L’estimation spectrale consiste en l’estimation des valeurs propres ou vecteurs propres de matrices bruitées. Dans cet exposé, nous verrons comment la notion d’indépendance libre, un concept issu de la théorie des opérateurs, permet de construire des estimateurs spectraux pertinents et d’en étudier la précision dans un régime non-asymptotique. Si le temps le permet, je présenterai des résultats relativement récents de Au, Dahlqvist, Gabriel et Male qui permettent une application de ce principe dans le cas de l’estimation de grands graphes bruités.

Cet exposé s’appuie partiellement sur un travail en collaboration avec Octavio Arizmendi et Carlos Vargas Obieta.

Dans ce séminaire, je m’intéresse au problème de l’identification d’une utilité dynamique consistante, qui, par définition, coïncide avec la fonction valeur d’un problème d’optimisation de portefeuille. Je montre que cette utilité est nécessairement solution d’une équation aux dérivées partielles stochastique (EDPS) forward, de second ordre et non linéaire.

J’établis ensuite une caractérisation explicite de cette solution en la représentant comme la composition de deux flots stochastiques bien choisis, ce qui permet d’en obtenir une résolution théorique.

À partir de cette représentation, je propose une approche numérique nouvelle pour approximer la solution. Cela conduit naturellement à l’étude d’un problème plus général : la composition de schémas d’Euler. Dans ce cadre, nous établissons un résultat général de convergence pour de telles compositions, applicable en particulier à l’EDPS considérée. Cette approche permet ainsi de construire des méthodes numériques simples et efficaces, fondées sur la composition de schémas associés à deux équations différentielles stochastiques appropriées.

Enfin, je présenterai quelques applications de cette approche, illustrant son intérêt au-delà du cadre initial, en particulier dans le domaine d’apprentissage des préférences.

Date possible pour le colloquinte

Dans cet exposé, nous revisiterons un sujet classique de la théorie multiplicative des nombres. Inspirés par les travaux de Hildebrand et Tenenbaum, notre objectif est d’obtenir une formule asymptotique en petits intervalles pour le nombre d’entiers ayant exactement k diviseurs premiers distincts. Nous mettrons l’accent sur l’uniformité en k, ainsi que sur la structure anatomique typique des entiers $E_k$.

We discuss the method of picking a convenient coordinate system adapted to vector fields. Let $X_1, …, X_q$ be either real or complex $C^1$ vector fields. We discuss the question of when there is a coordinate system in which the vector fields are smoother (e.g. $C^m$ or $C^\infty$, or real analytic). By answering this in a quantitative way, we obtain coordinate charts which can be used as generalized scaling maps. When the vector fields are real this is joint work with Stovall, and continues in the line of quantitative sub-Riemannian geometry initiated by Nagel, Stein, and Wainger. When the vector fields are complex one obtains a geometry with more structure which can be thought of as “sub-Hermitian”.

Dans ces exposés, nous étudierons la convergence de marches aléatoires, sur les groupes quantiques finis de Sekine, définies à  partir de combinaisons linéaires des caractères irréductibles. Après avoir présenté les différents objets, nous utiliserons la théorie quantique de Diaconis et Shahshahani, introduite par McCarthy, pour borner la distance à  l’état de Haar. Nous réaliserons ensuite une classification des comportements asymptotiques en déterminant, s’il existe, l’état limite.

Résumé

La description quantique et relativiste des particules élémentaires a rapproché de manière considérable les notions de force et de matière. Les deux sont décrites en termes de champs; ce qui les distingue est le spin: entier pour la force, demi-entier pour la matière. Dans le second cas, la limite classique nécessite de travailler dans une catégorie de supervariétés. Dans cet exposé, nous commencerons par définir l’extension naturelle de la mécanique classique d’une particule aux supervariétés, puis nous procéderons à  sa quantification. La mécanique quantique supersymétrique ainsi obtenue fournit un cadre naturel qui permet d’établir, ne serait-ce qu’à  un niveau heuristique, la formule de Atiyah-Singer donnant l’indice de l’opérateur de Dirac. Après une brève discussion des notions requises, nous tenterons de présenter les arguments, remontant à  Witten, qui mènent à  la formule de l’indice, en se basant sur la localisation d’une intégrale de chemin dans la supervariété des lacets.

https://iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

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In this talk, I will explain a joint work with Carey, Rennie and Sukochev, where we prove a local index formula for non-unital semi-finite spectral triples. Coverings of manifolds of bounded geometry, group actions on $C^*$-algebras, Moyal plane, provide examples.

https://iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

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Les équations classiques de l’hydrodynamique (Euler, Navier-Stokes) sont non-locales à travers le terme de pression. Des modèles simplifiés comme l’équation de Burgers se focalisent sur un champ scalaire pour enlever les contraintes géométriques. Nous présentons ici une variante non-locale des équations de Burgers, dont les instabilités sont liées au signe local de la solution, avec des résultats obtenus en collaboration avec R. Shvydkoy, C. Imbert, J. Tan, R. Anton et K. Verdure.

Résumé à venir

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De manière analogue aux applications harmoniques classiques, qui sont les points critiques de l’énergie de Dirichlet, les applications s-harmoniques fractionnaires sont définies comme les points critiques de l’énergie de Dirichlet associée à  la puissance s du Laplacien, pour s dans (0,1). Dans cet exposé, après quelques rappels sur les applications harmoniques classiques, je présenterai le cadre fractionnaire et les résultats de régularité partiels que nous avons obtenus pour les applications à  valeurs sphère. Lorsque s=1/2, je ferai également le lien avec les surfaces minimales à  bord libre, qui nous a permis d’améliorer des résultats connus de régularité partielle dans le cas 1/2 minimisant.

