In a landmark paper, Scott Sheffield introduced a famous bijection, called the “hamburger-cheeseburger” bijection, to encode a certain model of random planar maps as a certain queue model in a kitchen selling hamburgers and cheeseburgers. Under this correspondence, natural geometric observables have a nice “burger” interpretation, for which Sheffield established scaling limit results. These scaling limits exhibit a phase transition in a special regime where the maps are believed to be “critical”. The goal of this talk is to present the analogue of these scaling limit results in the critical case, which can be thought of as the first convergence result of planar maps in the universality class of critical Liouville quantum gravity, in the so-called peanosphere sense. The talk is based on joint work with Xingjian Hu, Ellen Powell and Mo Dick Wong.

Many phenomena of interest in various applicative fields (epidemiology, neuroscience,…) can be idealized as interacting particle systems on random graphs. Various approaches have been proposed in recent years to develop tractable approximations of these dynamics that take the graph geometry and particle correlations into account. One of them, introduced by Lacker, Ramanan and Wu, focuses on dynamics on sparse graphs and their local limits. Analogously to mean-field models on complete and dense graphs, it is possible to establish so-called local-field equations on random trees that provide an autonomous description of the neighborhood of the root. In this talk, we will give a general overview of the local-field approach, as well as a recent result of quantitative propagation of chaos in this framework.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Date possible pour le colloquinte

La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique mot infini sur l’alphabet {1,2} qui commence par un “1” et est point fixe de l’opérateur de dérivation. En 1991, M.S. Keane conjecture que cette suite admet une fréquence d’1/2 pour la lettre “1”.

Les suites dites “auto-descriptives” sont une généralisation du mot d’Oldenburger-Kolakoski. Ces suites sont en bijection naturelle avec l’ensemble de toutes les suites sur l’alphabet {1,2} : une suite auto-descriptive est dite “dirigée” par son homologue naturelle sur {1,2}. Est-il possible d’inférer les fréquences de lettres de l’une à partir de l’autre ?

Je présenterai dans cet exposé deux approches à cette question : l’une probabiliste (Boisson, Jamet, Marcovici — 2024), l’autre analytique (Akiyama, Jamet, Marcovici, T.C. — 2024).

Many arguments in mathematics rely on the introduction of an auxiliary function that is compactly supported. Sometimes this compactly supported function is required to satisfy some additional regularity, but this cannot be pushed too far. It can for instance not be analytic as follows by the identity principle.

In this talk, we wish to present a technique that may bypass this obstruction. Namely, instead of considering a single function, we shall construct a sequence of function that are supported in the same compact, and satisfy some good uniform bounds on their derivatives.

This method is a powerful tool as it can, in some circumstances, turn a heuristic argument relying on a compactly supported analytic auxiliary function, into a rigorous proof. As an application, we shall discuss how this technique leads to improvements in some quantified Tauberian theorems.

En 1853, Tchebychev a remarqué que, pour la plupart des réels $x\geq 2$, il y a une prédominance des nombres premiers $\leq x$ congrus à $3$ modulo $4$ par rapport aux nombres premiers $\leq x$ congrus à $1$ modulo $4$. Depuis, plusieurs généralisations de ce phénomène ont été étudiées, notamment dans le cas des courses de nombres premiers à plusieurs compétiteurs par Y. Lamzouri. Dans cette présentation, j’exposerai des résultats relatifs à la généralisation des travaux de Y. Lamzouri dans le contexte des anneaux de polynômes sur les corps finis. J’évoquerai également des résultats concernant les courses de polynômes irréductibles à 2 compétiteurs. En particulier, je donnerai des exemples de courses de polynômes irréductibles à 2 compétiteurs où les densités s’annulent.

