Une blockchain est une base de données décentralisée permettant de sécuriser l’information transactionnelle entre utilisateurs. Cet exposé débutera par une introduction à la technologie blockchain et à ses applications en finance et en assurance. Nous présenterons ensuite quelques modèles probabilistes simples permettant d’évaluer un système blockchain selon trois dimensions : la sécurité, l’efficacité et la décentralisation. La sécurité désigne la résistance de la blockchain aux attaques ; nous illustrerons ce point avec l’exemple de l’attaque par double dépense. L’efficacité correspond à la quantité de données traitée par unité de temps. Enfin, la décentralisation reflète la répartition du pouvoir de décision parmi les membres du réseau assurant le maintien de la base de données.

Salle Jacques-Louis Lions (A006) du bâtiment de l’Inria (en face de l’accueil)

Les pratiques agricoles créent des habitats spatialement hétérogènes qui influencent la survie, la dispersion et la diversité des espèces présentes. Compte tenu de la crise actuelle de la biodiversité et de la nécessité de subvenir aux besoins d’une population humaine croissante, il est essentiel de concevoir des stratégies de gestion agricole qui concilient les objectifs de rendement et de conservation.

Dans ce travail, nous introduisons un modèle de métacommunauté qui représente la dynamique écologique de plusieurs espèces en compétition dans une zone agricole. Nous partons d’un processus stochastique à valeur mesure qui décrit la dynamique de métacommunauté sur un réseau aléatoire formé par un nombre fini de patchs, uniformément repartis dans le paysage agricole. Celui-ci converge vers l’unique solution d’un système d’équations intégro-différentielles, lorsque le nombre de patchs tend vers l’infini. Dans le cas où la métacommunauté ne contient que deux espèces, nous étudions le comportement en temps long du modèle déterministe afin de déterminer quelles espèces parviennent à survivre. Enfin, nous procédons à une étude par simulations pour explorer les possibilités de réconciliation des objectifs de rendement et biodiversité.

Travail en collaboration avec Nicolas Loeuille (iEES, Sorbonne Université) et Manon Costa (IMT).

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Date possible pour le colloquinte

Many arguments in mathematics rely on the introduction of an auxiliary function that is compactly supported. Sometimes this compactly supported function is required to satisfy some additional regularity, but this cannot be pushed too far. It can for instance not be analytic as follows by the identity principle.

In this talk, we wish to present a technique that may bypass this obstruction. Namely, instead of considering a single function, we shall construct a sequence of function that are supported in the same compact, and satisfy some good uniform bounds on their derivatives.

This method is a powerful tool as it can, in some circumstances, turn a heuristic argument relying on a compactly supported analytic auxiliary function, into a rigorous proof. As an application, we shall discuss how this technique leads to improvements in some quantified Tauberian theorems.

I will review the strategy of integration of Lie n-algebroids to Lie n-groupoids using the “path method” coming from Sullivan’s Rational Homotopy Theory. I will then explain how to solve the main analytic problem of this strategy, which is to show that the spaces of solutions of generalized Maurer-Cartan equations are actually manifolds. These results can be used to show that a “local integration” of Lie algebroids indeed produces local Lie n-groupods. Based on a joint work with Michal Å iraň.

Après une introduction aux groupes hautement transitifs et aux groupes agissant sur un arbre, je présenterai un résultat récent, en collaboration avec F. Le Maître, S. Moon et Y. Stalder caractérisant les groupes agissant sur un arbre qui sont hautement transitifs.

Résumé

On Euclidean space, the Fourier transform intertwines partial derivatives and coordinate multiplications. As a consequence, solutions to a constant coefficient PDE $p(D)u=0$ are mapped to distributions supported on the variety ${p(x)=0}$. In the context of unitary representation theory of semisimple Lie groups, so-called minimal representations can often be realized on Hilbert spaces of solutions to systems of constant coefficient PDEs whose inner product is difficult to describe (the non-compact picture of a degenerate principal series). The Euclidean Fourier transform provides a new realization on a space of distributions supported on a variety where the invariant inner product is simply an $L^2$-inner product on the variety (by the work of Vergne-Rossi, Sahi, Kobayashi-à˜rsted and Möllers-Schwarz). Recently, similar systems of differential operators have been constructed on Heisenberg groups. In this talk I will explain how to use the Heisenberg group Fourier transform to obtain an $L^2$-model for minimal representations in this context.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

