Philippe Bougerol

Au début des années 90, dans le cadre de la théorie classique des représentations des groupes compacts, ou des groupes complexes semi-simples, Peter Littelmann a introduit une nouvelle approche basée sur l’étude des chemins continus à valeurs dans l’espace euclidien correspondant à une sous-algèbre de Cartan. C’est un modèle combinatoire : par exemple la multiplicité d’un poids va correspondre au nombre de chemins ayant une certaine propriété. On peut le traduire en termes probabilistes : il s’agit alors de considérer des marches aléatoires à valeurs dans des réseaux. Si l’on s’intéresse à des propriétés asymptotiques des représentations (par exemple en faisant tendre le plus haut poids vers l’infini), on ne peut plus compter. Par contre la mesure de Wiener, donc le mouvement brownien, donne un sens au ”nombre infini de chemins vérifiant telle ou telle propriété”. Le mouvement brownien étant une limite de marches aléatoires, le modèle de Littelmann se généralise en une théorie asymptotique des représentations.

Gérard Besson

Nous essaierons d’expliquer, d’abord sur un exemple simple, ensuite sur les variétés de dimen- sion 3 la démarche proposée par R. Hamilton et G. Perelman afin de prouver la conjecture de Poincaré. Il s’agit d’analyse sur les variétés et cet exposé tentera de présenter quelques-unes des techniques d’analyse et de géométrie utilisées en restant le plus possible dans l’esprit d’un colloque.

Alain Chenciner

Le [latex]N[/latex]-gone régulier est la plus simple des ”configurations centrales” de N masses égales et l’équilibre relatif qui lui est associé est la plus simple des solutions périodiques du problème newtonien des N corps. Considérée dans un repère tournant qui met en résonance sa fréquence de rotation avec une fréquence bien choisie de son ” ́équation aux variations verticales”, une telle solution engendre des familles de solutions périodiques relatives qui peuvent aboutir à des solutions périodiques remarquables dans le repère fixe initial. On obtient ainsi en particulier le ”Huit” à partir du triangle équilatéral et le ”Hip-Hop” à partir du carré. On commencera l’exposé par une rapide introduction au problème des [latex]N[/latex]-corps puis on indiquera dans quelle mesure on peut démontrer les assertions ci-dessus à l’aide du calcul des variations et de l’utilisation des symétries du problème.

Sylvestre Gallot

En revisitant la notion euclidienne de barycentre, nous généraliserons cette notion aux espaces de courbure négative. Ceci permet de construire “à la main” une application, dite “application naturelle”, entre deux variétés [latex]Y′[/latex] et [latex]X′[/latex] (la courbure de [latex]X′[/latex] étant négative) dès qu’on dispose d’une correspondance entre mesures définies sur [latex]Y′[/latex] et sur [latex]X′[/latex]. Une telle correspondance est fournie (par exemple) par deux actions d’un même groupe discret sur [latex]Y′[/latex] et sur [latex]X′[/latex].

J.M. Deshouillers

La conférence a pour but d’illustrer les liens entre la théorie des probabilités et la théorie des nombres, en présentant les aspects suivants :

A. Les probabilités fournissent des modèles pour les entiers naturels,
B. Les méthodes probabilistes permettent de résoudre des questions de théorie des nombres,
C. Les interrogations arithmétiques conduisent à des problèmes probabilistes,
D. Les méthodes arithmétiques permettent de résoudre des questions probabilistes.

Michel Brion

La classification topologique des courbes algébriques projectives (complexes, lisses) est très simple : une telle courbe peut être vue comme une surface (de Riemann) compacte, si bien que deux courbes sont homéomorphes si et seulement si elles ont le même genre. Et on sait depuis Riemann que les courbes de genre g fixé (au moins 2) dépendent de [latex]3 g – 3[/latex] paramètres complexes, ou ”modules”. Mais la construction de ”l’espace des modules des courbes de genre g” est bien plus récente (Mumford, 1965).

Jean Bertoin

On présentera des résultats sur la formation des composantes macroscopiques dans deux modèles de recouvrement aléatoire, à la limite hydrodynamique.

Marc Rosso

Les battages (ou ”shuffles”) apparaissent naturellement dans de nombreux contextes mathématiques : combinatoire du groupe symétrique, intégrales itérées, fonctions polylogarithmes, valeurs de fonctions zéta multiples,… Certaines variantes (appelés parfois quasi- battages) jouent aussi un rôle dans des questions voisines : fonctions quasi-symétriques, valeurs de fonctions zéta multiples (encore !), intégrales stochastiques quantiques,…

Si on remplace le groupe symétrique par le groupe des tresses, on obtient une notion naturelle de ”battage quantique”, qui permet de donner des réalisations concrètes des groupes quantiques et de leurs représentations.

Denis Serre

Même pour une équation différentielle ordinaire autonome dans [latex]R^n[/latex]

[latex]dy = f(y), y(0) = a,[/latex]

l’existence d’une solution [latex]y(t)[/latex] définie pour tout temps [latex]t > 0[/latex] n’est pas parfaitement comprise. La condition suffisante, dont on peut souvent se contenter, est qu’il existe un compact [latex]K[/latex], contenant [latex]a[/latex], positivement invariant pour [latex]f[/latex]. Si le bord de [latex]K[/latex] est une hypersurface régulière, il revient au même de dire que [latex]f[/latex] est un champ de vecteurs rentrant.

Pour certaines équations aux dérivées partielles (qu’on se rassure, les EDPs qui apparaîtront dans l’exposé se ramènent à des EDOs), on sait mettre en œuvre la même idée. Mais la présence de termes d’ordres distincts impose que [latex]K[/latex] soit positivement invariant à chaque ordre. Par exemple, K est positivement invariant pour l’équation de réaction-diffusion du = ∆u + f(u) si et seulement si il l’est à la fois pour l’équation de la chaleur  du/dt = ∆u (on verra que ̧ca signifie K convexe) et pour l’EDO du = f(u). dt dt

Dans l’exposé, j’examinerai cette question de l’invariance pour un système appa- remment simple, qui pose cependant des questions non triviales de géométrie classique. Par exemple : quand est-ce que l’image par une application (pas linéaire, a priori) d’un convexe est convexe ?