Explorer la convergence de deux grandes théories des mathématiques appliquées qui coexistent depuis des décennies, mais sans vraiment se croiser : la théorie du contrôle et celle du blow-up. Voilà le défi relevé par l’action exploratoire BANG, portée par Ludovick Gagnon, chercheur Inria dans l’équipe Sphinx (*) du Centre Inria de l’Université de Lorraine et de l’Institut Elie Cartan de Lorraine. Des recherches très théoriques, mais avec à l’horizon des perspectives d’application en optique et en électronique.
Une zone peu explorée de la recherche mathématique
Derrière chaque phénomène physique se trouvent des équations pour le décrire et en prédire l’évolution. Parmi elles, les équations aux dérivées partielles, ou EDP, occupent une place particulière. Certaines sont d’ailleurs bien connues, comme celle de Schrödinger pour décrire le comportement des molécules en chimie et la propagation de signaux en fibre optique par exemple, ou celle de Navier-Stokes capable de modéliser l’écoulement des fluides. Dans ce contexte, une question se pose : le modèle mathématique d’un phénomène physique représente-t-il vraiment fidèlement la réalité ?
Lancée le 1er janvier 2026, l’action exploratoire (AEx) BANG va justement s’intéresser aux cas où les modèles ne sont pas en phase avec la réalité, pour voir comment les corriger avec la théorie du contrôle. « Cette étude est très théorique, annonce son responsable, Ludovick Gagnon, chargé de recherche au Centre Inria de l’Université de Lorraine. Elle vise à long terme à nous permettre de comprendre les différences en contrôle, entre les systèmes bien posés et ceux mal posés. ».
Un projet idéal pour l’action exploratoire
Hors des sentiers battus, cette recherche ambitieuse répond bien à l’engagement d’Inria de favoriser la prise de risque scientifique. Dans cette optique, les actions exploratoires sont justement destinées à soutenir des axes scientifiques novateurs, jugés trop risqués pour entrer dans le cadre de projets classiques.
Ainsi, l’action exploratoire BANG, lancée pour un an renouvelable jusqu’à quatre ans, permetd’investiguer une nouvelle branche des mathématiques et d’avancer rapidement sur des questions audacieuses. « Concrètement, ce soutien nous permet d’organiser des séjours de recherche, d’envisager l’accueil de doctorants et d’amorcer des discussions avec de futurs partenaires », se félicite Ludovick Gagnon.
Deux théories face à face : contrôle et blow-up
Cette action exploratoire se situe à la croisée de la théorie du contrôle et de celle du blow-up. Elle mobilise deux spécialistes de la théorie du contrôle, Ludovick Gagnon et Kévin Le Balc’h, chercheur Inria dans l’équipe-projet CAGE du Centre Inria de Paris, ainsi qu’un expert du blow-up, Hatem Zaag, directeur de recherche CNRS rattaché au laboratoire LAGA à l’Université Sorbonne Paris Nord. Ensemble, ils ambitionnent de répondre à des questions qui n’ont jamais été abordées scientifiquement.
Tout d’abord, pour mieux saisir leurs recherches, une définition de ces théories mathématiques s’impose. La théorie du contrôle fait référence à la capacité à modifier l’état d’un système par le biais d’actions. « Imaginez que vous conduisiez une voiture, décrit Ludovick Gagnon. Pour rejoindre votre lieu de travail depuis chez vous, vous utilisez l’accélérateur, le frein et le volant. Transposées aux mathématiques, ces commandes permettent d’effectuer une série d’actions pour atteindre l’objectif fixé. On dit alors que le système est contrôlable. » Derrière cet exemple du quotidien, il existe des applications bien plus complexes, telles que le lancement d’une fusée vers la lune. Dans ce dernier cas, il convient de calculer quand actionner le propulseur ou comment exploiter le champ gravitationnel de la Terre…
À l’opposé, la théorie du blow-up aborde les situations où une EDP est dite « mal posée ».Plutôt que de décrire un phénomène réaliste, le modèle mathématique se concentre en un point unique de l’espace, jusqu’à « exploser ». « C’est comme si, dans une pièce, la température était normale partout, sauf en un point où elle atteindrait plusieurs millions de degrés » illustre Ludovick Gagnon. Si cette situation s’avère absurde physiquement, elle est possible mathématiquement.
