Yves Derriennic

Une trajectoire du mouvement brownien est une fonction continue dont les variations sont soumises à un maximum de hasard. Un sens précis est donné à cette assertion par la construction de la mesure de Wiener fondée sur la renormalisation d’une marche aléatoire sur les entiers. Cette méthode permet une approche intuitive des propriétés remarquables du brownien : variation totale infinie et différentiabilité fractionnaire des trajectoires, ensemble des zéros « parfait » et de dimension de Hausdorff 1/2. . .

Sur le plan ou l’espace euclidien, des mouvements browniens « à plusieurs paramètres » ont été définis en tant que processus Gaussiens. Mais il est aussi possible d’utiliser encore l’idée de renormalisation en l’appliquant à une marche aléatoire « à temps discret multidimensionnel ».

Dans cet exposé nous discuterons les problèmes suscités par ce point de vue. Certains sont de nature algé- brique, d’autres relèvent de la percolation stationnaire. Nous rappellerons pour commencer les éléments sur le mouvement brownien ordinaire.

Bernhard Keller

Nous présenterons la définition et les premiers exemples des algèbres amassées (cluster algebras) introduites par Fomin et Zelevinsky en 2002. Nous montrerons ensuite comment les générateurs canoniques de ces algèbres peuvent s’exprimer à l’aide d’objets géométriques qui généralisent les grassmanniennes. Ces expressions ont permis de montrer une série de conjectures sur les algèbres amassées.

Frank Pacard

L’étude des surfaces à courbure moyenne constante dans l’espace euclidien de dimension 3 et l’étude des ondes stationnaires pour l’équation de Schödinger non linéaire qui sont définies dans le plan sont a priori des problèmes qui n’ont pas grand chose à voir. Pourtant, on peut construire pour ces deux problèmes de surprenantes solutions dont le groupe de symétrie est réduit à l’identité et les constructions sont curieusement très proches.

Patrick Joly

Dans cet exposé, je présenterai les résultats d’un travail de coopération interdisciplinaire entre l’équipe POems (CNRS – ENSTA – INRIA) et l’Unité de Mécanique de l’ENSTA sur la simulation numérique d’un piano de concert à partir d’un modèle physique complet de l’instrument. Ce travail s’inscrit dans le cadre d’une collaboration à plus long terme sur la simulation numérique en acoustique musicale.

Compte tenu de la complexité du modèle, il est impossible d’évoquer tous les aspects du probleme dans un exposé d’une heure. Je ferai le choix d’insister sur la construction du modèle mathématique sous la forme d’un système d’équations aux dérivées partielles couplées permettant de prendre en compte l’intégralité des principaux phénomènes mis en jeu et leur couplage : l’interaction entre le marteau et la corde, les vibrations de celle-ci et leur transmission à la table d’harmonie au travers du chevalet et enfin le rayonnement acoustique tridimensionnel. On mettra en évidence l’adéquation du modèle aux observations expérimentales. Je présenterai ensuite brièvement les grandes lignes et les propriétés principales de la méthode numérique mise en oeuvre. La dernière partie de la présentation sera consacrée aux résultats numériques, ce qui inclut des comparaisons calcul/expérience et des exemples plus musicaux.

Cédric Bonnafé

L’exposé se propose de dresser un panorama des divers domaines mathématiques (théorie des invariants, topologie, géométrie, théorie de Lie…) dans lesquels les groupes de réflexions peuvent apparaître, soit comme cœur de la théorie, soit comme curiosité, soit comme pont entre plusieurs problèmes.

En fin d’exposé seront abordées les questions récentes soulevées par les travaux sur les invariants diagonaux (déformation, résolution des singularités, théorie des représentations).

Antoine Ducros

À tout nombre premier [latex]p[/latex], on associe un corps dit des nombres p-adiques. Nous expliquerons la construc- tion de ces corps, et certains de leurs nombreux intérêts arithmétiques, en insistant notamment sur leurs applications à l’étude de problèmes diophantiens (équations polynomiales à coefficients dans [latex]mathbf{Q}[/latex]).

Dans un second temps, nous parlerons de la géométrie sur un corps p-adique, qui est muni d’une métrique aux propriétés un peu étranges : tout triangle est isocèle, tout point d’une boule en est un centre…. Nous évoquerons différentes approches des « variétés analytiques p-adiques », depuis un joli résultat de Serre dans les années 50, qui fait avec les bizarreries signalée, jusqu’à la théorie de Berkovich, qui y remédie en rajoutant des points aux espaces étudiés pour «améliorer» leur topologie.

David Harari

Soit [latex]f(x_1,…,x_n)[/latex] une forme quadratique non dégénérée en n variables, à coefficients entiers. On cherche des critères pour déterminer si un entier a est représenté par [latex]f[/latex]. On donnera d’abord des conditions nécessaires simples, faisant intervenir des congruences, ou dans un langage plus élaboré des nombres [latex]p[/latex]-adiques. Puis on expliquera sous quelles hypothèses ces conditions peuvent être suffisantes, mais aussi comment des lois de réciprocité en arithmétique permettent d’obtenir des contre-exemples.

Yann Brenier

La théorie du transport optimal, dont l’origine remonte à Monge (1780) et Kantorovich (1942), a connu un succès grandissant, y compris en mathématiques « pures », durant les deux dernières décennies (ceci étant bien illustré par les deux volumes de C. Villani). On peut la voir comme une version « simplifiée » d’une théorie du transport optimal « incompressible », qui remonte en fait à Euler (1755) et son modèle de mécanique des fluides.

On examinera quelques résultats de cette théorie, ainsi que son interprétation géométrique dans la suite de V.I. Arnold et de son article de 1966.

Bertrand Deroin

Nous donnerons des exemples et certaines restrictions sur la topologie de certaines hypersurfaces réelles (dite Levi-plates) dans les surfaces algébriques complexes. Cela nous permettra de survoler la classification d’Enriques des surfaces algébriques complexes et le programme de géométrisation de Thurston pour les va- riétés de dimension 3 démontré par Perelman.

Nous expliquerons alors l’outil principal de notre technique : l’étude du mouvement Brownien le long du feuilletage de Levi et ses interprétations dynamiques et cohomologiques. C’est un travail en collaboration avec Christophe Dupont.

Gilles Carron

La topologie des variétés non compactes est par essence bien compliquée. Un aspect plus facile est d’es- sayer de comprendre le nombre de bout, c’est à dire le nombre de façon de partir à l’infini. Par exemple la droite réelle a deux bouts ([latex]pminfty[/latex]) alors que la plan en a un seul.

Il existe des outils analytiques/géométriques qui permettent de détecter si une variété non compacte a plusieurs bouts. Ces techniques peuvent donner des jolis résultats sur les hypersurfaces minimales, les variétés hyperboliques complexes.

On présentera donc les idées menant à ces outils et à leurs applications.