We study the large-time $\ell^p$ behavior of transition densities of an isotropic random walk in homogeneous trees, which are infinite, connected, acyclic graphs in which every vertex has the same degree, and can be thought as discrete counterparts of hyperbolic space. Caloric functions of interest are then convolutions of these transition densities with a finitely supported initial condition, and we are interested in their large time behavior in $\ell^p$ norm.

For each $p \in [1, \infty]$, we introduce a notion of a $p$-mass function and prove that caloric functions with compactly supported initial data, asymptotically decouple as the product of this mass function the transition density. Using tools of Fourier analysis available on such graphs, we show that this function even boils down to a constant, still depending on $p$, if the initial condition is radial, that is, depends only on the distance to the origin. Determining the spatial concentration of the densities in $p$-norm plays an important role, in turn clarifying the interplay between the exponential volume growth of the graph and heat diffusion. The results extend to affine buildings, even exotic ones beyond the Bruhat–Tits framework.

Joint work with B. Trojan.

En mécanique quantique, le principe d’incertitude d’Heisenberg stipule qu’on ne peut connaître simultanément avec précision la position et la vitesse d’une particule. Cette célèbre inégalité relie en réalité une fonction et sa transformée de Fourier.
En 1989, motivés par des applications en traitement du signal, Donoho et Stark donnent un nouveau principe d’incertitude, non plus pour des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ mais sur un groupe abélien fini. Ce dernier a ensuite été significativement amélioré : en 2006, Tao prouve ce qu’on appelle un principe d’incertitude fort pour des fonctions définies sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, où $p$ est premier. Plus récemment, en 2021, Garcia, Karaali et Katz généralisent ce principe aux corps finis, pour des fonctions vérifiant une certaine condition de symétrie qu’on détaillera.
Dans cet exposé, on présentera une généralisation du principe d’incertitude fort pour des groupes abéliens finis quelconques. Nous verrons à quel point ce dernier est restrictif, et nous décrirons les cas pour lesquels il est vérifié. Enfin, nous terminerons avec une application en combinatoire additive, plus précisément un théorème de type Cauchy-Davenport sur les corps finis.
Cet exposé est issu d’un travail en collaboration avec Angelot Behajaina.

The discrepancy of a distribution of $N$ points in the torus $T^d$ with respect to a given family of test sets measures how far the points are from being uniformly distributed over that family. When the family consists of all translates of a fixed set, one can consider the $L^2$-average of the discrepancy over translations and use Fourier analytical methods to understand its size. Sharp lower bounds for such $L^2$ discrepancy in terms of $N$ are known for wide classes of sets in $T^2$, but much less is known in higher dimensions. In this talk, I will report on recent progress in this direction, focusing on a family of test
sets with “cylindrical” symmetry that can be defined in any dimension. In three dimensions, these sets have the shape of a barrel. They are particularly
interesting because they exhibit geometric features known to play a key role in discrepancy theory: flat regions, curved regions, and corners. Joint work with
Luca Brandolini and Alessandro Monguzzi.

En 1999, Wen Chao Lu a donné une démonstration par l’analyse réelle du théorème des nombres premiers avec terme d’erreur, “à epsilon près” celui obtenu un siècle auparavant par La Vallée Poussin au moyen de l’analyse complexe. En 2024, Gozé a, dans sa thèse, donné une version quantitative de ce résultat.

Dans un travail en cours avec Gozé et Bruno Martin, nous reprenons les démonstrations de Lu et Gozé, et tentons d’en dégager les idées essentielles. L’exposé présentera sous une forme simple certaines d’entre elles.

Let $M$ be a manifold with a geometric structure and sufficiently nice $G$ a symmetry group, often the geometric structure can be transferred to $M/G$. In (multi-)symplectic geometry, reduction procedures permit to transfer the differential form to an even smaller space. However, all approaches working directly on the space have very strong regularity requirements.
We present an approach to reducing the algebra of (multi-)symplectic observables for general (covariant) moment maps, without any regularity assumptions of the level sets (and the symmetries).
Based on joint work with Casey Blacker and Antonio Miti.

We consider the problem of quantizing the positive nilradical of a complex semisimple Lie algebra of finite rank, together with a certain fixed direct sum decomposition. The decompositions we consider are in one-to-one correspondence with total orders on the simple roots, and exhibit the nilradical as a direct sum of graded modules for appropriate Levi factors. We show that this situation can be quantized equivariantly as a finite-dimensional subspace within the positive part of the corresponding quantized enveloping algebra. Furthermore, we show that such subspaces give rise to left coideals, with the possible exception of components corresponding to some exceptional Lie algebras, and this property singles them out uniquely. Finally, we discuss how to use these quantizations to construct covariant first-order differential calculi on quantum flag manifolds, which coincide with those introduced by Heckenberger-Kolb in the irreducible case.

À chaque polynôme unitaire sans facteur carré $D$ d’un anneau de polynômes $\mathbb{F}_q[t]$ nous pouvons associer un caractère réel quadratique $\chi_D$ et puis une fonction L de Dirichlet $L(s,\chi_D)$. Inspirés par l’article de Y. Lamzouri sur les constantes d’Euler-Kronecker d’extensions quadratiques de corps de nombres, nous étudions la famille des valeurs $-L'(1,\chi_D)/L(1,\chi_D)$ lorsque $D$ parcourt l’ensemble des polynômes unitaires sans facteur carré de $\mathbb{F}_q[t]$. Tout d’abord, nous calculons uniformément leurs moments entiers sur un intervalle particulier. Puis, en utilisant un modèle aléatoire, nous montrons que les valeurs $-L'(1,\chi_D)/L(1,\chi_D)$ possèdent une distribution limite lorsque le degré de $D$ tend vers l’infini, où la fonction de distribution admet une fonction de densité lisse. Nous prouvons également un théorème de discrépance pour la convergence des fréquences des valeurs $-L'(1,\chi_D)/L(1,\chi_D)$ vers cette fonction de distribution. Notre théorème de discrépance fournit de l’information non négligeable à propos des petites valeurs de $-L'(1,\chi_D)/L(1,\chi_D)$. Nous déduisons aussi des résultats analogues pour les constantes d’Euler-Kronecker d’extensions quadratiques. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Amir Akbary (University of Lethbridge).

