We study the large-time $\ell^p$ behavior of transition densities of an isotropic random walk in homogeneous trees, which are infinite, connected, acyclic graphs in which every vertex has the same degree, and can be thought as discrete counterparts of hyperbolic space. Caloric functions of interest are then convolutions of these transition densities with a finitely supported initial condition, and we are interested in their large time behavior in $\ell^p$ norm.

For each $p \in [1, \infty]$, we introduce a notion of a $p$-mass function and prove that caloric functions with compactly supported initial data, asymptotically decouple as the product of this mass function the transition density. Using tools of Fourier analysis available on such graphs, we show that this function even boils down to a constant, still depending on $p$, if the initial condition is radial, that is, depends only on the distance to the origin. Determining the spatial concentration of the densities in $p$-norm plays an important role, in turn clarifying the interplay between the exponential volume growth of the graph and heat diffusion. The results extend to affine buildings, even exotic ones beyond the Bruhat–Tits framework.

Joint work with B. Trojan.

En mécanique quantique, le principe d’incertitude d’Heisenberg stipule qu’on ne peut connaître simultanément avec précision la position et la vitesse d’une particule. Cette célèbre inégalité relie en réalité une fonction et sa transformée de Fourier.
En 1989, motivés par des applications en traitement du signal, Donoho et Stark donnent un nouveau principe d’incertitude, non plus pour des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ mais sur un groupe abélien fini. Ce dernier a ensuite été significativement amélioré : en 2006, Tao prouve ce qu’on appelle un principe d’incertitude fort pour des fonctions définies sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, où $p$ est premier. Plus récemment, en 2021, Garcia, Karaali et Katz généralisent ce principe aux corps finis, pour des fonctions vérifiant une certaine condition de symétrie qu’on détaillera.
Dans cet exposé, on présentera une généralisation du principe d’incertitude fort pour des groupes abéliens finis quelconques. Nous verrons à quel point ce dernier est restrictif, et nous décrirons les cas pour lesquels il est vérifié. Enfin, nous terminerons avec une application en combinatoire additive, plus précisément un théorème de type Cauchy-Davenport sur les corps finis.
Cet exposé est issu d’un travail en collaboration avec Angelot Behajaina.

The discrepancy of a distribution of $N$ points in the torus $T^d$ with respect to a given family of test sets measures how far the points are from being uniformly distributed over that family. When the family consists of all translates of a fixed set, one can consider the $L^2$-average of the discrepancy over translations and use Fourier analytical methods to understand its size. Sharp lower bounds for such $L^2$ discrepancy in terms of $N$ are known for wide classes of sets in $T^2$, but much less is known in higher dimensions. In this talk, I will report on recent progress in this direction, focusing on a family of test
sets with “cylindrical” symmetry that can be defined in any dimension. In three dimensions, these sets have the shape of a barrel. They are particularly
interesting because they exhibit geometric features known to play a key role in discrepancy theory: flat regions, curved regions, and corners. Joint work with
Luca Brandolini and Alessandro Monguzzi.

En 1999, Wen Chao Lu a donné une démonstration par l’analyse réelle du théorème des nombres premiers avec terme d’erreur, “à epsilon près” celui obtenu un siècle auparavant par La Vallée Poussin au moyen de l’analyse complexe. En 2024, Gozé a, dans sa thèse, donné une version quantitative de ce résultat.

Dans un travail en cours avec Gozé et Bruno Martin, nous reprenons les démonstrations de Lu et Gozé, et tentons d’en dégager les idées essentielles. L’exposé présentera sous une forme simple certaines d’entre elles.

Dans un travail en commun avec Régis de La Bretèche et Daniel Fiorilli, on considère certains moments pondérés correspondant à la distribution des substitutions de Frobenius dans les classes de conjugaison des groupes de Galois d’extensions normales des rationnels. La question s’inspire de résultats de Hooley et de progrès récents de La Bretèche–Fiorilli concernant les moments de la distribution des nombres premiers en progression arithmétique. Tout comme dans ces travaux antérieurs, nos résultats sont conditionnels à GRH et confirment que les moments considérés devraient être gaussiens. Si le temps le permet, nous mentionnerons une autre notion de moments pour laquelle certaines structures de groupes de Galois excluent un comportement gaussien.