Faire dialoguer deux approches opposées
Ces deux théories travaillent en parallèle sur les EDP depuis un siècle environ. Toutefois, très peu de scientifiques ont osé franchir la frontière qui les sépare. C’est ce challenge que compte relever l’action exploratoire BANG. Premier objectif : étudier s’il est possible d’éviter qu’une EDP ne s’emballe et finisse par exploser, grâce à un contrôle bien choisi. Second objectif : à l’inverse, tenter d’exploiter les phénomènes d’explosion pour contrôler une EDP qu’on ne saurait pas maîtriser autrement.
« Cette question est contre-intuitive, reconnait Ludovick Gagnon. Mais prenons un exemple : si l’on veut aplatir les vagues de l’océan, alors qu’elles sont agitées, on peut tenter de toutes les concentrer en un seul point. Partout ailleurs, les vagues se calment. Il ne reste qu’à gérer ce point d’explosion et on résout le problème ! »
L’équation de la chaleur pour modèle
Aujourd’hui, l’action exploratoire n’en est qu’à ses débuts. Pour commencer, les trois chercheurs étudient l’équation de la chaleur non linéaire. « Nous avons l’intuition que les explosions mathématiques de ce modèle peuvent être empêchées par le contrôle », confie Ludovick Gagnon.
En effet, dans sa version non linéaire, cette EDP révèle des phénomènes de concentration qui focalisent la chaleur en un point. « C’est un peu comme si l’on pouvait créer un soleil dans une pièce, poursuit le chercheur. Bien que ce soit physiquement impossible, ce modèle purement théorique nous aide à comprendre le rôle de la non-linéarité dans le comportement des phénomènes physiques et à apprendre comment l’utiliser. » En mathématiques, l’étude de cas extrêmes sert souvent de révélateur, mettant à jour des mécanismes invisibles dans les situations ordinaires.
Des perspectives d’application en optique et en électronique
Bien que très théoriques, ces recherches ne sont pas dénuées de perspectives d’application. Ludovick Gagnon évoque notamment la propagation des signaux dans les fibres optiques des câbles sous-marins qui acheminent l’essentiel du trafic Internet intercontinental. Les signaux lumineux qui y circulent se dilatent, se dispersent et s’affaiblissent sous l’océan. Aujourd’hui, cette perte est compensée en renforçant le cœur de la fibre, une solution coûteuse et parfois insuffisante face à de nouvelles perturbations.
« Notre approche serait différente. Elle consisterait à anticiper la dilatation du signal le long de la fibre optique, résume le scientifique. Le fait de modifier le signal avant son émission exploite à la fois l’idée de contrôle, puisque l’on sait ce qu’il doit être à réception, et les propriétés de concentration, propres au blow-up, pour une transmission nette à l’arrivée. »
D’autres perspectives se dessinent aussi du côté des semi-conducteurs. « Le chemin à parcourir reste long, tempère Ludovick Gagnon, mais nous recherchons déjà des collaborations académiques et industrielles dans les secteurs de l’optique et de l’électronique, en vue d’applications concrètes de nos travaux. » À bon entendeur…
(*) Sphinx est une équipe-projet commune au CNRS, à Inria et à l’Université de Lorraine, au sein du Centre Inria de l’Université de Lorraine et de l’IECL (Institut Elie Cartan de Lorraine).
Ludovick Gagnon en six étapes clés
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En savoir plus
- Le mathématicien Hatem Zaag décoré de l’Ordre des Palmes académiques, CNRS, 14/10/2025.
- Blow up (vidéo), conférence de Rémi Carles, directeur de recherche CNRS à l’Institut de recherche mathématique de Rennes, Centre Henri Lebesgue, 22/5/2025.
- Contrôlabilité et stabilisation des systèmes (vidéo), conférence de Jean-Michel Coron (Sorbonne Université), CultureMath – Des mathématiques vivantes (DMA-ENS Ulm), 11/6/2018.
Article source : www.inria.fr