In a landmark paper, Scott Sheffield introduced a famous bijection, called the “hamburger-cheeseburger” bijection, to encode a certain model of random planar maps as a certain queue model in a kitchen selling hamburgers and cheeseburgers. Under this correspondence, natural geometric observables have a nice “burger” interpretation, for which Sheffield established scaling limit results. These scaling limits exhibit a phase transition in a special regime where the maps are believed to be “critical”. The goal of this talk is to present the analogue of these scaling limit results in the critical case, which can be thought of as the first convergence result of planar maps in the universality class of critical Liouville quantum gravity, in the so-called peanosphere sense. The talk is based on joint work with Xingjian Hu, Ellen Powell and Mo Dick Wong.

Many phenomena of interest in various applicative fields (epidemiology, neuroscience,…) can be idealized as interacting particle systems on random graphs. Various approaches have been proposed in recent years to develop tractable approximations of these dynamics that take the graph geometry and particle correlations into account. One of them, introduced by Lacker, Ramanan and Wu, focuses on dynamics on sparse graphs and their local limits. Analogously to mean-field models on complete and dense graphs, it is possible to establish so-called local-field equations on random trees that provide an autonomous description of the neighborhood of the root. In this talk, we will give a general overview of the local-field approach, as well as a recent result of quantitative propagation of chaos in this framework.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Date possible pour le colloquinte

La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique mot infini sur l’alphabet {1,2} qui commence par un “1” et est point fixe de l’opérateur de dérivation. En 1991, M.S. Keane conjecture que cette suite admet une fréquence d’1/2 pour la lettre “1”.

Les suites dites “auto-descriptives” sont une généralisation du mot d’Oldenburger-Kolakoski. Ces suites sont en bijection naturelle avec l’ensemble de toutes les suites sur l’alphabet {1,2} : une suite auto-descriptive est dite “dirigée” par son homologue naturelle sur {1,2}. Est-il possible d’inférer les fréquences de lettres de l’une à partir de l’autre ?

Je présenterai dans cet exposé deux approches à cette question : l’une probabiliste (Boisson, Jamet, Marcovici — 2024), l’autre analytique (Akiyama, Jamet, Marcovici, T.C. — 2024).

Many arguments in mathematics rely on the introduction of an auxiliary function that is compactly supported. Sometimes this compactly supported function is required to satisfy some additional regularity, but this cannot be pushed too far. It can for instance not be analytic as follows by the identity principle.

In this talk, we wish to present a technique that may bypass this obstruction. Namely, instead of considering a single function, we shall construct a sequence of function that are supported in the same compact, and satisfy some good uniform bounds on their derivatives.

This method is a powerful tool as it can, in some circumstances, turn a heuristic argument relying on a compactly supported analytic auxiliary function, into a rigorous proof. As an application, we shall discuss how this technique leads to improvements in some quantified Tauberian theorems.

Exposé reporté au 14 juin 2018.

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Dans cet exposé nous donnerons un apercu des techniques de géométrie riemannianne de dimension infinie qui sont utilisées dans le domaine de la théorie de l’information et plus particulièrement en analyse de formes (Shape Analysis). Dans la première partie nous rappelerons les notions géométriques utilisées, et nous mentionnerons les écueils dus à  la dimension infinie. Dans une deuxième partie nous nous intéresserons à  une famille de métriques riemanniennes sur l’espace des courbes simples du plan connue sous le nom de métriques élastiques. Suivre une géodésique pour ces métriques riemanniennes c’est interpoler entre deux contours du plan, par exemple entre deux poses d’une danseuse dans un film d’animation. Une de ces métriques a de remarquables propriétés géométriques qui simplifient grandement la recherche de géodésiques. Nous verrons en particulier comment les géodésiques pour cette métrique particulière sont reliées à  la géométrie de la sphère unité d’un espace de Hilbert.

Résumé

I will explain how equations of Classical Mechanics, defined from Poisson structures, can emerge from Quantum Mechanics. This is done via self-consistency equations, which in turn imply an extended quantum dynamics. This situation generically appears for quantum systems with long-range interactions, as in the so-called BCS theory of (conventional) superconductivity.

