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Réseaux sur les entiers de Gauss et fractions continues complexes

Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 16 December 2021 14:00-15:00 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Nicolas Chevallier (Université de Haute Alsace) Résumé :

L’objectif est de construire un algorithme de fraction continue complexe trouvant toutes les meilleures approximations diophantiennes d’un nombre complexe. En utilisant la suite des vecteurs minimaux d’un réseau de $\mathbb{C}^2$ sur l’anneau des entiers de Gauss, nous obtenons un algorithme défini sur une sous-variété de $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$. La correspondance entre les vecteurs minimaux et les meilleures approximations diophantiennes garantit que notre algorithme atteint son but. Un sous-produit de l’algorithme est la meilleure constante pour la version complexe du théorème de Dirichlet sur les approximations des nombres complexes par les quotients de deux entiers gaussiens.


GT "Primes as sums of Fibonacci numbers" (#2)

Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 16 December 2021 11:00-12:00 Lieu : Oratrice ou orateur : Pierre Popoli (IECL) Résumé :

Détection des chiffres en base de Zeckendorf.


Journée Scientifique FCH "Pseudorandomness, cryptography and number theory"

Catégorie d'évènement : Conférence Date/heure : 9 December 2021 00:00-23:59 Lieu : Centre Inria Nancy-Grand Est Description

Une suite est dite pseudo-aléatoire est une suite qui “ressemble” à une suite aléatoire. Ces suites ont de nombreuses applications en cryptographie, en particulier, dans le chiffrement par flot et des dispositifs de registre à décalage à rétroaction linéaire. Pour évaluer ce caractère, il faut faire appel à plusieurs notions mathématiques telles que la corrélation, la complexité linéaire et bien d’autres mesures de complexité et répartition. Alors pour tenter de créer des suites pseudo-aléatoires, on peut prendre des exemples issus de la théorie des nombres comme la suite des valeurs du symbole de Legendre pour un grand nombre premier.

L’objectif de cette journée est d’expliciter différentes relations qui existent entre la cryptographie et la théorie des nombres et de mettre en évidence leur lien avec des suites pseudo-aléatoires.

Cette journée scientifique est organisée dans le cadre institutionnel de la Fédération Charles Hermite et avec le soutien de LUE-Digitrust et l’ANR ArithRand.

Programme de la journée

Organisateurs locaux:

Cécile Dartyge (IECL), Damien Jamet (LORIA), Pierre Popoli (IECL) et Thomas Stoll (IECL)


Changes in digits of primes

Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 2 December 2021 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Benli Kübra (IECL) Résumé :

Erdős proved that there are infinitely many weakly prime numbers (also called (digitally) delicate primes), i.e. prime numbers such that changing any single one of the digits, in a given base, with any other digit always results in a composite number. Tao proved that weakly prime numbers constitute a positive proportion in all prime numbers. In this talk, we are going to discuss further quantitative refinements on the distribution of weakly prime numbers.


Un éclatement groupoïde de feuilletage singulier et applications

Catégorie d'évènement : Séminaire Théorie de Lie, Géométrie et Analyse Date/heure : 2 December 2021 14:15-15:15 Lieu : Salle de séminaires Metz Oratrice ou orateur : Omar Mohsen (Orsay) Résumé :

Je vais présenter un éclatement de feuilletage singulier (au sens de Stefan—Sussmann) et après je vais parler de quelques applications.


Relations entre les zéros d'un polynôme et sa mesure de Mahler

Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 25 November 2021 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Jean-Marc Sac-Épée (IECL) Résumé :

Dans cet exposé, on va s’intéresser aux informations qu’on peut donner sur les zéros d’un polynôme $P$ à coefficients complexes connaissant sa mesure de Mahler $M(P)$. Ces informations concerneront notamment la localisation des zéros, leur distance à certains points du cercle unité, le nombre de zéros réels.

On donnera également des résultats de minoration relatifs à la mesure de Mahler. Au fil de l’exposé, on revisitera ainsi des résultats classiques relatifs aux polynômes de $\mathbb{Z}[X]$, qu’on généralisera aux polynômes à coefficients complexes.