Il s’agit d’un travail en commun avec Bénoit Dhérin (Dublin) publié en 2015. Le dual d’une algèbre de Lie g (réelle de dimension finie) est une variété de Poisson grâce au crochet de Kostant-Kirillov-Souriau (KKS). Le starproduit de Simone Gutt en fournit une quantification par déformations et est lié à  l’intégration d’une algèbre de Lie en groupe de Lie. Une algèbre de Leibniz (à  gauche, réelle de dimension finie) est un espace vectoriel h muni d’un crochet qui vérifie que le crochet est une dérivation de lui-même: [x,[y,z]] = [[x,y],z] + [y,[x,z]]. C’est une généralisation non forcément antisymétrique des algèbres de Lie. D’o๠la question (d’Alan Weinstein) de savoir dans quel sens les duaux d’algèbres de Leibniz sont des variétés de Poisson et si elles admettent une quantification par déformation. Nous répondons dans notre travail avec B. Dhérin à  ces deux questions. La démarche est la suivante: Cataneo-Dhérin-Weinstein ont introduit des micromorphismes entre germes de variétés symplectiques afin de rendre la quantification fonctorielle. Dans leur théorie, des fonctions génératrices de micromorphismes jouent le rôle de phase dans des intégrale oscillantes (opérateurs Fourier intégraux). L’expansion en phase stationnaire de ces intégrales fournit alors la quantification par déformations. Nous construisons une fonction génératrice associée au crochet de Leibniz et obtenons ainsi une quantification par déformations des duaux d’algèbres de Leibniz. La notion de variété de Poisson généralisée qui en découle (limite semiclassique) est très faible. Le crochet de Poisson généralisée est l’évaluation en 0 en une variable du crochet KKS.

Dans cet exposé, après avoir énoncé un résultat concernant l’unicité et la non-dégénérescence des solutions radiales positives d’une classe d’équations elliptiques semi-linéaires, je m’intéresserai au cas particulier d’une équation de Schrödinger avec une non-linéarité donnée par une différence de puissances, i.e. $g(u)=u^q-u^p-mu u$ pour $p>q>1$ et $mu$ une constante positive. Dans ce cas, la non-dégénérescence de l’unique solution positive permet d’en analyser le comportement dans différents régimes du paramètre $mu$ et donne l’unicité des minimiseurs de l’énergie à  masse fixé dans certains régimes. Mon exposé est basé sur un travail en collaboration avec Mathieu Lewin.

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Programme :

