Soient $\mathcal{A}$ un ensemble fini d’entiers naturels non-nuls et $y \geq 1$. Nous donnons une minoration effective du cardinal de l’ensemble $\{n\in\mathcal{A} ; p|n \Rightarrow p \leq y\}$ sous la condition d’une bonne connaissance du niveau de répartition de l’ensemble $\mathcal{A}$. Quelques conséquences seront ensuite abordées, dont une application aux valeurs friables de polynômes ou de formes binaires à coefficients entiers, puis une application aux entiers friables voisins.

Soit $\pi(x)$ le nombre de nombres premiers dans l’intervalle $[1,x]$. Nous savons depuis Euclide que $\pi(x)$ tend vers l’infini, mais à quelle vitesse ?  La réponse à cette question fut obtenue pour la première fois en 1896 par Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée Poussin qui démontrèrent, de manière indépendante, le théorème des nombres premiers: \[\pi(x)\sim \frac{x}{\log x}\quad(x\to \infty).\]
La démonstration de Hadamard et La Vallée Poussin utilise principalement les propriétés de la fonction zêta de Riemann et donc l’analyse complexe. Ce n’est qu’en 1949 qu’Erdős et Selberg publièrent indépendamment la première démonstration élémentaire (utilisant uniquement l’analyse réelle) du théorème des nombres premiers. Dans cet exposé, nous présenterons le développement historique des démonstrations élémentaires du théorème des nombres premiers puis nous donnerons une version effective du théorème des nombres premiers de Lu qui, à ce jour, donne le meilleur terme d’erreur en utilisant des méthodes élémentaires.

La notion de fonction puissance d’un nombre entier, introduite par Mazur (2000) fait intervenir le noyau (ou radical) d’un entier. Cette fonction lui  permet de définir une généralisation des puissances (“powered numbers”). Après avoir rappelé des résultats récents sur le noyau d’un entier, nous présenterons des résultats nouveaux sur la fonction de répartition des puissances généralisées, ainsi que sur un problème additif concernant la représentation d’un entier comme somme de puissances généralisées. Ce travail a été réalisé en collaboration avec J. Brüdern.

I will present several applications of the Dirac inequality to the determination of unitary representations of p-adic groups and associated “spectral gaps”. The method works particularly well in order to attach irreducible unitary representations to the large nilpotent orbits (e.g., regular, subregular) in the Langlands dual complex Lie algebra. These results can be viewed as a p-adic analogue of Salamanca-Riba’s classification of irreducible unitary (g,K)-modules with strongly regular infinitesimal character.

Chebyshev famously observed empirically that more often than not, there are more primes of the form 3 mod 4 up to x than primes of the form 1 mod 4. This was confirmed theoretically much later by Rubinstein and Sarnak in a logarithmic density sense. Our understanding of this is conditional on the generalized Riemann Hypothesis as well as Linear Independence of the zeros of L-functions.

We investigate similar questions for sums of two squares in arithmetic progressions. We find a significantly stronger bias than in primes, which happens for almost all integers in a natural density sense. Because the bias is more pronounced, we do not need to assume Linear Independence of zeros, only a Chowla-type Conjecture on non-vanishing of L-functions at 1/2.

We’ll aim to be self-contained and define all the notions mentioned above during the talk. We shall review the origin of the bias in the case of primes and the work of Rubinstein and Sarnak. We’ll explain the main ideas behind the proof of the bias in the sums-of-squares setting.

Récemment, Lemke Oliver et Soundararajan ont observé d’importants biais dans la répartition de couples de nombres premiers consécutifs dans les progressions arithmétiques. Ils ont proposé un modèle heuristique basé sur la conjecture de Hardy–Littlewood qui explique très bien ces observations.
Nous discuterons la question analogue pour les nombres qui s’écrivent comme une somme de deux carrés d’entiers. Un biais semblable apparaît dans les données et nous développons un modèle heuristique similaire pour l’expliquer.
Travail joint avec Chantal David, Jungbae Nam et Jeremy Schlitt.

Nous nous intéressons à l’analyse d’équations aux dérivées partielles posées sur des groupes de Lie nilpotents gradués et tout particulièrement à des phénomènes dits ‘haute fréquence’. Nous expliquerons comment l’on peut utiliser l’analyse harmonique du groupe pour développer une approche semi-classique, en analogie avec la théorie bâtie dans les années 70 sur l’espace ou le tore euclidien. Nous donnerons des exemples en lien avec les groupes de type Heisenberg.

A celebrated theorem of Green-Tao asserts that the set of primes contains arbitrarily long arithmetic progressions. In fact, they count asymptotically the number of -term arithmetic progressions in primes up to a threshold. Their work involves discorrelation estimates between primes and nilsequences, which imply that the set of primes is Gowers uniform. In this talk I will discuss results of this type for primes restricted to short intervals and in arithmetic progressions. For example, we prove that the set of primes in   with is Gowers uniform; we also prove that, for almost all , the set of primes up to in a coprime residue class is Gowers uniform. This is based on joint works with K. Matomäki, J. Teräväinen, T. Tao.

Les polynômes de Fekete sont certains polynômes de type Littlewood dont les coefficients sont les valeurs du symbole de Legendre, ou plus généralement du symbole de Kronecker. Ces polynômes ont été considérés par Fekete afin d’étudier les zéros réels des fonctions L de Dirichlet, et d’essayer de démontrer la non-existence des fameux zéros de Siegel. Depuis lors, leurs zéros et la répartition de leurs valeurs ont été intensivement étudiés. Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents concernant les zéros réels des polynômes de Fekete. Je discuterai également de certaines applications de ces résultats, notamment aux changements de signes des sommes partielles de sommes de caractères quadratiques. Ceci est un travail en commun avec O. Klurman et M. Munsch.

Nous étudions la transformation de Poisson des hyperformes différentielles sur la sphère $S^{n-1}$ vue comme frontière de Furstenberg de l’espace hyperbolique réel $H^n(\mathbb R)$.
Pour $1< r < \infty$, $0\leq p < (n-1)/2$ et $q=p-1, p$, nous montrons de cette transformation est un isomorphisme topologique de l’espace $L^r$ des  $q$-hyperformes  de $S^{n-1}$ sur un sous-espace de type Hardy de l’espace des $p$-formes de $H^n(\mathbb R)$ qui sont functions propres du Laplacien de Hodge-de Rham.
(Travail en collaboration avec S. Bensaid et A. Boussejra)