graphes bruités.

Cet exposé s’appuie partiellement sur un travail en collaboration avec Octavio Arizmendi et Carlos Vargas Obieta.

Dans ce séminaire, je m’intéresse au problème de l’identification d’une utilité dynamique consistante, qui, par définition, coïncide avec la fonction valeur d’un problème d’optimisation de portefeuille. Je montre que cette utilité est nécessairement solution d’une équation aux dérivées partielles stochastique (EDPS) forward, de second ordre et non linéaire.

J’établis ensuite une caractérisation explicite de cette solution en la représentant comme la composition de deux flots stochastiques bien choisis, ce qui permet d’en obtenir une résolution théorique.

À partir de cette représentation, je propose une approche numérique nouvelle pour approximer la solution. Cela conduit naturellement à l’étude d’un problème plus général : la composition de schémas d’Euler. Dans ce cadre, nous établissons un résultat général de convergence pour de telles compositions, applicable en particulier à l’EDPS considérée. Cette approche permet ainsi de construire des méthodes numériques simples et efficaces, fondées sur la composition de schémas associés à deux équations différentielles stochastiques appropriées.

Enfin, je présenterai quelques applications de cette approche, illustrant son intérêt au-delà du cadre initial, en particulier dans le domaine d’apprentissage des préférences.

Date possible pour le colloquinte

Dans cet exposé, nous revisiterons un sujet classique de la théorie multiplicative des nombres. Inspirés par les travaux de Hildebrand et Tenenbaum, notre objectif est d’obtenir une formule asymptotique en petits intervalles pour le nombre d’entiers ayant exactement k diviseurs premiers distincts. Nous mettrons l’accent sur l’uniformité en k, ainsi que sur la structure anatomique typique des entiers $E_k$.

We discuss the method of picking a convenient coordinate system adapted to vector fields. Let $X_1, …, X_q$ be either real or complex $C^1$ vector fields. We discuss the question of when there is a coordinate system in which the vector fields are smoother (e.g. $C^m$ or $C^\infty$, or real analytic). By answering this in a quantitative way, we obtain coordinate charts which can be used as generalized scaling maps. When the vector fields are real this is joint work with Stovall, and continues in the line of quantitative sub-Riemannian geometry initiated by Nagel, Stein, and Wainger. When the vector fields are complex one obtains a geometry with more structure which can be thought of as “sub-Hermitian”.

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Sur un espace symétrique lorentzien, on définit les intégrales orbitales d’une fonction continue à  support compact comme les intégrales sur les orbites du groupe d’isotropies dans le groupe des transvections. Le problème qui sera abordé lors de cet exposé est d’exprimer la fonction en termes de ses intégrales orbitales. Lorsque l’espace symétrique lorentzien est à  courbure sectionnelle constante, les orbites du groupe d’isotropies sont les pseudo-sphères et le problème décrit ci-dessus a été résolu par S. Helgason en 1959 dans le cas de dimension paire. La solution prend la forme d’une formule-limite faisant intervenir l’opérateur de Laplace-Beltrami. En 1987, J. Orloff généralisa le résultat de S. Helgason à  tous les espaces symétriques pseudo-riemanniens semi-simples de rang un, comprenant les espaces symétriques lorentziens à  courbure sectionnelle constante de dimension impaire. Grâce à  M. Cahen et N. Wallach, on sait que les espaces symétriques lorentziens indécomposables ont un groupe de transvections qui est soit semi-simple, soit résoluble. Les espaces semi-simples sont à  courbure sectionnelle constante. Dès lors, le problème décrit ci-dessus est déjà  résolu sur ceux-ci. Durant l’exposé, je présenterai des espaces modèles du cas résoluble que l’on appelle les « espaces de Cahen-Wallach » et j’expliquerai comment exprimer une fonction en termes de ses intégrales orbitales sur ces espaces. La solution prend également la forme d’une formule-limite faisant intervenir des opérateurs différentiels invariants.

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Supermanifolds are a generalisation of ordinary manifolds that incorporates anti-commutative coordinates. Within the various equivalent definitions of supermanifolds, the so-called categorical approach is best equipped to deal with infinite-dimensional situations. Despite this, it has remained relatively obscure, in part due to its high level of abstraction. We present an introduction that is as close as possible to ordinary differential geometry. The theory of Lie supergroups can then be understood in terms of ordinary Lie groups. We give some important structural results for Lie supergroups, including the equivalence to super Harish-Chandra pairs for arbitrary locally convex Lie supergroups.