Depuis leur introduction par Borel en 1909, les nombres normaux ont fait l’objet de nombreuses constructions diverses.
Si il n’existe aucune construction simple d’un nombre absolument normal, c’est à dire normal en toute base entière, différentes méthodes algorithmiques existent pour en générer.
Un grande partie du travail que j’ai effectué au cours de ma thèse a consisté en la fusion de deux algorithmes de construction de nombres normaux dans un plus grand ensemble de bases : le premier, par Madritsch, Scheerer et Tichy (2016) construit un nombre normal en toutes bases Pisot et le second, par Becher et Yujhtmann (2017) un nombre normal et toutes bases entières ainsi qu’en base fractions continues. Dans le cadre de cet exposé je présenterai le fonctionnement d’un algorithme de construction d’un nombre normal en bases Pisot et fractions continues, et traiterai de l’impact de la propagations de retenues en bases Pisot.

We prove the following structural result, resembling the Arithmetical Regularity Lemma of B. Green, and Graph Container Theorem in hypergraphs:
Lemma: Let $A_1,A_2,\ldots,A_k\subset\mathbb{F}_p$ be such that $|A_i| \gg p$ for all $i$. Assume that $(A_1 * A_2 * \ldots * A_k)(a) = o(p^{k-1})$ for some $a \in \mathbb{F}_p$.
Then there exist sets $W_1, \ldots, W_k$, which we call wrappers, and sets $Y_1, \ldots, Y_k$, such that:
$(W_1 * W_2 * \ldots * W_k)(b) = o(p^{k-1})$ for some $b \in \mathbb{F}_p$ , $A_i \setminus Y_i \subseteq W_i$ and $|Y_i| = o(p)$ for all $i$, $|W_i|_{\omega} = p^{o(1)}$ for all $i$, where $|\cdot|_{\omega}$ is a Wiener norm.
As a consequence of wrappers having a small Wiener norm, we obtain the following results.
If $A(A+A)$ does not cover all nonzero residues in $\mathbb{F}_p$, then $|A| \leqslant p/8 + o(p)$.
If $A$ is both sum-free and satisfies $A = A^*$, then $|A| \leqslant p/9 + o(p)$.
If $|A| \gg \frac{\log\log{p}}{\sqrt{\log{p}}}p$, then $|A + A^*| \geqslant (1 – o(1))\min(2\sqrt{|A|p},p)$.
Constants 1/8, 1/9, and 2 are optimal.
To obtain this result, we use Croot-Laba-Sisask Lemma and properties of Wiener norms.
This continues the work of A. Balog, K. Benjamin, P.-Y. Bienvenu, K. Broughan, F. Hennecart, B. Murphy, M. Rudnev, I. Shkredov, I. Shparlinski, and E. Yazici.

Let $X=G/K$ be a Riemannian symmetric space of non compact type with real rank one. For $\lambda \in \mathbb{C}$ and $f$ an integrable function on the Furstenberg boundary $K/M$, the Poisson transform $P_\lambda$ of $f$ is given by

$
(P_\lambda f)(x)=\int_{K/M} e^{(i\lambda+\rho)A(x,b)}f(b)db, \quad \mbox{for} \; x\in X.
$

The aim of this talk is to present a necessary and a suffucient condition on eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator associated to $X$ with eigenvalue $-(\lambda^2+\rho^2)$ to have an $L^p$-Poisson integral representations on the boundary $K/M$. A special discuss of the case of the exceptional symmetric space.

Among all positional numeration systems, the widely studied Bertrand numeration systems are defined by a simple criterion in terms of their numeration languages. In 1989, Bertrand-Mathis characterized them via representations in a real base $\beta$. However, the given condition turns out to be not necessary. In this talk, I will present a correction of Bertrand-Mathis’ result. The main difference arises when $\beta$ is a simple Parry number, in which case two associated Bertrand numeration systems are derived. Along the way, we define a non-canonical $\beta$-shift and study its properties analogously to those of the usual canonical one.

Dans cet exposé, je présenterai les différents résultats de ma thèse. Ces travaux se situent à l’intersection entre les mathématiques et l’informatique théorique.

Une suite pseudo-aléatoire, bien qu’engendrée par un algorithme déterministe, possède un comportement proche de celui d’une suite aléatoire. Nous nous intéressons à différentes mesures de complexité d’une suite pseudo-aléatoire, qui décrivent le comportement d’une suite aléatoire. De l’autre côté du spectre, les suites automatiques sont des suites profondément non aléatoires. La suite de Thue—Morse et la suite de Rudin—Shapiro sont des célèbres exemples de suites automatiques. Cependant certaines sous-suites des suites automatiques, comme les sous-suites polynomiales, sont bien plus aléatoires.

