En se laissant guider par l’exemple des ensembles de Sidon (ensembles de nombres dont les sommes de deux éléments sont uniques, très étudiés en combinatoire additive), je présenterai des résultats récents, en collaboration avec R. Riblet, où des techniques de théorie des ensembles permettent de construire des ensembles “grands” en certains sens (cardinalité, mesure ou dimension) tout en étant “épars” car évitant des configurations prescrites (pas de relation linéaire, ou ne contenant pas de parallélogramme, etc.). Des questions subtiles en lien avec l’axiome du choix seront évoquées.

Selon une conjecture de Bernstein et Schwarzman, le quotient d’un espace affine complexe par un groupe cristallographique irréductible engendré par des réflexions est un espace projectif à poids. La conjecture fut démontrée par Schwarzman et Tokunaga-Yoshida pour presque tous tels groupes en dimension 2, et par Looijenga, Bernstein-Schwarzman et Kac-Peterson pour ceux de type Coxeter en toute dimension.

Dans cet exposé je présenterai un travail en commun avec Dimitri Markushevich dans lequel nous démontrons la conjecture pour l’unique groupe cristallographique engendré par des réflexions en dimension 3 dont la partie linéaire est le groupe simple de Klein, selon la classification de Popov. La preuve repose sur le calcul de la fonction de Hilbert de l’algèbre des invariants des fonctions thêta. Depuis la publication de notre travail, Rains a proposé une approche de la conjecture en toute généralité.

La fonction Delta d’Erdős-Hooley mesure la concentration des diviseurs d’un entier dans un intervalle dyadique. Récemment, Ford Koukoulopoulos et Tao ont amélioré l’encadrement de l’ordre moyen de cette fonction dû à Hall et Tenenbaum. Nous expliquerons les idées nouvelles de ces auteurs et expliquerons comment dans un travail en collaboration avec Gérald Tenenbaum nous avons précisé leur encadrement.

A plasmon of a bounded domain $\mathrm{\Omega }\subseteq {\mathbb{R}}^n$ is a nontrivial bounded function on ${\mathbb{R}}^n\setminus \partial \mathrm{\Omega }$ which is continuous at $\partial \mathrm{\Omega }$ and whose interior and exterior normal derivative at $\partial \mathrm{\Omega }$ have a constant ratio.
This ratio is called a plasmonic eigenvalue of $\mathrm{\Omega }$.

Our longterm term goal is to understand this problem on a manifold with fibered cusp singularities. A prototypical example would be the complement of two touching strictly convex domains in ${\mathbb{R}}^n$.
The problem requires a precise analysis of the Dirichlet-to-Neumann operator in this setting. In a first step, we consider the Calderón projector for general elliptic differential operators of arbitrary order associated with this type of singularity, so-called $\varphi$-differential operators. We show that the Calderón projector is a $\varphi$-pseudodifferential operator in the sense of Mazzeo and Melrose. Next we study the Dirichlet-to-Neumann operator for Laplacians associated with fibered cusp metrics and obtain that it also is a $\varphi$-pseudodifferential operator of order one.

This is a report on ongoing work with Karsten Fritzsch and Daniel Grieser.

Dans un travail en commun avec Régis de La Bretèche et Daniel Fiorilli, on considère certains moments pondérés correspondant à la distribution des substitutions de Frobenius dans les classes de conjugaison des groupes de Galois d’extensions normales des rationnels. La question s’inspire de résultats de Hooley et de progrès récents de La Bretèche–Fiorilli concernant les moments de la distribution des nombres premiers en progression arithmétique. Tout comme dans ces travaux antérieurs, nos résultats sont conditionnels à GRH et confirment que les moments considérés devraient être gaussiens. Si le temps le permet, nous mentionnerons une autre notion de moments pour laquelle certaines structures de groupes de Galois excluent un comportement gaussien.

Les bases cristallines ont été introduites en 1990 par Kashiwara. Ses motivations provenaient de calculs dans la théorie des systèmes intégrables sur réseaux suivant une méthode initiée par Baxter. Heuristiquement, ces calculs se simplifient et deviennent praticables lorsque la température absolue tend vers 0 et que les systèmes “cristallisent”. Les bases cristallines sont des bases très spéciales des algèbres enveloppantes quantiques de Drinfeld et Jimbo, qui deviennent des objets purement combinatoires lorsque le paramètre quantique q tend vers 0. Elles ont permis de résoudre des questions importantes de théorie des représentations. En 1993 Berenstein et Zelevinsky ont commencé à explorer les propriétés multiplicatives de la base cristalline supérieure. Ils ont proposé une conjecture étonnante: si deux éléments de cette base q-commutent, leur produit appartient à la base. En 2001, après avoir découvert des contre-exemples, j’ai proposé une version corrigée de cette conjecture dans laquelle on rajoute l’hypothèse que l’un des deux éléments est “réel”, c’est-à-dire que son carré appartient à la base. La conjecture corrigée a été démontrée par Kang-Kashiwara-Kim-Oh en 2018 en utilisant une catégorification des éléments de la base cristalline par des modules simples sur une algèbre de Hecke-carquois.

Après une introduction aux bases cristallines et à la conjecture de Berenstein-Zelevinsky, j’expliquerai les grandes lignes de la preuve de Kang-Kashiwara-Kim-Oh.

We re-visit Imbert’s theorem stating that Thompson’s group T is isomorphic to the universal Ptolemy group.  After interpreting this result in terms of bipartite Farey tree and continued fractions, we present an extension of the above result to Thompson’s group V. If time permits we discuss further generalizations.

Séminaire commun avec l’équipe Probabilités et Statistique.

Le lemme de Hensel pour les fonctions polynomiales $p$-adiques $f:{\mathbb{Z}}_p\to {\mathbb{Z}}_p$ permet de déduire l’existence d’une solution de $f(x)=0$ à partir de l’existence d’une solution approchée. E. Y. Axelsson et A. Khrennikov (2016) ont étendu le lemme de Hensel aux fonctions $1$- et $p^{\alpha }$-Lipschitz et ont posé la question concernant une généralisation de leur résultat aux fonctions continues $p$-adiques générales. L’objet de cet exposé est de présenter cette généralisation, obtenue dans un travail récent en collaboration avec H. Kaneko.

Les intégrales orbitales jouent un rôle fondamental dans la formule des traces de Selberg et dans l’approche d’Harish-Chandra de la formule de Plancherel. Dans cet exposé, j’expliquerai une formule géométrique obtenue en collaboration avec Bismut pour les intégrales orbitales semi-simples associées à tous les éléments du centre de l’algèbre enveloppante. Si le temps le permet, j’aborderai également une application sur la théorie de K-type minimal de Vogan, ce qui constitue un travail en cours avec Y. Song et X. Tang.