(Joint work with G. Liu and S. Mehdi)

For the last decades, representation theory of Lie groups and algebras has been a very active research topic with a multitude of ramifications and applications. Since the work, in the 1970’s, of Parthasarathy and Atiyah-Schmid, Dirac operators have become efficient tools to describe and classify the unitary dual of a real Lie a group $G$. On the one hand, any irreducible unitary representation occurring in the regular representation $L^2(G)$ can be realized as the Hilbert space of $L^2$-sections, of some twist of the spin bundle over the Riemannian symmetric space $G/K$, which belong to the kernel of the associated Dirac operator. Here $K$ is a maximal compact subgroup of $G$. On the other hand, Dirac cohomology, introduced by Vogan in the late 1990’s, defines an invariant which can be used to detect the infinitesimal character of representations (theorem of Huang and Pandzic). Therefore it is important to study the behavior of the Dirac cohomology under functors involved in representation theory.

A useful functor in representation theory of reductive groups is the so-called $\Theta$-correspondence (or the Howe duality). Howe duality relates representations and characters of two Lie groups $G_1$ and $G_2$, viewed as closed subgroups of the metaplectic group $M$ such that $Z_M(G_1) = G_2$ and $Z_M(G_2) = G_1$.

In this talk, we will study the behavior of the Dirac cohomology under the $\Theta$-correspondence in the case of complex
pairs $(G_1, G_2)$ viewed as real Lie groups.

(Joint Work with Michele Serra.)

In his paper ” Automorphisms of fields of formal power series” (Bull. Am. Math. Soc. 50, 1944) Otto Schilling described the automorphism group of k((t)), the field of Laurent series with coefficients in a ground field k and exponents in the group of integers. In our paper “The automorphism group of a valued field of generalised formal power series” (J. Algebra 605, 2022) we generalise his results to the case when the exponents lie in an arbitrary abelian group. In particular, our results apply to a variety of such fields, e.g. to the field of Puiseux series, of multivariate rational functions, of multivariate Laurent series, or to the field of surreal numbers.
The talk will be self contained talk and geared towards a general audience.

Je proposerai une excursion aux “Fondements mathématiques” (dans le sens de l’intitulé d’une unité de notre L1 que j’étais amené à enseigner à Nancy pendant ces dernières années) : depuis le 19e siècle, la théorie des fondements des nombres et de l’analyse réels, et celle de la théorie des ensembles, se sont nourries mutuellement (Dedekind, Cantor,…). Au 20e siècle, cette interaction a pris un nouveau tournant : du coté théorie des ensembles, l’univers de von Neumann permet de sortir indemne de la “crise des fondements” ; du coté de la théorie des nombres, John Horton Conway proposa, dans son livre “On Numbers and Games” (connu sous le sigle ONAG), une nouvelle approche qui permet de voir les nombres réels dans un cadre beaucoup plus vaste de “tous les nombres” (“All Numbers Great and Small”). Le terme “nombres surréels”, crée par Donald Knuth dans son livre Surreal numbers – how two ex-students turned on to pure mathematics and found total happiness (qui est paru même avant ONAG), est un peu malheureux car il suggère une analogie avec le courant d’art de même nom, ce qui est trompeur. Dans cet exposé, je tenterai de vous expliquer que ces nombres sont aussi réels que tout objet mathématique vivant dans l’univers mathématique, et pour lequel l’univers de von Neumann fournit un modèle. Il s’agit d’un travail en cours, loin d’être terminé.

Dans son article `On a theorem of Jordan’, Serre considère la famille de polynômes $f_n(X) = X^n-X-1$ et la fonction qui compte le nombre de racines de $f_n$ dans le corps fini $F_p$ en tant que fonction de $p$. Il montre explicitement la ‘modularité’ de cette fonction pour $n=3,4$. Dans cet exposé, je parlerai d’un article en commun avec Alfio Fabio La Rosa et Chandrashekhar Khare dans lequel nous traitons le cas $n=5$ de plusieurs manières.

Dans le présent exposé, nous commençons par une introduction aux fonctions
génératrices et aux différentes méthodes permettant d’obtenir des formules
asymptotiques pour leurs coefficients. Après une excursion dans les nombres de
Fibonacci et les nombres catalans, nous introduisons les partitions d’entiers en
entiers. Autour de ce problème introductif, nous présentons la méthode du col et
ses applications. Ensuite, nous nous concentrons aux variants et des résultats récents. À la fin de l’exposé, nous présentons les travaux en cours
et des problèmes ouverts.

Je donnerai la définition d’une structure k-Poisson vue comme une généralisation d’une structure k-plectique, étendant, en dimensions supérieures, le cas de la géométrie de Poisson et de la géométrie symplectique. Pour cela je suivrai l’article de Bursztyn, Cabrera, Iglesias : « Multisymplectic geometry and Lie groupoids » et je présenterai des définitions équivalentes permettant une utilisation plus facile. Pour finir, j’introduirai les structures k-Dirac qui généralisent ces notions et je développerai des exemples.