Soient $\mathcal{A}$ un ensemble fini d’entiers naturels non-nuls et $y \geq 1$. Nous donnons une minoration effective du cardinal de l’ensemble $\{n\in\mathcal{A} ; p|n \Rightarrow p \leq y\}$ sous la condition d’une bonne connaissance du niveau de répartition de l’ensemble $\mathcal{A}$. Quelques conséquences seront ensuite abordées, dont une application aux valeurs friables de polynômes ou de formes binaires à coefficients entiers, puis une application aux entiers friables voisins.

Soit $\pi(x)$ le nombre de nombres premiers dans l’intervalle $[1,x]$. Nous savons depuis Euclide que $\pi(x)$ tend vers l’infini, mais à quelle vitesse ?  La réponse à cette question fut obtenue pour la première fois en 1896 par Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée Poussin qui démontrèrent, de manière indépendante, le théorème des nombres premiers: \[\pi(x)\sim \frac{x}{\log x}\quad(x\to \infty).\]
La démonstration de Hadamard et La Vallée Poussin utilise principalement les propriétés de la fonction zêta de Riemann et donc l’analyse complexe. Ce n’est qu’en 1949 qu’Erdős et Selberg publièrent indépendamment la première démonstration élémentaire (utilisant uniquement l’analyse réelle) du théorème des nombres premiers. Dans cet exposé, nous présenterons le développement historique des démonstrations élémentaires du théorème des nombres premiers puis nous donnerons une version effective du théorème des nombres premiers de Lu qui, à ce jour, donne le meilleur terme d’erreur en utilisant des méthodes élémentaires.

La notion de fonction puissance d’un nombre entier, introduite par Mazur (2000) fait intervenir le noyau (ou radical) d’un entier. Cette fonction lui  permet de définir une généralisation des puissances (“powered numbers”). Après avoir rappelé des résultats récents sur le noyau d’un entier, nous présenterons des résultats nouveaux sur la fonction de répartition des puissances généralisées, ainsi que sur un problème additif concernant la représentation d’un entier comme somme de puissances généralisées. Ce travail a été réalisé en collaboration avec J. Brüdern.

Soient $G=\mathrm{Spin}(n, 1)$ et $P$ un sous-groupe parabolique minimal de $G$. Soit $\pi$ une représentation unitaire irréductible de $G$. Dans cet exposé, je vais parler de la restriction de $\pi$ à P. Il s’agit d’un travail en commun avec Y. Oshima et J. Yu.

Soit $b\geq2$ un entier et $\mathcal{N}_b=\{0,1,\ldots,b-1\}$ l’ensemble des chiffres associé. Tout nombre réel $x\in[0,1]$ admet une représentation de la forme \[x=\sum_{k\geq1} a_kb^{-k}=0.a_1a_2a_3\ldots,\] avec $a_k\in\mathcal{N}_b$. Le nombre $x$ est dit normal en base $b$ si pour tout entier $\ell\geq1$ toute suite $d_1\ldots d_\ell$ de longueur $\ell$ d’éléments de $\mathcal{N}_b$ a la même fréquence d’apparitions $b^{-\ell}$, i.e. \[\lim_{n\to\infty}\frac1n \#\left\{0\leq k< n\colon a_{k+1}=d_1,\ldots,a_{k+\ell}=d_\ell\right\} =b^{-\ell}. \]

Michel Mendés France a demandé s’il existe un nombre réel $x$ tel que $x$ et $1/x$ soient normaux en base $2$. Dans cet exposé nous allons construire un tel nombre et montrer qu’il est calculable. En particulier, nous allons montrer que $x$ et $1/x$ sont normaux en toute base $b\geq2$ et également normaux par rapport à l’écriture en fraction continue.

Il s’agit d’un travail en commun avec Verónica Becher de l’Université de Buenos Aires.

Introduction au problème des crochets de Poisson en théorie de champs classique (Tilmann Wurzbacher)

Approche quotient aux formes et champs hamiltoniens (Maxime Wagner)

Approche Lie infinie à la Baez-Rogers-Stasheff (Gabriel Sevestre)

Un ensemble de Sidon d’un semi-groupe est un ensemble dont toutes les sommes de deux éléments sont distinctes. Des travaux de Bose, Chowla et Erdős établissent que le cardinal maximal d’un ensemble de Sidon dans un intervalle d’entiers de cardinal $n$ est équivalent à $\sqrt{n}$. Nous nous intéresserons au cardinal maximal d’un ensemble de Sidon dans l’union (de cardinal $n$) de deux intervalles. Un résultat d’Abbott affirme qu’il est supérieur à $0,0805\sqrt{n}$. Nous améliorerons cette borne et prouverons que ce cardinal est en fait supérieur à $0,8444\sqrt{n}$. Nous parlerons également d’autres résultats à propos des ensembles de Sidon et d’une de leurs généralisations : les ensembles $B_2[g]$.

Je vais donner un survol des groupes quantiques semi-simples du point de vue géométrie non-commutative.  Je commencerai par expliquer la quantification des groupes de Lie semisimples compacts et complexes. Puis on discutera la géométrie des variétés de drapeaux quantiques, en commençant par l’exemple fondamental de la sphère de Podlès, une quantification de la sphère de Riemann $\mathbb{C}\mathbb{P}^1.$

Soient $\theta$ et $\rho$ des nombres réels avec $0 \le \theta, \rho < 1$ et $\theta$ irrationnel. Pour $n \ge 1$, posons $$ s_n := s_n (\theta, \rho) = \big\lfloor n \theta + \rho \big\rfloor – \big\lfloor (n-1) \theta + \rho \big\rfloor $$ Alors, le mot infini $$ {\bf s}_{\theta, \rho} := s_1 s_2 s_3 \ldots $$ est le mot sturmien (inférieur) de pente $\theta$ et d’intercept $\rho$, écrit sur l’alphabet $\{0, 1\}$. Nous explicitons le développement en fraction continue du nombre réel $$ \xi_{b, \theta, \rho} = (b-1) \, \sum_{n \ge 1} \, {s_n (\theta, \rho) \over b^n}. $$ Cela nous permet d’obtenir une formule donnant son exposant d’irrationalité en fonction de $\theta$ et du développement d’Ostrowski de $\rho$ en base $\theta$. Nous étendons ainsi un résultat classique de Böhmer (1927) qui ne couvre que le cas où $\rho = \theta$ et contient par exemple la surprenante égalité $$ \sum_{j \ge 1} {1 \over 2^{\lfloor j \gamma \rfloor} } = [0; 1, 2, 2, 2^2, 2^3, 2^5, 2^8, 2^{13}, 2^{21}, \ldots ], \quad \gamma = {1 + \sqrt{5} \over 2}. $$ Il s’agit d’un travail en commun avec Michel Laurent.