La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique mot infini sur l’alphabet {1,2} qui commence par un “1” et est point fixe de l’opérateur de dérivation. En 1991, M.S. Keane conjecture que cette suite admet une fréquence d’1/2 pour la lettre “1”.

Les suites dites “auto-descriptives” sont une généralisation du mot d’Oldenburger-Kolakoski. Ces suites sont en bijection naturelle avec l’ensemble de toutes les suites sur l’alphabet {1,2} : une suite auto-descriptive est dite “dirigée” par son homologue naturelle sur {1,2}. Est-il possible d’inférer les fréquences de lettres de l’une à partir de l’autre ?

Je présenterai dans cet exposé deux approches à cette question : l’une probabiliste (Boisson, Jamet, Marcovici — 2024), l’autre analytique (Akiyama, Jamet, Marcovici, T.C. — 2024).

Many arguments in mathematics rely on the introduction of an auxiliary function that is compactly supported. Sometimes this compactly supported function is required to satisfy some additional regularity, but this cannot be pushed too far. It can for instance not be analytic as follows by the identity principle.

In this talk, we wish to present a technique that may bypass this obstruction. Namely, instead of considering a single function, we shall construct a sequence of function that are supported in the same compact, and satisfy some good uniform bounds on their derivatives.

This method is a powerful tool as it can, in some circumstances, turn a heuristic argument relying on a compactly supported analytic auxiliary function, into a rigorous proof. As an application, we shall discuss how this technique leads to improvements in some quantified Tauberian theorems.

A set of integers greater than 1 is primitive if no member in the set divides another. Erdős proved in the 1930s that the sum of 1/(a log a), ranging over a in A, is uniformly bounded over all choices of primitive sets A. In the 1980s he asked if this bound is attained for the set of prime numbers. In this talk we describe recent work which answers Erdős’ conjecture in the affirmative. We will also discuss applications to old questions of Erdős, Sárközy, and Szemerédi from the 1960s.

Dans cet exposé, nous allons explorer certains chemins polygonaux, que nous appelons les ”chemins de Legendre”,  et qui encodent des informations sur les valeurs du symbole de Legendre modulo un nombre premier p. Plus précisément, le chemin de Legendre modulo p est défini comme étant le chemin polygonal dont les sommets sont aux points (j, S_p(j)) pour 0≤j≤p-1, où S_j(p) est la somme (normalisée) des valeurs du symbole de Legendre (n/p) pour n entre 0 et j. En effet, nous allons considérer les questions suivantes lorsqu’on varie le premier p : Quelle proportion du chemin est au dessus de l’axe des x ? Comment se comportent les pics de ces chemins ? Et finalement est ce que ces chemins possèdent une loi limite lorsque p→+∞? Nous allons découvrir que certaines de ces questions correspondent à des problèmes importants en théorie analytique des nombres, tels que l’étude de la taille du plus petit non-résidu quadratique, ainsi que du maximum des sommes de caractères de Dirichlet (dans l’esprit de l’inégalité de Pólya-Vinogradov). Parmi nos résultats, nous démontrons que lorsque le premier p varie entre Q et 2Q et Q →+∞, ces chemins convergent en loi, dans l’espace de Banach des fonctions continues sur [0,1], vers une certaine série de Fourier aléatoire dont les coefficients sont construits en utilisant les fonctions multiplicatives aléatoires de Rademacher. Ce dernier résultat est obtenu en collaboration avec Ayesha Hussain.

A lattice point $P\in\mathbb{Z}^k$ $(k\geq 2)$ is said to be visible if there is no other lattice point lying on the line segment joining $P$ and the origin. We study the distribution of generalized visible points (along curves) in random walk paths on $\mathbb{Z}^k$. This a joint work with Meijie Lu and Xianchang Meng.

Eta-theta quotients show up in numerous areas of mathematics and physics, as in string theory, the theory of black holes and the theory of theta blocks. In my talk I am going to talk about a joint project with Joshua Males, where we employ a variant of Wright’s Circle Method to determine the bivariate asymptotic behavior of Fourier coefficients for a wide class of eta-theta quotients with simple poles in the upper half-plane.

Dans un travail récent avec Sandro Bettin (Gênes) nous étudions dans un cadre général les applications $f:{\mathbb Q}\to{\mathbb C}$ qui satisfont des relations fonctionnelles du type suivant: pour tout $\gamma \in{\rm SL}(2,{\mathbb Z})$, la différence $h_{\gamma}(x) := f(\gamma x) – |cx + d|^{-k} f(x)$ est régulière en un certain sens. Ici $k$ est un nombre complexe. Les exemples naturels incluent notamment les intégrales d’Eichler de formes modulaires ou de formes de Maass, ou encore des sommes de cotangentes.
On s’intéressera plus particulièrement au cas $k\neq 0$, et à l’existence de fonctions limites permettant de prédire la répartition des valeurs prises par f sur des rationnels dont le dénominateur tend vers l’infini.