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à€ l’aide d’exemples je discuterai la notion habituelle de super espace de Hilbert et représentation super unitaire et je montrerai que ces notions ne permettent pas de dire qu’en général une représentation régulière d’un super groupe de Lie est super unitaire. Par contre, en élargissant la notion de super espace de Hilbert (et en adaptant la définition de représentation super unitaire), je montrerai qu’on peut remédier la situation. Je ferai un maximum d’effort pour que l’exposé soit compréhensible pour les non-spécialistes (quitte à  que les spécialistes resteront un peu sur leur faim).

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J.-H. Lambert (Mulhouse 1728 – Berlin 1777) est un des fondateurs de la géométrie non euclidienne. Il a aussi découvert une propriété étrange et utile du mouvement képlérien dans un espace euclidien. Le temps requis pour atteindre un point B à  partir d’un point A avec une énergie donnée, sous l’attraction Newtonienne d’une masse située en un point fixe O, ne varie pas si l’on déplace continà»ment A et B de telle sorte que la distance AB et la somme OA+OB restent constantes. P. Serret (1827–1898) et W. Killing (1847–1923) ont introduit le problème de Kepler sur les espaces à  courbure constante et ont donné une liste impressionnante d’analogies avec le problème de Kepler habituel. Ici nous complétons cette liste en démontrant que le temps requis pour atteindre un point B à  partir d’un point A avec une énergie donnée, sous l’attraction d’une masse située en un point fixe O de l’espace courbe, avec une énergie donnée, ne varie pas quand on déplace A et B de telle sorte que d(A,B) et d(O,A)+d(O,B) restent constants, o๠d désigne la distance géodésique. Nous discuterons aussi le cas des espaces pseudo-riemanniens à  courbure constante. Nous utilisons essentiellement les formules bien connues du calcul variationnel que Hamilton a introduites en 1834, et une propriété simple du vecteur excentricité. Ce travail est en collaboration avec Zhao Lei, de l’Université d’Augsbourg.

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Je vais présenter un problème d’optimisation à frontière libre analogue au problème de Alt-Caffarelli pour les fonctions biharmoniques. Ce problème apparaît dans différentes questions d’optimisation de forme, dont la minimisation de la trainée d’un obstacle dans un fluide sous contrainte de mesure, la minimisation de la première valeur propre de l’opérateur de Stokes (ou de flambage) dans les domaines du plan, etc.. On s’attend à ce que la frontière libre obtenue soit généralement une union de courbes lisses, pouvant se rejoindre avec un angle d’environ 1.43pi, et je présenterai plusieurs résultats allant dans ce sens.

C’est un travail en collaboration avec Jimmy Lamboley.

Résumé à venir

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In this talk, we present some recent results on the analysis of singular perturbation problems in perforated domains. First, we will consider the asymptotic behavior of the solutions of a mixed problem for the Laplace equation in a domain with moderately close holes, i.e., with distance tending to zero “not faster” than the size. We describe what happens to the solutions in terms of real analytic maps and we compute asymptotic expansions, by an approach based on Potential Theory and Functional Analysis. Then we will show how our method can be exploited to analyze the influence of perforations approaching to a point of the boundary. First we will assume that the boundary is “flat” around the “singular” point. Then we will consider perforations concentrating around the vertex of a planar sector. The talk is based on joint works with V. Bonnaillie-No”el, M. Costabel, M. Dalla Riva, M. Dambrine, and M. Dauge.”

The time-harmonic formulation of Maxwell’s equations presents several difficulties when the frequency is large. Here we propose a precise and efficient solution strategy that couples high order finite element discretizations with domain decomposition preconditioners. Finite elements suited for the approximation of the electric field are the curl-conforming (or edge) finite elements. Here, we revisit the classical degrees of freedom defined by Nédélec, in order to obtain a new more friendly expression in terms of the chosen high order basis functions. Moreover, we propose a general technique to restore duality between degrees of freedom and basis functions. We explicitly describe an implementation strategy, which we embedded in the open source domain specific language FreeFem++. In the second part, we focus on the preconditioning of the system resulting from the finite element discretization. In particular we investigate how two-level domain decomposition preconditioners recently analyzed for the Helmholtz equation work in the Maxwell case, both from the theoretical and numerical points of view. We apply these methods to the large scale problem arising from the modeling of a microwave imaging system, for the detection and monitoring of brain strokes. In this application accuracy and computing speed are indeed of paramount importance.

The localization of a critical point of minimum type of a smooth functional is obtained in a bounded convex conical set defined by a norm and a concave upper semicontinuous functional. The technique is then used for the localization and multiplicity of Nash equilibrium solutions of nonvariational systems. Applications are given to periodic problems.

