In a landmark paper, Scott Sheffield introduced a famous bijection, called the “hamburger-cheeseburger” bijection, to encode a certain model of random planar maps as a certain queue model in a kitchen selling hamburgers and cheeseburgers. Under this correspondence, natural geometric observables have a nice “burger” interpretation, for which Sheffield established scaling limit results. These scaling limits exhibit a phase transition in a special regime where the maps are believed to be “critical”. The goal of this talk is to present the analogue of these scaling limit results in the critical case, which can be thought of as the first convergence result of planar maps in the universality class of critical Liouville quantum gravity, in the so-called peanosphere sense. The talk is based on joint work with Xingjian Hu, Ellen Powell and Mo Dick Wong.

Many phenomena of interest in various applicative fields (epidemiology, neuroscience,…) can be idealized as interacting particle systems on random graphs. Various approaches have been proposed in recent years to develop tractable approximations of these dynamics that take the graph geometry and particle correlations into account. One of them, introduced by Lacker, Ramanan and Wu, focuses on dynamics on sparse graphs and their local limits. Analogously to mean-field models on complete and dense graphs, it is possible to establish so-called local-field equations on random trees that provide an autonomous description of the neighborhood of the root. In this talk, we will give a general overview of the local-field approach, as well as a recent result of quantitative propagation of chaos in this framework.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Date possible pour le colloquinte

La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique mot infini sur l’alphabet {1,2} qui commence par un “1” et est point fixe de l’opérateur de dérivation. En 1991, M.S. Keane conjecture que cette suite admet une fréquence d’1/2 pour la lettre “1”.

Les suites dites “auto-descriptives” sont une généralisation du mot d’Oldenburger-Kolakoski. Ces suites sont en bijection naturelle avec l’ensemble de toutes les suites sur l’alphabet {1,2} : une suite auto-descriptive est dite “dirigée” par son homologue naturelle sur {1,2}. Est-il possible d’inférer les fréquences de lettres de l’une à partir de l’autre ?

Je présenterai dans cet exposé deux approches à cette question : l’une probabiliste (Boisson, Jamet, Marcovici — 2024), l’autre analytique (Akiyama, Jamet, Marcovici, T.C. — 2024).

Many arguments in mathematics rely on the introduction of an auxiliary function that is compactly supported. Sometimes this compactly supported function is required to satisfy some additional regularity, but this cannot be pushed too far. It can for instance not be analytic as follows by the identity principle.

In this talk, we wish to present a technique that may bypass this obstruction. Namely, instead of considering a single function, we shall construct a sequence of function that are supported in the same compact, and satisfy some good uniform bounds on their derivatives.

This method is a powerful tool as it can, in some circumstances, turn a heuristic argument relying on a compactly supported analytic auxiliary function, into a rigorous proof. As an application, we shall discuss how this technique leads to improvements in some quantified Tauberian theorems.

Quatre exposés des équipes ATN et Géométrie, et de la bonhomie.

Les propriétés des chiffres des nombres premiers et de diverses autres suites de nombres entiers ont suscité beaucoup d’intérêt ces dernières années. Pour tout nombre entier naturel $k$, nous notons $\overleftarrow{k}$ le miroir de $k$ en base 2, défini par
$$
\overleftarrow{k} = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_j\,2^{n-1-j}
\quad
\mbox{ où }
\quad
k = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_{j} \,2^j
$$
avec $\varepsilon_j \in \{0,1\}$, $j\in\{0, \ldots, n-1\}$, $ \varepsilon_{n-1} = 1$. Une question naturelle est d’estimer le nombre de nombres premiers $p\in \left[2^{n-1},2^n\right[$ tels que $\overleftarrow{p}$ est également premier. Nous présenterons un résultat fournissant une majoration de l’ordre de grandeur attendu. Notre méthode est fondée sur une technique de crible. Elle nous permet aussi d’obtenir une bonne minoration du nombre de nombres entiers $k$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ ont au plus 8 facteurs premiers (comptés avec multiplicité). Enfin, nous présenterons une formule asymptotique pour le nombre de nombres entiers $k\in \left[2^{n-1},2^n\right[$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ sont sans facteur carré.

Il s’agit d’un travail en commun avec Cécile Dartyge, Bruno Martin, Joël Rivat et Igor Shparlinski.

Je commencerai par discuter brièvement l’analyse semi-classique pour introduire le concept de limites quantiques. Après cela, je donnerai un aperçu de la géométrie sous-Riemannienne et les récents développements en géométrie spectrale dans ce contexte, surtout en ce qui concerne les limites quantiques.

Avec Hadi Salmasian, nous avons récemment obtenu une classification des paires duales réductives irréductibles dans le supergroupe de Lie orthosympléctique, ainsi qu’une généralisation du théorème de double commutant pour l’algèbre de Weyl Clifford. En particulier, cela nous donne la dualité de Howe lorsque l’action du supergroupe (G, g) est semisimple. 

Je commencerai mon exposé par un (long) rappel sur la correspondance de Howe classique pour la représentation métapléctique et spinorielle (travail en commun avec Clément Guérin et Gang Liu), avant de présenter les résultats obtenus pour les supergroupes/superalgèbres.