Dans un premier temps, nous exposerons les résultats des deux premiers articles. Ces deux articles étudient la complexité d’ordre maximal d’une suite, qui quantifie l’imprédictibilité d’une suite par un registre à décalage à rétroaction (FSR). Le premier article répond à une question de Sun et Winterhof (2019) sur la complexité d’ordre maximal de la suite de Thue—Morse le long de tout polynôme unitaire. Nous étudions ensuite le système de numération de Zeckendorf et sa fonction somme des chiffres est une suite morphique non-automatique. La suite de Fibonacci—Thue—Morse est l’analogue à celle de Thue—Morse en base de Zeckendorf. Le deuxième article étudie la complexité d’ordre maximal de cette suite le long de tout polynôme et nous montrons un résultat relativement différent à précédemment.

Ensuite, nous exposerons les résultats du troisième article. Nous nous intéressons à la somme des chiffres binaires des carrés parfaits. Le premier résultat est dans la lignée des travaux de Hare, Laishram et Stoll sur les entiers impairs qui ont le même poids de Hamming que leur carré. Nous résolvons une partie des cas restants de leur étude. Le second résultat porte sur les carrés parfaits de poids 4 et 5 et démontre partiellement une conjecture de Benett, Bugeaud et Mignotte.

La dernière partie de cette thèse porte sur les corrélations d’ordre $k$ de la suite de Rudin—Shapiro. Nous suivons les travaux de Aloui,Mauduit et Mkaouar sur les corrélations de la suite de Thue—Morse le long des premiers et établissons un résultat partiel sur les corrélations de la suite de Rudin—Shapiro le long des premiers.

La conjecture d’Artin stipule que l’ensemble des nombres premiers pour
lesquels un entier $a$ différent de $-1$ ou un carré parfait est racine
primitive admet une densité asymptotique parmi tous les premiers. En 1967
C.Hooley démontra cette conjecture sous l’hypothèse de Riemann généralisée.

La notion de racine primitive peut être étendue modulo un entier quelconque
en considérant alors les éléments du groupe multiplicatif engendrant des sous-
groupes de tailles maximales. Je parlerai de l’ensemble des presque premiers
pour lesquels un nombre $a$ est racine primitive généralisée, et montrerai que
l’on obtient, sous GRH, des résultats similaires à la conjecture d’Artin pour
les racines primitives.

Je vais présenter un problème d’optimisation à frontière libre analogue au problème de Alt-Caffarelli pour les fonctions biharmoniques. Ce problème apparaît dans différentes questions d’optimisation de forme, dont la minimisation de la trainée d’un obstacle dans un fluide sous contrainte de mesure, la minimisation de la première valeur propre de l’opérateur de Stokes (ou de flambage) dans les domaines du plan, etc.. On s’attend à ce que la frontière libre obtenue soit généralement une union de courbes lisses, pouvant se rejoindre avec un angle d’environ 1.43pi, et je présenterai plusieurs résultats allant dans ce sens.

C’est un travail en collaboration avec Jimmy Lamboley.

Résumé à venir

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Les fronts monostables sont des ondes propagées qui apparaissent dans
des contextes biologiques. Dans cette présentation on présentera les
mécanismes (instabilité VS transport et poids) qui garantissent la
stabilité de ces objets, et donc leur observabilité sur des grandes
périodes de temps. Les arguments seront valables à la fois pour des
équations paraboliques (réaction-diffusion) et hyperboliques (équations
de bilan).