Résumé

This talk is concerned with a geometric inverse problem related to the two-dimensional linear elasticity system. Thereby, voids under Navier’s boundary conditions are reconstructed from the knowledge of partially over-determined boundary data. The proposed approach is based on the so-called energy-like error functional combined with the topological sensitivity method. The topological derivative of the energy-like misfit functional is computed through the topological-shape sensitivity method. Firstly, the shape derivative of the corresponding misfit function is presented. Then, an explicit solution of the fundamental boundary-value problem in the infinite plane with a circular hole is calculated by the Muskhelishvili formulae. Finally, the asymptotic expansion of the topological gradient is derived explicitly with respect to the nucleation of a void. Numerical tests are performed in order to point out the efficiency of the developed approach.

Résumé

Le flot binormal est un modèle pour la dynamique d’un tourbillon filamentaire dans un fluide 3-D incompressible non-visqueux. Ce flot est également relié au modèle de Heisenberg continu classique, et à  l’équation de Schrödinger. Après avoir décrit ce modèle, je vais présenter une classe de solutions qui génèrent des singularités en temps fini. En particulier, je vais mettre en évidence une énergie conservée en temps sauf au moment de l’apparition des singularités, o๠elle présente un saut. Interprétée au niveau de la mécanique des fluides, cette énergie fait intervenir les grands modes de Fourier de la variation de la direction de vorticité. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Luis Vega.

Nous étudions un système modélisant la dynamique d’une structure élastique immergée dans un fluide visqueux incompressible. Le mouvement du fluide est modélisé par les équations de Navier-Stokes et les déplacements élastiques suivent l’équation d’élasticité linéaire. Nous obtenons l’existence de solutions régulières locales en temps pour ce système.

Je présenterai un procédé général pour approcher un problème d’optimisation topologique de formes par un problème d’optimisation de densité. La construction repose sur l’utilisation d’un opérateur de régularisation (filtre) et d’un profil d’interpolation pour munir les régions de densité intermédiaire de propriétés spécifiques. Le résultat principal est que, sous certaines hypothèses et dans un certain sens, la dérivée de Fréchet du problème approché converge vers la dérivée de forme du problème initial sur la frontière du domaine et la dérivée topologique en dehors. Cela apporte un point de vue nouveau sur la construction de schémas d’interpolation consistants. Je présenterai différents algorithmes associés et les illustrerai par des exemples en optimisation de (micro)structures élastiques. J’aborderai également la prise en compte d’une pénalisation périmétrique afin de régulariser les domaines obtenus. Travail en collaboration avec C. Dapogny (LJK, Univ. Grenoble-Alpes) et A. Ferrer (CMAP, Ecole Polytechnique).

Dans cet exposé, nous présenterons les schémas de bi-projection récemment développés pour la discrétisation en temps des équations de Navier-Stokes incompressibles isothermes avec une rhéologie visco-plastique (Bingham, Drucker-Prager). La difficulté principale, tant du point de vue de l’analyse mathématique que de l’approximation numérique, est due à  la non-différentiabilité de la partie plastique du tenseur des contraintes dans les régions de l’espace o๠le tenseur des déformations est nul. Une formulation basée sur une réécriture de la définition de la partie plastique du tenseur en terme d’une projection est utilisée. Un nouveau schéma de semi-discrétisation en temps, basé sur un schéma de projection incrémental classique pour les équations de Navier-Stokes dans le cas des fluides newtoniens, est proposé. Le tenseur plastique est traité en implicite dans l’étape de prédiction du schéma de projection et un algorithme de point fixe est utilisé pour son évaluation. Un terme de pseudo-relaxation temporel est ajouté dans la projection de Bingham afin d’assurer une convergence rapide (géométrique) du point fixe. Des analyses de stabilité et d’erreurs du schéma numérique ont été obtenues dans un premier travail dans le cas d’écoulements homogènes puis étendues au cas d’écoulements à  densité, viscosité et seuil de plasticité variables. Des résultats numériques d’écoulements dans une cavité entraînée 2D ainsi que d’instabilités de Rayleigh-Taylor seront présentés afin de montrer l’efficacité de la méthode de bi-projection. Enfin, des applications à  des écoulements géophysiques seront discutées.

Dans cet exposé, je passerai en revue un certain nombre de résultats récents sur les équations de Hamilton-Jacobi diffusives, de la forme $u_t-Delta u=|nabla u|^p+h(x)$. Ce type d’équations, qui interviennent en théorie du contrôle stochastique, mais aussi dans certains modèles de croissance de surface, donnent lieu à  une variété de comportements intéressant. Nous nous intéresserons en particulier à  deux classes de phénomènes: – Explosion du gradient: localisation des singularités au bord, explosion en seul point, vitesses d’explosion, profils en espace, estimations de type Bernstein, théorèmes de type Liouville et applications; – Continuation au sens de viscosité après l’explosion du gradient: solutions avec ou sans perte de conditions au bord, récupération des conditions au bord, régularisation.

Dans cet exposé, nous allons rappeler deux ou trois définitions du Laplacien fractionnaire dans $R^N$ qui sont toutes équivalentes. Puis nous montrons que chacune des définitions donne un “Laplacien fractionnaire” dans le cas d’un domaine ouvert borné de $R^N$. Enfin, nous présentons des simulations numériques pour illustrer la différence entre les “Laplaciens fractionnaires” les plus étudiés dans la littérature.