Soient $N\geq 1$ et $\chi_1,…,\chi_N$ des caractères de Dirichlet primitifs, pairs et deux à deux distincts, de conducteur $q_1$, …, $q_N$ respectivement. Posons

\[F(s):=\sum_{j=1}^N c_j\varepsilon_jq_j^{s/2}L(s,\chi_j),\]

où $(\varepsilon_j)$ sont des complexes de module 1 tels que $F$ satisfasse une équation fonctionnelle et $c_j\in\mathbb R^*$. Nous distinguons les zéros de $F$ en deux catégories : des zéros dits triviaux, impliqués par cette équation fonctionnelle, et des zéros dits non-triviaux, confinés dans une bande verticale $V$. Nous notons $N(T)$ le nombre de zéros de $F$ dans le rectangle $\{z\in V:\Im(z)\in[0,T]\}$ et $N_0(T)$ le nombre de ces zéros étant sur la droite critique.

A la fin des années 90, Selberg donna les grandes lignes d’un raisonnement prouvant qu’une proportion positive de zéros non-triviaux de $F$ sont sur la droite critique, en établissant que

\[\kappa_F:=\liminf_T\frac{N_0(2T)-N_0(T)}{N(2T)-N(T)}\geq \frac c{N^2}\]

pour un $c>0$. Nous proposons alors d’améliorer et d’expliciter cette minoration, en démontrant en particulier que

\[\kappa_F\geq \frac{2.16\times 10^{-6}}{N\log N},\]

pour tout $N$ assez grand.

Mon exposé sera conçu comme une introduction au travail récent [hal-04231695]
en collaboration avec Pierre Germain (Imperial College) et Tristan Léger (Princeton).
Dans le cas des surfaces hyperboliques d’aire infinie, nous y établissons des estimations
$L^2-L^p$ quasi-optimales des projecteurs spectraux dans une petite fenêtre.
Je commencerai par rappeler l’origine du problème,
lié au théorème de restriction de Tomas-Stein dans le cas euclidien,
et par passer en revue différents cas d’études, où la réponse attendue est moins clair

The twin prime conjecture asserts that there are infinitely many primes p for which p+2 is also prime. This conjecture appears far out of reach of current mathematical techniques. However, in 2013 Zhang achieved a breakthrough, showing that there exists some positive integer h for which p and p+h are both prime infinitely often. Equidistribution estimates for primes in arithmetic progressions to smooth moduli were a key ingredient of his work. In this talk, I will sketch what role these estimates play in proofs of bounded gaps between primes. I will also show how a refinement of the q-van der Corput method can be used to improve on equidistribution estimates of the Polymath project for primes in APs to smooth moduli.

Dans cet exposé, nous présenterons la théorie de base des formes modulaires de poids demi-entiers
et quelques progrès récents sur les changements de signes des coefficients de Fourier d’une forme primitive de poids demi-entiers.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec Bin Chen et Yichao Zhang.

We study various kinds of Grassmannians or Lagrangian Grassmannians over R, C or H, all of which can be expressed as G/P where G is a classical group and P is a parabolic subgroup of G with abelian unipotent radical. The same Grassmannians can also be realized as (classical) compact symmetric spaces G/K. We give explicit generators and relations for the de Rham cohomology rings of G/P=G/K. At the same time we describe certain filtered deformations of these rings, related to Clifford algebras and spin modules. While the cohomology rings are of our primary interest, the filtered setting of K-invariants in the Clifford algebra actually provides a more conceptual framework for the results we obtain. This is joint work with Kieran Calvert and Kyo Nishiyama.

Je vais présenter un problème d’optimisation à frontière libre analogue au problème de Alt-Caffarelli pour les fonctions biharmoniques. Ce problème apparaît dans différentes questions d’optimisation de forme, dont la minimisation de la trainée d’un obstacle dans un fluide sous contrainte de mesure, la minimisation de la première valeur propre de l’opérateur de Stokes (ou de flambage) dans les domaines du plan, etc.. On s’attend à ce que la frontière libre obtenue soit généralement une union de courbes lisses, pouvant se rejoindre avec un angle d’environ 1.43pi, et je présenterai plusieurs résultats allant dans ce sens.

C’est un travail en collaboration avec Jimmy Lamboley.

Résumé à venir

Résumé à venir

Résumé à venir

Résumé à venir

On s’intéressera dans cet exposé à l’étude d’objets présentant un caractère singulier et des opérations mal posées, l’objet central étant l’opérateur d’Anderson, un opérateur de Schrödinger où le potentiel est un bruit blanc espace. Après avoir discuté de sa construction et des propriétés qui en découlent, on établira un contrôle de sa fonction de Green de l’opérateur afin de comprendre sa singularité.
Dans un deuxième temps, on s’intéressera à des dynamiques dirigées par cet opérateur et particulièrement à la construction de mesures invariantes dans ce cadre. On s’attardera sur la définition de la mesure gaussienne associée et son utilisation pour comprendre le modèle $\Phi^4_2$ dans un environnement régi par un bruit blanc espace. Après avoir construit la mesure invariante par des méthodes variationnelles, on s’intéressera aux propriétés qui découlent du point de vue dynamique : solutions globales, propriété de Feller et propriété de Feller forte.
Les résultat présentés sont basés sur des travaux en collaboration avec Antoine Mouzard et Tristan Robert.