L’équation non linéaire de Schrödinger (NLSE) est une équation différentielle partielle, en théorie classique des champs, qui trouve des applications importantes, comme la propagation de la lumière dans une fibre ou plus généralement d’ondes dans un guide, mais aussi le piégeage de condensat de Bose-Einstein. Cette équation permet également de décrire des phénomènes ondulatoires complexes dans les plasmas, sous certaines hypothèses. Plus précisément, elle permet de décrire l’évolution lente de l’enveloppe d’un paquet d’ondes dans un milieu dispersif (où les ondes se propagent à des vitesses différentes selon leurs longueurs d’ondes). Une des solutions de cette équation prend la forme de solitons ou de “rogue waves”, qui peuvent être observées et jouent des rôles majeurs dans les expériences plasmas. Cette équation, NLSE, peut être vue comme une version simplifiée, en une dimension de l’espace (+1 dimension de temps) de l’équation de Ginzburg–Landau.
Cet exposé se focalise sur les aspects de la dynamique des ondes plasmas qui peuvent être efficacement capturés par ce formalisme mathématique. Je m’efforcerai de mettre en avant les questions ouvertes que le physicien des plasmas aimerait voir abordées dans un cadre mathématique, notamment sur des systèmes plus complets d’équations aux dérivées partielles dont NLSE n’est qu’une limite obtenues après des hypothèses simplificatrices qui peuvent être discutables.

Nous rappellerons le formalisme Hilbertien de la mécanique quantique avant d’introduire des objets mathématiques spécifiques à la théorie quantique des champs : l’espace de Fock, les opérateurs de création, d’annihilation, de champ.
Nous illustrerons ce formalisme par l’exemple du Hamiltonien de Pauli-Fierz qui décrit un électron en interaction avec un champ de photons.

Dans cet exposé, nous présenterons la thématique de
l’optimisation de forme et certaines de ses applications dans des
problèmes réels. Nous nous concentrerons ensuite sur quelques problèmes
motivés par la question suivante : où devrions-nous placer un parc à
l’intérieur d’un quartier donné et comment devrions-nous le concevoir
afin de le rendre le plus proche (dans un sens pertinent) à tous les
habitants du quartier ? l’exposé est basé sur des travaux en
collaboration avec Zakaria Fattah (ENSAM, Maroc) et Enrique Zuazua (FAU,
Allemagne).

Dans cet exposé, je présenterai une nouvelle méthode numérique pour résoudre le problème de transmission scalaire avec des coefficients à changement de signe. En électromagnétisme, un tel problème de transmission peut se poser si le domaine d’intérêt consiste en un matériau diélectrique classique et un métal ou un métamatériau, avec, par exemple, une permittivité électrique qui est strictement négative dans le métal ou le métamatériau. La méthode est basée sur une reformulation du problème en un problème de contrôle optimal. Contrairement à d’autres approches existantes, la convergence de cette méthode est prouvée sans aucune condition restrictive sur le maillage utilisé ou sur la régularité de la solution du problème. Ces résultats sont illustrés par quelques expériences numériques.

Je présenterai des résultats sur le comportement en temps long des solutions d’équations cinétiques linéaires dans tout l’espace, où l’opérateur de collision satisfait les lois de conservation physiques (masse, quantité de mouvement et énergie) et les particules sont confinées via un potentiel extérieur. Il s’agit d’un travail en collaboration avec J. Dolbeault, F. Hérau, S. Mischler, C. Mouhot et C. Schmeiser.

Attention, le séminaire aura lieu exceptionnellement en salle Döblin.

Dans ces deux exposés, je parlerai de trois conjectures de Pólya qui sont toujours ouvertes.
Les deux premières sont très connues et concernent les valeurs propres du Laplacien, la 3ème est beaucoup
moins connue et est dans le domaine de la géométrie convexe.
Je présenterai des avancées récentes sur ces trois conjectures faisant appel à des techniques très différentes.

Cet exposé aura lieu exceptionnellement en salle Döblin, en raison de la journée de la FCH.

Nous rappellerons le formalisme Hilbertien de la mécanique quantique avant d’introduire des objets mathématiques spécifiques à la théorie quantique des champs : l’espace de Fock, les opérateurs de création, d’annihilation, de champ.
Nous illustrerons ce formalisme par l’exemple du Hamiltonien de Pauli-Fierz qui décrit un électron en interaction avec un champ de photons.