Les bases cristallines ont été introduites en 1990 par Kashiwara. Ses motivations provenaient de calculs dans la théorie des systèmes intégrables sur réseaux suivant une méthode initiée par Baxter. Heuristiquement, ces calculs se simplifient et deviennent praticables lorsque la température absolue tend vers 0 et que les systèmes “cristallisent”. Les bases cristallines sont des bases très spéciales des algèbres enveloppantes quantiques de Drinfeld et Jimbo, qui deviennent des objets purement combinatoires lorsque le paramètre quantique q tend vers 0. Elles ont permis de résoudre des questions importantes de théorie des représentations. En 1993 Berenstein et Zelevinsky ont commencé à explorer les propriétés multiplicatives de la base cristalline supérieure. Ils ont proposé une conjecture étonnante: si deux éléments de cette base q-commutent, leur produit appartient à la base. En 2001, après avoir découvert des contre-exemples, j’ai proposé une version corrigée de cette conjecture dans laquelle on rajoute l’hypothèse que l’un des deux éléments est “réel”, c’est-à-dire que son carré appartient à la base. La conjecture corrigée a été démontrée par Kang-Kashiwara-Kim-Oh en 2018 en utilisant une catégorification des éléments de la base cristalline par des modules simples sur une algèbre de Hecke-carquois.

Après une introduction aux bases cristallines et à la conjecture de Berenstein-Zelevinsky, j’expliquerai les grandes lignes de la preuve de Kang-Kashiwara-Kim-Oh.

We re-visit Imbert’s theorem stating that Thompson’s group T is isomorphic to the universal Ptolemy group.  After interpreting this result in terms of bipartite Farey tree and continued fractions, we present an extension of the above result to Thompson’s group V. If time permits we discuss further generalizations.

Séminaire commun avec l’équipe Probabilités et Statistique.

Le lemme de Hensel pour les fonctions polynomiales $p$-adiques $f: \mathbb{Z}_p\rightarrow \mathbb{Z}_p$ permet de déduire l’existence d’une solution de $f(x)=0$ à partir de l’existence d’une solution approchée. E. Y. Axelsson et A. Khrennikov (2016) ont étendu le lemme de Hensel aux fonctions $1$- et $p^\alpha$-Lipschitz et ont posé la question concernant une généralisation de leur résultat aux fonctions continues $p$-adiques générales. L’objet de cet exposé est de présenter cette généralisation, obtenue dans un travail récent en collaboration avec H. Kaneko.

Les intégrales orbitales jouent un rôle fondamental dans la formule des traces de Selberg et dans l’approche d’Harish-Chandra de la formule de Plancherel. Dans cet exposé, j’expliquerai une formule géométrique obtenue en collaboration avec Bismut pour les intégrales orbitales semi-simples associées à tous les éléments du centre de l’algèbre enveloppante. Si le temps le permet, j’aborderai également une application sur la théorie de K-type minimal de Vogan, ce qui constitue un travail en cours avec Y. Song et X. Tang.

Quatre exposés des équipes ATN et Géométrie, et de la bonhomie.

Les propriétés des chiffres des nombres premiers et de diverses autres suites de nombres entiers ont suscité beaucoup d’intérêt ces dernières années. Pour tout nombre entier naturel $k$, nous notons $\overleftarrow{k}$ le miroir de $k$ en base 2, défini par
$$
\overleftarrow{k} = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_j\,2^{n-1-j}
\quad
\mbox{ où }
\quad
k = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_{j} \,2^j
$$
avec $\varepsilon_j \in \{0,1\}$, $j\in\{0, \ldots, n-1\}$, $ \varepsilon_{n-1} = 1$. Une question naturelle est d’estimer le nombre de nombres premiers $p\in \left[2^{n-1},2^n\right[$ tels que $\overleftarrow{p}$ est également premier. Nous présenterons un résultat fournissant une majoration de l’ordre de grandeur attendu. Notre méthode est fondée sur une technique de crible. Elle nous permet aussi d’obtenir une bonne minoration du nombre de nombres entiers $k$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ ont au plus 8 facteurs premiers (comptés avec multiplicité). Enfin, nous présenterons une formule asymptotique pour le nombre de nombres entiers $k\in \left[2^{n-1},2^n\right[$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ sont sans facteur carré.

Il s’agit d’un travail en commun avec Cécile Dartyge, Bruno Martin, Joël Rivat et Igor Shparlinski.

Je commencerai par discuter brièvement l’analyse semi-classique pour introduire le concept de limites quantiques. Après cela, je donnerai un aperçu de la géométrie sous-Riemannienne et les récents développements en géométrie spectrale dans ce contexte, surtout en ce qui concerne les limites quantiques.