L’algorithme word2vec (Mikolov et al, 2013) permet d’associer des vecteurs à des mots.
Ces plongements de mots, sous des formes plus sophistiquées, forment le cœur des Grands Modèles de Langues (LLM) utilisés par les outils d’IA dont tout le monde a entendu parler.
Si word2vec est présenté comme un algorithme de réseaux de neurones, il peut-être décrit très simplement comme un problème d’optimisation impliquant deux matrices et rien de plus.
Dans cet exposé, nous présenterons un état des lieux de notre compréhension de cet algorithme par une approche de rétro-ingénierie, et des questions ouvertes.

D’après un travail commun avec Didier Gemmerlé, Lionel Lenôtre, Pierre Mercuriali et Saïd Toubra.

On va montrer comment on peut définir le carré du module de la solution de l’équation de Schrödinger fractionnaire sur le tore avec condition initiale dans un espace de Sobolev arbitrairement singulier. Ensuite on va montrer comment cela peut être utile dans des estimations d’observabilité.

We give a light talk on optimality of shapes in geometry and physics.
First, we recollect classical geometric results that the disk has the largest area (respectively, the smallest perimeter) among all domains of a given perimeter (respectively, area).
Second, we recall that the circular drum has the lowest fundamental tone among all drums of a given area or perimeter and reinterpret the result in a quantum-mechanical language of nanostructures.
In parallel, we discuss the analogous optimality of square among all rectangles in geometry and physics.
As the main body of the talk, we present a joint work with Freitas in which we show that the disk actually stops to be the optimiser for elastically supported membranes, disproving in this way a long-standing conjecture of Bareket’s.
We also present our recent attempts to prove the same spectral-geometric properties in relativistic quantum mechanics.
It is frustrating that such an illusively simple and expected result remains unproved and apparently out of the reach of current mathematical tools.

De nombreux travaux ont été consacrés à la dérivation d’approximations asymptotiques
des solutions d’une équation elliptique, lorsqu’on perturbe le milieu par des inhomogénéités
de petit volume. Les termes des développements asymptotiques des solutions contiennent
des informations sur la localisation, la forme et les propriétés physiques des inhomogénéités,
qui ont été exploitées avec bonheur dans le contexte des problèmes inverses d’identification
.
Dans cet exposé, nous présentons des résultats concernant le comportement des solutions
lorsque l’on perturbe la condition au bord sur un `petit’ ensemble $\omega_\e$. Nous caractérisons
le terme de premier ordre du développement asymptotique en fonction de la mesure pertinente de
la taille de la perturbation $\omega_\e$. Nous donnons des exemples explicites lorsque $\omega_\e$
est une boule surfacique dans $\R^d, d=2,3$.

Ce travail a été réalisé en collaboration avec Charles Dapogny et Michael Vogelius.

In this talk, I will briefly recall the historical Kalman filter and its ensemble form. Then I will show how the latter has been successfully implemented for data assimilation, in particular in numerical weather forecasting. More recently, the Ensemble Kalman Filter has been proposed as a methodology for solving very general inverse problems in high-dimensional contexts. I will present the theory, show some simple applications and point out the numerous open problems that remain.

Il est bien connu que la reconstruction d’une donnée initiale associée à une équation parabolique à partir de mesures internes de sa solution pendant un temps T, sur un domaine $\omega$ appelé domaine d’observation équivaut à la question de l’observabilité, ou plus précisément à la positivité de ce qu’on appelle la constante d’observabilité associée à $\omega$. Cette constante dépend du domaine d’observation $\omega$ mais aussi de façon cruciale de l’horizon temporel T.  

Dans cet exposé, nous nous intéressons au positionnement optimal de capteurs thermiques. Il est raisonnable de modéliser cette question apr la recherche des domaines extrémaux (lorsqu’ils existent) maximisant cette constante d’observabilité. Pour être physiquement pertinent, nous imposons une restriction sur la mesure du domaine observé. 

Après avoir introduit une relaxation convexe du problème d’optimisation de la forme, nous déterminons le comportement asymptotique des maximiseurs lorsque T tend vers $+\infty$. En utilisant de façon cruciale un principe de la baignoire quantitatif, nous prouvons la forte convergence des maximiseurs vers la fonction caractéristique d’un ensemble mesurable que nous caractérisons précisément, et montrons en outre que cette convergence est exponentielle. 

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Idriss Mazari (univ. Paris Dauphine) et Emmanuel Trélat (Sorbonne univ.)

Le but de ce groupe de travail sera de comprendre (partiellement) les différentes équations de la mécanique des fluides afin de les reconnaître au détour d’un exposé ou de la lecture d’un papier.

Dans cette troisième partie, nous discuterons de l’entropie d’un fluide.

Les notes de ce groupe de travail se trouvent ici (merci à Jérémy).