In a landmark paper, Scott Sheffield introduced a famous bijection, called the “hamburger-cheeseburger” bijection, to encode a certain model of random planar maps as a certain queue model in a kitchen selling hamburgers and cheeseburgers. Under this correspondence, natural geometric observables have a nice “burger” interpretation, for which Sheffield established scaling limit results. These scaling limits exhibit a phase transition in a special regime where the maps are believed to be “critical”. The goal of this talk is to present the analogue of these scaling limit results in the critical case, which can be thought of as the first convergence result of planar maps in the universality class of critical Liouville quantum gravity, in the so-called peanosphere sense. The talk is based on joint work with Xingjian Hu, Ellen Powell and Mo Dick Wong.

Many phenomena of interest in various applicative fields (epidemiology, neuroscience,…) can be idealized as interacting particle systems on random graphs. Various approaches have been proposed in recent years to develop tractable approximations of these dynamics that take the graph geometry and particle correlations into account. One of them, introduced by Lacker, Ramanan and Wu, focuses on dynamics on sparse graphs and their local limits. Analogously to mean-field models on complete and dense graphs, it is possible to establish so-called local-field equations on random trees that provide an autonomous description of the neighborhood of the root. In this talk, we will give a general overview of the local-field approach, as well as a recent result of quantitative propagation of chaos in this framework.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

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Date possible pour le colloquinte

La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique mot infini sur l’alphabet {1,2} qui commence par un “1” et est point fixe de l’opérateur de dérivation. En 1991, M.S. Keane conjecture que cette suite admet une fréquence d’1/2 pour la lettre “1”.

Les suites dites “auto-descriptives” sont une généralisation du mot d’Oldenburger-Kolakoski. Ces suites sont en bijection naturelle avec l’ensemble de toutes les suites sur l’alphabet {1,2} : une suite auto-descriptive est dite “dirigée” par son homologue naturelle sur {1,2}. Est-il possible d’inférer les fréquences de lettres de l’une à partir de l’autre ?

Je présenterai dans cet exposé deux approches à cette question : l’une probabiliste (Boisson, Jamet, Marcovici — 2024), l’autre analytique (Akiyama, Jamet, Marcovici, T.C. — 2024).

Many arguments in mathematics rely on the introduction of an auxiliary function that is compactly supported. Sometimes this compactly supported function is required to satisfy some additional regularity, but this cannot be pushed too far. It can for instance not be analytic as follows by the identity principle.

In this talk, we wish to present a technique that may bypass this obstruction. Namely, instead of considering a single function, we shall construct a sequence of function that are supported in the same compact, and satisfy some good uniform bounds on their derivatives.

This method is a powerful tool as it can, in some circumstances, turn a heuristic argument relying on a compactly supported analytic auxiliary function, into a rigorous proof. As an application, we shall discuss how this technique leads to improvements in some quantified Tauberian theorems.

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https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

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Je vais présenter un problème d’optimisation à frontière libre analogue au problème de Alt-Caffarelli pour les fonctions biharmoniques. Ce problème apparaît dans différentes questions d’optimisation de forme, dont la minimisation de la trainée d’un obstacle dans un fluide sous contrainte de mesure, la minimisation de la première valeur propre de l’opérateur de Stokes (ou de flambage) dans les domaines du plan, etc.. On s’attend à ce que la frontière libre obtenue soit généralement une union de courbes lisses, pouvant se rejoindre avec un angle d’environ 1.43pi, et je présenterai plusieurs résultats allant dans ce sens.

C’est un travail en collaboration avec Jimmy Lamboley.

Résumé à venir

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On preuve que les fonctions spéciales à  déformation bornée avec peu de saut sont proches dans le sens de l’énergie à  des fonctions qui sont régulières dans un domaine plus petit. Cela permet de généraliser l’inégalité de monotonie de De Giorgi, Carriero et Leaci au contexte linéarisé en dimension n et d’établir la fermeture de l’ensemble de saut pour les minimiseurs de l’énergie de Griffith.

