En se laissant guider par l’exemple des ensembles de Sidon (ensembles de nombres dont les sommes de deux éléments sont uniques, très étudiés en combinatoire additive), je présenterai des résultats récents, en collaboration avec R. Riblet, où des techniques de théorie des ensembles permettent de construire des ensembles “grands” en certains sens (cardinalité, mesure ou dimension) tout en étant “épars” car évitant des configurations prescrites (pas de relation linéaire, ou ne contenant pas de parallélogramme, etc.). Des questions subtiles en lien avec l’axiome du choix seront évoquées.

Séminaire commun avec l’équipe PS

One of the seemingly innocent reformulations of the terrifying Riemann Hypothesis (RH) is the Nyman-Beurling criterion: The indicator function of (0,1) can be linearly approximated in a L^2 space by dilations of the fractional part function. Randomizing these dilations generates new structures and criteria for RH, regularizing very intricate ones. One other possible nice feature is to consider polynomials instead of Dirichlet polynomials for the approximations. How then are the huge difficulties reallocated? The answers are quite surprising!

The talk will be very accessible, especially for graduate students.
Joint work with F. Alouges and E. Hillion.

Pas d’exposé en raison des journées SL2R à Strasbourg :

http://irma.math.unistra.fr/article1841.html

L’exposé expliquera les points clefs de l’article suivant d’Yvette Kosmann-Schwarzbach :

“Derived brackets”, Letters in Math. Phys. 69, 61-87 (2004).

Soient $G=\mathrm{Spin}(n,1)$ et $P$ un sous-groupe parabolique minimal de $G$. Soit $\pi$ une représentation unitaire irréductible de $G$. Dans cet exposé, je vais parler de la restriction de $\pi$ à P. Il s’agit d’un travail en commun avec Y. Oshima et J. Yu.

Soit $b\ge 2$ un entier et ${\mathcal{N}}_b=\{0,1,\dots ,b-1\}$ l’ensemble des chiffres associé. Tout nombre réel $x\in [0,1]$ admet une représentation de la forme $$x=\sum _{k\ge 1}{a}_k{b}^{-k}=0.a_1{a}_2{a}_3\dots ,$$ avec $a_k\in {\mathcal{N}}_b$. Le nombre $x$ est dit normal en base $b$ si pour tout entier $\ell \ge 1$ toute suite $d_1\dots d_{\ell }$ de longueur $\ell$ d’éléments de ${\mathcal{N}}_b$ a la même fréquence d’apparitions $b^{-\ell }$, i.e. $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\mathrm{\#}\{0\le k<n:a_{k+1}=d_1,\dots ,a_{k+\ell }=d_{\ell }\}=b^{-\ell }.$$

Michel Mendés France a demandé s’il existe un nombre réel $x$ tel que $x$ et $1/x$ soient normaux en base $2$. Dans cet exposé nous allons construire un tel nombre et montrer qu’il est calculable. En particulier, nous allons montrer que $x$ et $1/x$ sont normaux en toute base $b\ge 2$ et également normaux par rapport à l’écriture en fraction continue.

Il s’agit d’un travail en commun avec Verónica Becher de l’Université de Buenos Aires.

Introduction au problème des crochets de Poisson en théorie de champs classique (Tilmann Wurzbacher)

Approche quotient aux formes et champs hamiltoniens (Maxime Wagner)

Approche Lie infinie à la Baez-Rogers-Stasheff (Gabriel Sevestre)