10h30 – 11h00 | Accueil
11h00 – 12h30 | Groupe de travail –  Nabile Boussaid

Titre : TBA
Résumé : TBA

12h30 – 14h30 | Pause déjeuner

14h30 – 15h30 | Exposé – Killian Lutz

Titre : TBA
Résumé : TBA

16h00 – 17h00 | Exposé – Cristobal Loyola

Titre : TBA
Résumé : TBA

17h00 – 17h30 | Discussions

Programme

• 09h30 – 11h00 | Groupe de Travail –  Tristan Robert
  Titre : Sur la contrôlabilité locale exacte de l’équation de Schrödinger non-linéaire périodique
  Résumé : Dans cet exposé, on s’intéressera au contrôle local exact de l’équation de Schrödinger en dimension 1 avec conditions périodiques, en présence de contrôles bilinéaires, et au voisinage des modes propres. On commencera par passer rapidement en revue la méthode des moments, et en particulier les conditions naturelles sur les potentiels de contrôle, qui permettent d’obtenir la contrôlabilité du linéarisé. On expliquera ensuite en quoi ces conditions nécessitent de développer une théorie de Cauchy adaptée afin de pouvoir traiter le problème non-linéaire. On verra ainsi comment obtenir soit des résultats positifs de contrôle bilinéaire local exact, soit des obstructions topologiques à la contrôlabilité locale exacte, en fonction de la régularité des contrôles. Cet exposé est basé sur des travaux en cours en collaboration avec Rémi Buffe, Alessandro Duca, et Laurent Thomann.
• 11h00 – 11h30 | Pause café
• 11h30 – 12h30 | Exposé –  Nazim Kacher
  Titre : Backstepping de Fredholm pour les opérateurs auto-adjoints et application à la stabilisation rapide d’équations paraboliques en toute dimension
  Résumé : Le backstepping de Fredholm est un outil de stabilisation rapide, qui relie une équation à stabiliser à une équation cible, via une certaine transformation. Cette méthode se voyait jusque là contrainte à la dimension 1 en espace car pas adaptée pour gérer la croissance des valeurs propres.
  Dans cette présentation, nous montrerons comment l’introduction d’une projection spectrale dans l’équation cible nous débarasse de cet obstacle et nous permet d’appliquer le backstepping à des équations paraboliques en dimension quelconque. Ce travail est en collaboration avec Hoai-Minh Nguyen (Sorbonne Université) et Ludovick Gagnon (Inria Lorraine).
• 12h30 – 14h30 | Pause déjeuner
• 14h30 – 15h30 | Exposé –  Eugenio Pozzoli
  Titre : Approximate controllability of bilinear wave equations in minimum time in dimensions 1 and 2
  Résumé : This talk is devoted to the global approximate controllability (GAC) of a bilinear wave equation posed on the 1 or 2-dimensional torus. The Lie algebra generated by the control potentials and the drift satisfies a certain density property. The initial state W_0 is not the zero state. Let r(W_0) be the radius of the largest ball contained in the zero set Z(W_0) of W_0. We show that the minimum time for GAC from W_0 is equal to r(W_0). We present some ideas of the proof, based on Lie bracket methods à la Duca-Nersesyan, and the forward propagation of well-prepared positive states. We also discuss some weaker results in dimensions higher than 2 (such as the GAC from any initial state in sufficiently large time, and the small-time GAC from any initial state W_0 when Z(W_0) has zero Lebesgue measure). This is a joint work in collaboration with Karine Beauchard and Thomas Perrin.
• 15h30 – 16h30 | Exposé –  Hugo Parada
  Titre : Well-posedness and control of the KdV equation on star networks
  Résumé : In this talk, we address well-posedness and control issues for the Korteweg–de Vries (KdV) equation posed on star-shaped networks. We present sharp global well-posedness results for nonhomogeneous boundary value problems and analyze stabilization, as well as exact and null controllability properties. Particular attention is paid to the role of critical lengths, localization of the controls, and control constraints. This talk is based on joint work with E. Crépeau, C. Prieur, R. A. Capistrano-Filho, and J. S. da Silva.

Résumé à venir

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Kernel-based methods are central to modern data analysis, supporting nonlinear regression, forecasting, and advanced function approximations and extensions. Here, we introduce two multiscale kernel constructions, adapted for three distinct application settings, each centered
around function approximations and extension schemes.

First, a multiscale iterative scheme is used to enhance coarse-grid finite-difference computations, enabling accurate fine-grid solutions. This same iterative scheme is also employed in a spatiotemporal kernel regression model, which fuses information from multiple spatial locations. This approach yields accurate forecasts across diverse real-world datasets, including solar energy productions, epidemiological trends, and fire-events dynamics.
Finally, a second construction uses high-order multiscale kernels, which are constructed via combinations of scaled Gaussians. This approach preserves more spectral energy in the leading modes and enhances Nyström-type extensions and out-of-sample embeddings in manifoldlearning settings.
Altogether, these contributions offer a unified multiscale perspective. By capturing data geometry with kernels and transferring information across scales and modalities, the framework enables a robust yet simple scheme for approximations and extensions. This approach is readily applicable to a wide range of scientific problems.

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Dans cette deuxième partie, on appliquera la méthode d’éclatement à deux problèmes qui mènent à des
résultats atypiques. Le premier exemple correspond à un problème de diffusion de la chaleur dans
un milieux à deux composantes complémentaires périodiques, à l’interface imparfaite (la température
présente un saut sur cette interface). La particularité de ce problème vient du fait qu’après
homogénéisation, la température limite est donnée comme combinaison de deux températures
distinctes, chacune étant définie sur tout le domaine initial. Les deux températures vérifient un système
couplé, connu dans la littérature comme « système de Barenblatt ». Le deuxième exemple correspond à
un problème de diffusion de la chaleur à double conductivité et sa particularité vient du fait qu’après
homogénéisation, la température limite est donnée comme la somme de deux termes, le premier étant
la solution d’un problème homogénéisé classique et le deuxième étant la moyenne sur la cellule de
périodicité de la solution d’un problème local.