Les groupoïdes de Lie sont des objets qui font le lien entre les variétés différentiables et les groupes de Lie, qui en sont des cas particuliers. Nous allons décrire la structure de Poisson sur le dual de l’algébroïde de Lie d’un groupoïde de Lie G, et formuler une conjecture de type Kirillov reliant l’espace des feuilles symplectiques de cette variété de Poisson avec les représentations unitaires de la C^*-algèbre de G. Nous illustrerons ce principe à  l’aide de quelques exemples.

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L’étude des feuilletages singuliers subit un regain d’intérêt ces dernières années. Cela est en partie dà» aux résultats récents de Lavau/Laurent-Gengoux/Strobl (L-L-G-S) qui ont permis d’utiliser les algébroïdes de Lie à  homotopie près pour étudier de tels feuilletages. Le but de cet exposé est de présenter un travail en commun avec Rigel Juarez qui permet de retrouver des résultats du type de ceux de L-L-G-S comme un corollaire à  l’existence d’une structure de catégorie de semi-modèles sur la catégorie des algèbres de Lie-Rinehart à  homotopie près.

Les équations classiques de l’hydrodynamique (Euler, Navier-Stokes) sont non-locales à travers le terme de pression. Des modèles simplifiés comme l’équation de Burgers se focalisent sur un champ scalaire pour enlever les contraintes géométriques. Nous présentons ici une variante non-locale des équations de Burgers, dont les instabilités sont liées au signe local de la solution, avec des résultats obtenus en collaboration avec R. Shvydkoy, C. Imbert, J. Tan, R. Anton et K. Verdure.

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We study Sobolev estimates for the solutions of parabolic equations acting on a vector bundle, in a complete, compact or non compact, riemannian manifold $M$. The idea is to introduce geometric weights on $M$. We get global Sobolev estimates with these weights. As applications, we find and improve “classical results”, i.e. results without weights, by use of a Theorem by Hebey and Herzlich. As an example we get Sobolev estimates for the solutions of the heat equation on $p$-forms when the manifold has “weak bounded geometry ” of order $1$.

Le résumé se trouve ici

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La méthode LS-STAG est une méthode cartésienne pour le calcul d’écoulements incompressibles en géométries complexes, qui propose une discrétisation précise des équations de Navier-Stokes dans les cut-cells, cellules polyédriques de forme complexe créées par l’intersection du maillage cartésien avec la frontière du solide immergé. Originalement développée pour les géométries 2D, o๠seuls trois types de cut-cells génériques sont présents, son extension aux géométries 3D se heurte au défi posé par le grand nombre de types de cut-cells (108) à  considérer. Cet exposé présentera une discrétisation plus précise du gradient dans les termes diffusifs de Navier-Stokes, à  l’aide du schéma diamant, ainsi que l’extension aux géométries 3D complètes par l’élaboration d’une formule générique de discrétisation spatiale dans les cut-cells, indépendante de la forme de celles-ci.

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Dans cet exposé, je présenterai le lien entre l’existence d’une inégalité de type Lebeau-Robbiano pour un opérateur autoadjoint à  résolvante compacte, et le contrôle impulsionnel de l’équation parabolique associée. Je présenterai ensuite une construction d’une loi de feedback donnant un résultat de stabilisation en temps fini. C’est un travail en collaboration avec Kim Dang Phung.

La modélisation du piégeage capillaire (un fluide reste confiné dans une région du sous-sol) conduit à  une équation de diffusion non-linéaire dégénérée dans laquelle le coefficient de diffusion est discontinu à  travers une interface. Le problème peut-être résolu par une méthode de décomposition de domaines globale en temps, basée sur l’algorithme de relaxation d’onde de Schwarz, avec des conditions de transmission non-linéaires de type Robin à  travers l’interface. Dans chaque sous-domaine, un problème en est résolu sur tout l’intervalle de temps à  chaque itération, avant l’utilisation des conditions de transmission. L’arrêt des itérations utilise un critère construit à  partir d’estimateurs d’erreurs a posteriori, distinguant les erreurs de discrétisation en espace, en temps et l’erreur due à  la décomposition de domaines. Ces estimateurs reposent sur la reconstruction de champs de pression et de flux conformes. Les itérations de décomposition de domaines peuvent ainsi être arrêtées dès que l’erreur de DD est inférieure aux erreurs de discrétisation.

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Dans cet exposé, nous nous intéressons au problème de stabilisation par retour de sortie dynamique (et lisse) pour des systèmes de contrôle non uniformément observables. Dans un premier temps, nous analysons ce problème à  travers un exemple académique pour lequel le point d’équilibre auquel nous voulons stabiliser le système correspond à  une valeur de contrôle rendant le système inobservable. Dans un deuxième temps nous mettrons en évidence certaines difficultés liées au problème de l’observation des systèmes non uniformément observables.