Dans cet exposé, on discutera différents aspects de l’opérateur de Dirac en dimension trois, couplé à  un potentiel singulier supporté sur une surface. Après avoir motivé l’étude de tels objets, on s’intéressera brièvement au problème d’auto-adjonction pour des potentiels singuliers de type électrostatique ou de type scalaire de Lorentz. Pour cette dernière classe de potentiels, on étudiera la structure du spectre d’un tel opérateur et en particulier, on montrera que lorsque la masse de la particule tend vers l’infini, dans le cas d’un potentiel attractif, les valeurs propres se comportent au premier ordre comme les valeurs propres d’un opérateur effectif sur la surface. On verra que cet opérateur effectif est en fait un opérateur de Schrödinger avec champ de Yang-Mills couplé à  un potentiel électrique, le champ et le potentiel étant tous deux de nature géométrique. Il s’agit de travaux en collaboration avec Markus Holzmann, Konstantin Pankrashkin et Luis Vega. [1.] A strategy for self-adjointness of Dirac operators: applications to the MIT bag model and delta-shell interactions, with Luis Vega, 30p., to appear in Publicacions Matemà tiques, arXiv:1612.07058, 2016. [2.] Dirac operators with Lorentz scalar shell interactions, with Markus Holzmann and Konstantin Pankrashkin, 41 p., submitted, arXiv:1711.00746, 2017.

Bernoulli’s free boundary problem is an overdetermined problem in which one seeks an annular domain such that the capacitary potential satisfies an extra boundary condition. There exist two different types of solutions: elliptic and hyperbolic solutions. Elliptic solutions are “stable” solutions and tractable by variational method and maximum principle, while hyperbolic solutions are “unstable” solutions of which the qualitative behavior is less known. I will present a recent joint work with Antoine Henrot in which we show the qualitative behavior of hyperbolic solutions by a new flow approach.

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On veut expliquer la forme des oeufs d’eulimnadia, petit animal vivant dans des mares éphémères, en utilisant les outils de l’optimisation de forme. En effet, la théorie de l’évolution laisse penser que la forme des objets que l’on retrouve dans la nature résulte d’un processus d’optimisation, c’est à  dire que leur forme est telle que l’objet en question est le plus à  même de résister aux contraintes qui s’exercent sur lui. On propose un critère naturel optimisé par la forme de l’oeuf, que l’on modélise mathématiquement par un problème de minimisation de fonctionnelle de forme s’écrivant comme combinaison convexe du rayon intérieur, du diamètre et de la densité, notion que l’on définira. On présente le travail réalisé jusqu’à  présent.

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Let us consider the bilinear Schr”{o}dinger equation $ipartial_t psi(t)=Apsi(t)+u(t)Bpsi(t)$ in $L^2(G,mathbb C)$ for $G$ a compact quantum graph. We assume $B$ a bounded symmetric operator, $u$ a control function and $psi^0$ is the initial state of the system. The operator $A=-Delta$ is the Laplacian equipped with self-adjoint type boundary conditions into the vertices of the graph. Provided the well-posedness of the equations, we present assumptions on $B$ and on the spectrum of $A$ implying the global exact controllability in suitable subspaces of $mathcal H$. When the previous assumptions fail, we introduce a weaker notion of controllability allows to provide interesting results also when the graph $G$ is a complex structure and we are not able to verify the spectral assumptions for the global exact controllability.”

Dans cet exposé on s’intéressera à  l’observation et au contrôle de l’équation des ondes dans certains cas « pathologiques ». Plus précisément, nous étudierons dans un premier temps la stabilité du processus de contrôle HUM lorsque les coefficients de l’équation sont mal connus (disons bruités). Puis on donnera des résultats d’observation/contrôle pour des équations à  coefficients très peu réguliers. Une partie des ces résultats a été obtenue en collaboration avec Sylvain Ervedoza (Cnrs, I.M. Toulouse ).

We will first review some variational formulations of the time-harmonic Maxwell equations with impedance boundary conditions in smooth and non-smooth domains. Secondly, the singularities of this system in polyhedral domains will be described. The talk is based on joint works with M. Costabel (Rennes), M. Dauge (Rennes) and J. Tomezyk (Valenciennes).

The problem under consideration belongs to the wide family of quantum wave guides. Such guides are unbounded domains endowed with a simple structure at infinity. For instance, in two dimensions, they coincide outside of a compact set with two half-strips of constant width. The Dirichlet Laplace operator in these guides has a non empty essential spectrum. The game is to investigate the presence of discrete spectrum under the threshold of the essential spectrum. In two dimensions the situation is well-known: For any wave guide of constant width and non identically zero curvature, bound states do exist. In three dimensions, recent results provide the existence of infinitely many bound states in conical layers with smooth profiles. In this talk we address the archetypic non smooth conical layer, which we name after Fichera. It can be viewed as an octant from which is removed another octant translated from the first one along the diagonal line of coordinates. We characterize the essential spectrum and prove that the discrete spectrum has at most a finite number of elements. Numerical computations tend to prove that there is exactly one bound state. We mention various generalizations of this result. From a joint work with Yvon Lafranche (Rennes) and Thomas Ourmières-Bonafos (Paris-Sud).