Motivé par ses travaux et ceux de Behrend dans les années 30 concernant les ensembles primitifs d’entiers, Erdős conjectura en 1948 que si $\mathcal{A}$ est un ensemble dénombrable de réels $>1$, tel que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{1}{\log x}\sum _{\alpha \le x,\alpha \in \mathcal{A}}\frac{1}{\alpha }>0$, alors pour tout $\epsilon >0$, il existe une infinité de triplets $(\alpha ,\beta ,n)\in {\mathcal{A}}^2\times \mathbb{N}$ tels que $\alpha \ne \beta$ et $|n\alpha -\beta |<\epsilon .$ Très peu de temps avant sa mort en 1996, il avait offert 500$ pour la résolution de ce problème de nature diophantienne.

Dans cet exposé, je présenterai un travail récent, en collaboration avec Dimitris Koukoulopoulos et Jared Lichtman, où l’on démontre cette conjecture.

En se laissant guider par l’exemple des ensembles de Sidon (ensembles de nombres dont les sommes de deux éléments sont uniques, très étudiés en combinatoire additive), je présenterai des résultats récents, en collaboration avec R. Riblet, où des techniques de théorie des ensembles permettent de construire des ensembles “grands” en certains sens (cardinalité, mesure ou dimension) tout en étant “épars” car évitant des configurations prescrites (pas de relation linéaire, ou ne contenant pas de parallélogramme, etc.). Des questions subtiles en lien avec l’axiome du choix seront évoquées.

Manin et ses collaborateurs ont conjecturé des formules asymptotiques pour le nombres des points de hauteur anticanonique bornée sur les variétés de Fano. Nous démontrons cette conjecture pour la famille de variétés définies par l’équation $$L_1(x_1,x_2)y_1^2+L_2(x_1,x_2)y_2^2+L_3(x_1,x_2)y_3^2+L_4(x_1,x_2)y_4^2=0,$$ où $L_i$ sont des formes bilinéaires deux à deux non-proportionnelles. La constante arithmétique apparaissant dans le terme principal coïncide avec celle conjecturée par Peyre. La démonstration utilise divers outils de la théorie analytique des nombres. Il s’agit d’un travail en commun avec D. Bonolis et T. Browning.

One version of the Ingham-Karamata theorem states that for each slowly oscillating function $\tau$ whose Laplace transform admits an analytic continuation beyond the line $\mathrm{\Re }ss=0$ must obey the asymptotic law $\tau (x)=o(1)$. This theorem is a cornerstone in Tauberian theory and has plenty of applications in number theory; one of the quickest proofs of the Prime Number Theorem passes through this theorem. 

We shall show that the decay rate $o(1)$ in the Ingham-Karamata theorem is optimal even if one assumes analytic continuation of the Laplace transform up to a larger halfplane. The attractive proof is based on the open mapping theorem. 

Une identité remarquable relie deux mesures de complexité sur les mots: complexité en facteurs $C(n)$ et complexité palindromique $P(n)$. Il s’avère qu’elle est aussi valide quand on remplace la complexité palindromique $P(n)$ par celle des facteurs carrés $S(n)$. Ce résultat, facile à établir pour les mots finis, suggère cependant un lien avec la conjecture sur le nombre de facteurs carrés distincts dans un mot : les graphes de Rauzy y jouent un rôle essentiel.

La théorie de Markoff, élaborée par lui pour les formes quadratiques, a été étendue par Hurwitz et ses successeurs, aux approximations des réels par des rationnels. Elle concerne les nombres qui sont “mal approximés”, le plus mauvais d’entre eux étant le nombre d’or. On verra comment certains mots sur un alphabet à deux lettres, appelés mots de Christoffel, s’introduisent naturellement dans cette théorie.

La notion d’ensemble de Kazhdan dans un groupe topologique provient de la théorie géométrique des groupes, en lien avec la propriété (T) de Kazhdan. L’existence d’un ensemble de Kazhdan “petit” implique une certaine“rigidité” du groupe. Dans notre exposé, de type colloquium, on regardera les ensembles de Kazhdan d’un point de vue de l’analyse fonctionnelle, de l’analyse harmonique et d’un point de vue aléatoire. On discutera aussi le rôle joué par les ensembles de Kazhdan dans un contre-exemple à une conjecture de Russell Lyons (1998), motivée par la conjecture $\times 2$, $\times 3$ de Furstenberg. L’exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Sophie Grivaux et Etienne Matheron.

Pour modéliser les premiers, nous considérerons au cours de l’exposé de telles questions de nature statistique concernant la suite des entiers sans facteur carré (SFC), parmi d’autres suites “criblées”. J’espère pouvoir motiver et expliquer notre résultat principal inconditionnel qui énonce que le nombre de SFC dans les intervalles courts uniformément aléatoires suit en effet une loi Gaussienne, ce faisant résolvant plusieurs problèmes de R.R. Hall.

Ceci est un travail en commun avec O. Gorodetsky et B. Rodgers.

We present a new elementary algorithm for computing $M(x)=\sum _{n\le x}\mu (n),$ where $\mu (n)$ is the Möbius function. Our algorithm takes
$$\begin{array}{r}\mathrm{time}{O}_{ϵ}(x^{\frac{3}{5}}(\log x{)}^{\frac{3}{5}+ϵ})\mathrm{and}\mathrm{space}O(x^{\frac{3}{10}}(\log x{)}^{\frac{13}{10}})\end{array},$$ which improves on existing combinatorial algorithms. While there is an analytic algorithm due to Lagarias-Odlyzko with computations based on the integrals of $\zeta (s)$ that only takes time $O(x^{1/2+ϵ})$, our algorithm has the advantage of being easier to implement. The new approach roughly amounts to analyzing the difference between a model that we obtain via Diophantine approximation and reality, and showing that it has a simple description in terms of congruence classes and segments. This simple description allows us to compute the difference quickly by means of a table lookup. This talk is based on joint work with Harald Andrés Helfgott.