Ce travail s’inscrit dans un contexte de contrôle de la pollution d’origine agricole des ressources en eau, en alliant modélisation économique et hydrogéologique. Pour cela, nous définissons d’une part un objectif économique spatio-temporel prenant en compte le compromis entre l’utilisation d’engrais et les coà»ts de dépollution. D’autre part, nous décrivons le transport du polluant dans le sous-sol (3D en espace) par un système non linéaire d’équations aux dérivées partielles couplées de type parabolique (réaction-convection-dispersion) et elliptique dans un domaine borné. Des résultats génériques sont donnés (cf. [Augeraud-Véron, Choquet, Comte : JOTA 2017]) et le cas particulier des faibles concentrations est traité, cas pour lequel un résultat d’unicité est démontré par analyse asymptotique (cf. [Augeraud-Véron, Choquet, Comte : ESAIM COCV, à  paraitre]) ́. Quelques résultats numériques (2D en espace) illustreront ces résultats analytiques. Ces derniers pourront être élargis au cadre de la théorie des jeux, o๠plusieurs joueurs interviennent, avec notamment un résultat d’existence d’un équilibre de Nash.

La désintégration du boson W en un couple lepton-neutrino peut être modélisée par un opérateur autoadjoint agissant sur un espace de Fock, qui est un espace de Hilbert particulier. Les valeurs que peut prendre l’énergie du système physique correspondent au spectre de cet opérateur, qui peut être scindé en trois parties : le spectre ponctuel, absolument continu et singulièrement continu. Le sous-espace de Hilbert associé à  la partie absolument continue du spectre contient les états diffusés, c’est-à -dire étant localisés loin de l’expérience au bout d’un temps très long. Intuitivement, on s’attendrait à  ce que de tels états soient asymptotiquement libres (c’est-à -dire se comportant, en temps infini, comme s’il n’y avait aucune interaction). Cette propriété se traduit en termes mathématiques par la notion de complétude asymptotique des opérateurs d’onde. Un des objets essentiels de la mécanique quantique est la matrice de diffusion (ou de scattering) qui associe à  chaque état entrant diffusé, un état sortant à  son tour diffusé. Un des objectifs de la théorie de la diffusion est de prouver l’existence de la matrice de scattering et la complétude asymptotique des opérateurs d’ondes associés. Le but de cette présentation est de donner un sens rigoureux à  toutes ces notions, d’introduire les outils fondamentaux utilisés dans cette branche de la physique mathématique et de présenter quelques résultats récents sur un modèle simplifié de la désintégration du boson W.

On considère un système semi-linéaire d’interaction à  trois ondes posée sur un grand tore, avec nonlinéarité petite et forçage stochastique en angle des coefficients de Fourier. Ce système possède des mesures invariantes naturelles. Dans un certain régime asymptotique (taille du tore tendant vers l’infini, taille de la nonlinéarité tendant vers zéro et taille du forçage tendant vers zéro), on montre que dans un régime linéarisé autour des mesures invariantes, les fluctuations des modules des coefficients de Fourier convergent vers les solutions d’équations de Zakharov linéarisées apparaissant en théorie de turbulence d’ondes.

Résumé

Les surfaces minimales sont les surfaces qui sont points critiques pour la fonctionnelle d’aire (à  bord fixé). Elles sont aussi caractérisées par le fait que leur courbure moyenne est nulle en tout point ; elles peuvent donc s’exprimer localement comme graphes de solutions d’une EDP elliptique. Nous présenterons d’abord quelques exemples et résultats fondamentaux concernant ces surfaces puis nous nous intéresserons à  un problème de minimisation de l’aire des surfaces minimales comprises entre deux plans parallèles (travail en commun avec J. Choe).

Dans cet exposé je présenterai une classe de problèmes variationnels classiques ou moins classiques de type « optimisation de forme » sur les compacts connexes 1-dimensionnels du plan. Je m’intéresserai tout particulièrement à  leur approximation dite « par champ de phase », qui abouti à  une méthode numérique. La nouveauté étant de pouvoir contraindre la connexité dans l’ensemble optimal trouvé. L’étude de la fonctionnelle d’approximation est elle même intéressante, car reliée à  une equation de type Allen-Cahn avec terme source singulier (i.e. mesure de Hausdorff).