Par exemple, un théorème de A. Schinzel montre que tout polynôme $P$ de $\mathbb{Z}[X]$, totalement réel, de degré $d$, vérifiant $P(-1)P(1)\not=0$, $\vert P(0)\vert=1$, est tel que
\[M(P)\ge \Big(\frac{1+\sqrt 5}{2}\Big)^\frac{d}{2}.\]
Nous montrons que si un polynôme $P$ de $\mathbb{C}[X]$ possède $m\geq 1$ racines réelles et satisfait $P(-1)P(0)P(1) \neq 0$, alors
\[M(P)\ge \Bigg(\frac{\vert P(1)P(-1)\vert^{\frac{1}{m}}+\left(4^{\frac{d}{m}}\vert P(0)\vert^{\frac{2}{m}}+\vert P(1)P(-1)\vert^{\frac{2}{m}}\right)^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{d}{m}}}\Bigg)^{\frac{m}{2}}.\]


L'équation Langevin quantique et la dynamique hors équilibre du modèle sphérique

Catégorie d'évènement : Séminaire Théorie de Lie, Géométrie et Analyse Date/heure : 25 November 2021 14:15-15:15 Lieu : Salle de séminaires Metz Oratrice ou orateur : Malte Henkel (LPCT Nancy) Résumé :

La description de la dynamique hors équilibre des systèmes quantiques ouverts, c.à.d. couplés à un environnement externe, pose des problèmes pas encore présents aux systèmes classiques. En particulier, le bruit quantique présent dans des équations Langevin est non markovien. Heuristiquement, on peut caractériser un bruit quantique par les propriétés suivants : (i) commutateurs canoniques aux temps égaux (ii) formule de Kubo pour la réponse linéaire (iii) théorème du viriel et surtout (iv) théorème fluctuation-dissipation quantique. Cette dernière propriété garantit pour toute température T>0  la relaxation du système vers un état d’équilibre quantique. Mathématiquement, cette caractérisation du bruit quantique est équivalente à la description traditionnelle de Caldeira et Leggett et de Ford-Kac-Mazur du type système-interaction-bain.

 

Le modèle sphérique a été introduit, par Berlin et Kac en 1952, afin de disposer d’un système exactement résoluble et capable d’avoir des transitions de phases à l’équilibre dont le propriétés ne se conforment pas à la théorie du champ moyen. Nous analysons ici les transitions de phases dynamiques qui se présentent lors du vieillissement, après une trempe du système initialement désordonné ,vers le point critique ou bien dans la phase ordonnée. Par rapport au cas classique (décrit par un bruit blanc markovien), des nouvelles techniques pour la solution explicite des équations Langevin sont requises. Ainsi on peut étudier la pertinence des propriétés non markoviens du bruit quantique sur la dynamique aux temps longs. Au cas de la dynamique quantique à température T=0, plusieurs différences qualitatives par rapport à la dynamique classique sont mises en évidence.

 

[1] R. Araújo, S. Wald, MH , J. Stat. Mech. 053101 (2019) [arxiv:1809.08975]

[2] S. Wald, MH, A. Gambassi, J. Stat. Mech. sous presse (2021) [arxiv:2106.08237]


GT "Primes as sums of Fibonacci numbers" (#1)

Catégorie d'évènement : Analyse et théorie des nombres Date/heure : 18 November 2021 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Thomas Stoll (IECL) Résumé :

On probabilistic generalizations of the Nyman-Beurling criterion for the Zeta function

Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 18 November 2021 10:45-11:45 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Sébastien Darses (Aix-Marseille Université) - Séminaire commun ATN+PS Résumé :

Séminaire commun avec l’équipe PS

One of the seemingly innocent reformulations of the terrifying Riemann Hypothesis (RH) is the Nyman-Beurling criterion: The indicator function of (0,1) can be linearly approximated in a L^2 space by dilations of the fractional part function. Randomizing these dilations generates new structures and criteria for RH, regularizing very intricate ones. One other possible nice feature is to consider polynomials instead of Dirichlet polynomials for the approximations. How then are the huge difficulties reallocated? The answers are quite surprising!

The talk will be very accessible, especially for graduate students.
Joint work with F. Alouges and E. Hillion.


Pas d’exposé (Journées SL2R)

Catégorie d'évènement : Séminaire Théorie de Lie, Géométrie et Analyse Date/heure : 18 November 2021 00:00-00:00 Lieu : Oratrice ou orateur : Résumé :

Pas d’exposé en raison des journées SL2R à Strasbourg :

http://irma.math.unistra.fr/article1841.html

 

 


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