Dans cette première partie, on présente la définition et quelques propriétés relatives à la méthode
d’éclatement, méthode spécifique pour l’homogénéisation de problèmes périodiques, c’est-à-dire des
problèmes pour lesquels la géométrie et/ou des caractéristiques physiques sont des fonctions
périodiques de certaines variables d’espace, la périodicité étant caractérisée par un petit paramètre
strictement positif. La présence du petit paramètre rend impossible la résolution numérique de ces
problèmes. Le processus d’homogénéisation consiste à faire tendre le petit paramètre vers zéro dans le
problème initial, ce qui conduit à l’obtention d’un problème homogénéisé. Ce problème, qui est une
bonne approximation du problème initial, peut être résolu numériquement. Il fournit ainsi une solution
approchée de la solution initiale. On va illustrer cette méthode en l’appliquant à un problème très
simple, celui de la diffusion de la chaleur dans un milieu périodique.

Au début de l’exposé, j’introduirai les problèmes d’évolution qui prennent la forme d’inclusions différentielles. Ensuite je préciserai un cadre théorique où celles-ci sont bien posées et enfin je proposerai un schéma numérique adapté avec un ordre de convergence égal à 1/2.

In this talk we present the problem of designing infinite-dimensional observers for infinite-dimensional systems. We consider the situation where only boundary measurement is available. Infinite-dimensional Luenberger-like observers are elaborated to infinite-dimensional dynamical systems in the abstract framework of semigroup systems. Exponential convergence of the proposed observers is guaranteed in the abstract framework by using the Lyapunov techniques. As examples explicit observers are worked out for PDE systems such as Euler-Bernoulli elastic beam systems and water wave systems. Thanks to observability property exponential or strong convergence of the designed observers is established with the convergence rate estimated in function of parameters of the observed systems, which is a desirable property for practical applications.

Après une courte introduction, je montrerai dans cet expose comment on peut établir, au niveau numérique, des propriétés d’hypocoercivité discretes pour des méthodes d’intégration en temps de l’équation de Fokker–Planck linéaire, qui assurent notamment la convergence exponentielle en temps long de la solution numérique vers un état d’équilibre discret. On utilisera pour cela une méthode de preuve à la Villani, adaptée au contexte discret. Il s’agit d’un travail en commun avec Frédéric Herau (Nantes) et Pauline Lafitte (CentraleSupelec).

Les EDPs elliptiques du type $\Delta f = |\nabla f|^2$ sortent du cadre
classique de l’analyse par Calderon-Zygmund et admettent des solutions non
régulières. Il est remarquable de constater que l’équation $\Delta \phi =
|\nabla \phi|^2 \phi$, $\phi \in \mathbb S^2$, elle, satisfait une régularité. Ce
contraste ne peut s’expliquer analytiquement : les deux équations ont les
mêmes croissances, la même forme, le même comportement extérieur. Il faut
faire appel à une intuition géométrique, et à des résultats de compacité par
compensation pour expliquer cette divergence.

Cette procédure, cette idée, cette méthode, se retrouve pour analyser
d’autres équations, au deuxième ordre l’ensemble des équations harmoniques,
et au quatrième ordre, l’équation des surfaces de Willlmore.

Nous aborderons la régularité de ces solutions, et le comportement des
suites en mettant en évidence les phénomènes de concentration, conditionnés
par l’analyse des équations. Enfin nous exploiterons les liens entre les
deux problèmes pour en tirer des applications.

Le but de l’exposé est de comprendre la preuve du théorème de De Philippis et Rindler (2016) qui redémontre et généralise dans un cadre beaucoup plus étendu le fameux théorème dit “Rang-1” d’Alberti (1993). Pour rappel, celui-ci stipule que toute mesure (à valeurs Matrices) qui est Curl-free doit avoir une partie singulière de rang-1, répondant en particulier à une question de De Giorgi et Ambrosio à propos des fonctions BV. De Philippis et Rindler ont récemment généralisé ce résultat en découvrant une nouvelle preuve assez astucieuse basée sur la théorie de Fourier, ayant d’autres applications intéressantes. Nous nous efforcerons de faire des rappels introductifs de manière à comprendre au mieux la preuve sans trop de pré-requis, ainsi que ses principales applications.

Les notes de l’exposé d’Antoine Lemenant sont disponibles sur sa page web, en suivant ce lien.

1. Lien entre l’hydrodynamique quantique et les équations de Schrödinger non linéaires
2. Vitesse de propagation maximale pour les équations de Schrödinger