Motivé par ses travaux et ceux de Behrend dans les années 30 concernant les ensembles primitifs d’entiers, Erdős conjectura en 1948 que si $\mathcal{A}$ est un ensemble dénombrable de réels $>1$, tel que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{1}{\log x}\sum _{\alpha \le x,\alpha \in \mathcal{A}}\frac{1}{\alpha }>0$, alors pour tout $\epsilon >0$, il existe une infinité de triplets $(\alpha ,\beta ,n)\in {\mathcal{A}}^2\times \mathbb{N}$ tels que $\alpha \ne \beta$ et $|n\alpha -\beta |<\epsilon .$ Très peu de temps avant sa mort en 1996, il avait offert 500$ pour la résolution de ce problème de nature diophantienne.

Dans cet exposé, je présenterai un travail récent, en collaboration avec Dimitris Koukoulopoulos et Jared Lichtman, où l’on démontre cette conjecture.

En se laissant guider par l’exemple des ensembles de Sidon (ensembles de nombres dont les sommes de deux éléments sont uniques, très étudiés en combinatoire additive), je présenterai des résultats récents, en collaboration avec R. Riblet, où des techniques de théorie des ensembles permettent de construire des ensembles “grands” en certains sens (cardinalité, mesure ou dimension) tout en étant “épars” car évitant des configurations prescrites (pas de relation linéaire, ou ne contenant pas de parallélogramme, etc.). Des questions subtiles en lien avec l’axiome du choix seront évoquées.

Répétition du séminaire Bourbaki du vendredi 1er avril.

(Travail commun avec P. Delorme). Soit $G$ un groupe de Lie réductif réel, muni d’une involution $\sigma$ et $\mathrm{\Gamma }$ un sous-groupe discret cocompact. Nous établissons une formule des traces relative, en lien avec $\mathrm{\Gamma }$ et $H=G^{\sigma }$, exprimant la somme de  certaines intégrales orbitales de $f\in C_c^{\mathrm{\infty }}(G)$ en terme de  coefficients généralisés de représentations unitaires irréductibles de $G$. Lorsque $G/H$ admet une série discrète relative ${\pi }_0$, l’existence de pseudocoefficient relatif pour ${\pi }_0$ à support “petit” implique, via la formule des traces relative,  que ${\pi }_0$ intervient dans la décomposition spectrale de $L^2(\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G)$. Nous étudions l’existence de tels pseudocoefficients pour les espaces hyperboliques et les espaces symétriques de type $G(\mathbb{C})/G(\mathbb{R})$.

I will present several applications of the Dirac inequality to the determination of unitary representations of p-adic groups and associated “spectral gaps”. The method works particularly well in order to attach irreducible unitary representations to the large nilpotent orbits (e.g., regular, subregular) in the Langlands dual complex Lie algebra. These results can be viewed as a p-adic analogue of Salamanca-Riba’s classification of irreducible unitary (g,K)-modules with strongly regular infinitesimal character.

Chebyshev famously observed empirically that more often than not, there are more primes of the form 3 mod 4 up to x than primes of the form 1 mod 4. This was confirmed theoretically much later by Rubinstein and Sarnak in a logarithmic density sense. Our understanding of this is conditional on the generalized Riemann Hypothesis as well as Linear Independence of the zeros of L-functions.

We investigate similar questions for sums of two squares in arithmetic progressions. We find a significantly stronger bias than in primes, which happens for almost all integers in a natural density sense. Because the bias is more pronounced, we do not need to assume Linear Independence of zeros, only a Chowla-type Conjecture on non-vanishing of L-functions at 1/2.

We’ll aim to be self-contained and define all the notions mentioned above during the talk. We shall review the origin of the bias in the case of primes and the work of Rubinstein and Sarnak. We’ll explain the main ideas behind the proof of the bias in the sums-of-squares setting.

Récemment, Lemke Oliver et Soundararajan ont observé d’importants biais dans la répartition de couples de nombres premiers consécutifs dans les progressions arithmétiques. Ils ont proposé un modèle heuristique basé sur la conjecture de Hardy–Littlewood qui explique très bien ces observations.
Nous discuterons la question analogue pour les nombres qui s’écrivent comme une somme de deux carrés d’entiers. Un biais semblable apparaît dans les données et nous développons un modèle heuristique similaire pour l’expliquer.
Travail joint avec Chantal David, Jungbae Nam et Jeremy Schlitt.

Nous nous intéressons à l’analyse d’équations aux dérivées partielles posées sur des groupes de Lie nilpotents gradués et tout particulièrement à des phénomènes dits ‘haute fréquence’. Nous expliquerons comment l’on peut utiliser l’analyse harmonique du groupe pour développer une approche semi-classique, en analogie avec la théorie bâtie dans les années 70 sur l’espace ou le tore euclidien. Nous donnerons des exemples en lien avec les groupes de type Heisenberg.